WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

4.1. В модели V(B) имеет место утверждение: поле C алгебраически за мкнуто в C. В частности, если V(B) |= C = C, то V(B) |= C трансцендентное расширение поля C.

Доказательство. Вторая часть очевидным образом вытекает из первой.

Докажем алгебраическую замкнутость поля C в C. Работая внутри V(B), предположим, что z0 C является корнем ненулевого полинома с коэффициентами из C. Это утверждение можно формализовать следующим образом:

l (z0) (n )( : n C ) (l)z0 = 0 ((l n)(l) = 0).

ln Итак, [[(z0)]] = 1, и, раскрывая булевы оценки для кванторов с учетом принципа максимума [6, теорема 4.3.9], найдем счетное разбиение единицы (bn) B и последовательность (n) V(B), для которых [[n : n C ]] bn, [[(l n )n(l) = 0)]] bn, (n-1) [[n(0 ) + n(1 )z0 + · · · + n((n - 1) )z0 = 0]] bn (n ).

Достаточно установить неравенство [[z0 C ]] bn для фиксированного n.

В дальнейших рассуждениях можем считать, не ограничивая общности, что bn = 1, так как в противном случае можно заменить B на булеву алгебру Bn := n [0, bn] с единицей bn и V(B) на V(B ) с применением [6, теорема 4.2.3] к полному булеву гомоморфизму : b b bn из B в Bn.

Заметим, что E := C представляет собой подкольцо и подрешетку в C и состоит из кусочно постоянных элементов. Точнее, элемент z входит в E C в том и только в том случае, если имеет представление z = o- (1), где () разбиение единицы в B = P(C ) и () семейство комплексных чисел с тем же множеством индексов.

Пусть kn : {0, 1,..., n - 1} E модифицированный спуск n, см. [6, 5.7.7]. Так как kn(0), kn(1),..., kn(n - 1) E, можно подобрать такое разбиение единицы () B, = 0, что kn(l) = o- l,(1), l := 0,..., n - 1. Если Автоморфизмы и дифференцирования 0, = 1, = · · · = n-1, = 0 для некоторого, то [[kn(l) = 0]] [[kn(l) = l,]] [[l, = 0 ]] при всех l, следовательно, n-n-1 n- [[n(l ) = 0]] = [[kn(l) = 0]] = [[kn(l) = 0]] < 1.

l=0 l=0 l=Но это противоречит соотношению n- 1 = [[(l n )n(l) = 0)]] = [[n(l ) = 0]].

l=(n-1) Далее, соотношение [[n(0 ) + n(1 )z0 + · · · + n((n - 1) )z0 = 0]] = n-влечет равенство kn(0) + kn(1)z0 + · · · + kn(n - 1)z0 = 0, поэтому, учитывая указанное выше представление kn, получаем семейство уравнений с постоянными комплексными коэффициентами n-0, + 1,z0 + · · · + n-1,z0 = 0, причем при каждом не все 0,,..., n-1, равны нулю.

Пусть Q открыто-замкнутое множество в стоуновском компакте булевой алгебры B, соответствующее проектору при стоуновском представлении. Тогда K-пространство C изоморфно C(Q), причем элемент (1) переходит в функцию, тождественно равную единице на Q. Если f C(Q) образ элемента z0 при указанном изоморфизме, то приходим к соотношению 0, + 1,f(q) + · · · + n-1,f(q)n-1 = 0 (q Q).

В силу основной теоремы алгебры непрерывная функция f имеет не более n значений, следовательно, она ступенчата. Но тогда элемент z0 кусочно постоянен, стало быть, входит в E. Теперь ясно, что z0 E.

4.2. Итак, при каноническом вложении комплексных чисел в булевознач ную модель либо C = C, либо поле комплексных чисел является трансцендентным расширением некоторого своего подполя. Для анализа этой ситуации потребуется понятие алгебраического или трансцендентного базиса поля над некоторым подполем.

Пусть P подполе поля C, причем C трансцендентное расширение поля P. В силу теоремы Штейница [11, гл. 5, § 5, теорема 1] существует базис трансцендентности E C. Это означает, что множество E алгебраически независимо над P, а C служит алгебраическим расширением поля P(E ), получаемого путем присоединения к P элементов множества E. Поле P(E ) называют чистым расширением поля P.

5. Автоморфизмы и дифференцирования Рассмотрим вопрос о существовании нетривиальных автоморфизмов и дифференцирований в комплексной расширенной f-алгебре. В этом параграфе G расширенное K-пространство с фиксированной мультипликативной структурой, E подкольцо и подрешетка в G, GC := G iG и EC := E iE. Известно, что E и G точные f-алгебры. Сначала для полноты приведем два необходимых ниже свойства поля комплексных чисел, которые автор не обнаружил в нужном виде в доступной ему литературе. Затем дадим булевозначную интерпретацию этих свойств.

104 А. Г. Кусраев 5.1. Пусть C служит трансцендентным расширением поля P. Тогда в C существует нетривиальный P-автоморфизм.

Доказательство. Пусть E базис трансцендентности расширения C над P. Так как C алгебраически замкнутое расширение поля P(E ), любой P-автоморфизм поля P(E ) продолжается до P-автоморфизма поля C, см.

[11, гл. 5, § 4, следствие из теоремы 1]. Ясно, что если нетривиален, то также нетривиален.

Для построения нетривиального P-автоморфизма в P(E ) рассмотрим сначала случай, когда E содержит лишь один элемент e, т. е. когда C алгебраическое расширение простого трансцендентного расширения P(e). Возьмем элементы a, b, c, d P, для которых ad - bc = 0. Тогда e = (ae + b)/(ce + d) порождающий элемент поля P(e), отличный от e. Поле P(e) = P(e ) изоморфно полю рациональных дробей от одной переменной t, следовательно, дробнолинейная подстановка t (at + b)/(ct + d) определяет P-автоморфизм поля P(e), переводящий e в e, см. [12, § 39].

Допустим теперь, что E содержит по меньшей мере два разных элемента e1 и e2, и возьмем произвольное биективное отображение 0 : E E, для которого 0(e1) = e2. Вновь используя то обстоятельство, что C алгебраически замкнутое расширение поля P(E ), можно построить P-автоморфизм поля C, для которого 0(e) = (e) при всех e E, см. [11, гл. 5, § 6, предложение 1].

Как видно, нетривиален.

5.2. Пусть C служит трансцендентным расширением поля P. Тогда в C существует нетривиальное P-дифференцирование.

Доказательство. Воспользуемся вновь базисом трансцендентности E расширения C над P. Известно, что любое дифференцирование поля P продолжается на чисто трансцендентное расширение, причем такое продолжение однозначно определяется заданием произвольных значений на базисе трансцендентности, см. [11, гл. V, § 9, предложение 4]. Таким образом, для любого отображения d : E C существует единственное дифференцирование D : P(E ) C, для которого D(e) = d(e) при всех e E и D(x) = 0 при x P. Далее, C служит сепарабельным алгебраическим расширением поля P(E ), следовательно, D допускает, и притом единственное, продолжение до дифференцирования D : C C, см. [11, гл. V, § 9, предложение 5]. Очевидно, что свобода в выборе d гарантирует нетривиальность D.

5.3. Такими же рассуждениями, как и выше, можно показать, что для поля вещественных чисел справедливы аналоги утверждений 4.1 и 5.2. Точнее, справедливы утверждения: (a) [[ поле R алгебраически замкнуто в R ]] = 1;

(b) если R трансцендентное расширение поля P, то в R существует нетривиальное P-дифференцирование.

Однако для поля вещественных чисел утверждение 5.1 не имеет места: в R нет нетривиальных автоморфизмов. Это связано с тем, что R не является алгебраически замкнутым полем.

5.4. Пусть D L(EC, GC) и D = D1 +iD2. Оператор D будет комплексным дифференцированием в том и только в том случае, если D1 и D2 представляют собой вещественные дифференцирования из E в G.

Доказательство. Нужно лишь в равенстве D(uv) = D(u)v + uD(v) подставить D := D1 + iD2, вещественные u := x E и v := y E, а затем приравнять вещественные и мнимые части полученного соотношения.

Автоморфизмы и дифференцирования 5.5. Если E = G, то любое дифференцирование из EC в GC является нерасширяющим оператором.

Доказательство. В силу 2.3 и 5.4 нужно лишь установить, что любое вещественное дифференцирование является нерасширяющим оператором.

Пусть D : E G вещественное дифференцирование. Возьмем дизъюнктные x, y E. Так как в f-алгебре соотношение x y влечет xy = 0, имеем 0 = D(xy) = D(x)y + xD(y). Но элементы D(x)y и xD(y) также дизъюнктны по определению f-алгебры, поэтому D(x)y = 0 и xD(y) = 0. Отсюда в силу точности f-алгебры E получаем D(x) y и x D(y). Рассмотрим теперь дизъюнктные x E и g G. По условию идеал I, порожденный множеством {x} и точкой x, будет фундаментом в G, поэтому можем предположить, не ограничивая общности, что g I. В то же время |g| y для некоторого y E+, следовательно, D(x) g в силу доказанного выше.

5.6. Пусть D(C ) множество всех дифференцирований, а MN (C ) множество всех нерасширяющих автоморфизмов в f-алгебре C. Пусть DC (C ) и MC (C ) элементы V(B), изображающие множества всех C -дифференциро ваний и всех C -автоморфизмов в C. Как видно, D(C ) модуль над кольцом C и [[ DC (C ) комплексное векторное пространство ]] = 1.

Операции спуска и подъема осуществляют изоморфизм модулей DC (C ) и D(C ), а также биекцию множеств MC (C ) и MN (C ).

Доказательство следует из 2.6. Нужно лишь заметить, что оператор T EndN (C ) будет дифференцированием (автоморфизмом) тогда и только тогда, когда [[ := T дифференцирование (автоморфизм) ]] = 1.

5.7. Порядково ограниченное дифференцирование и порядково ограниченный нерасширяющий автоморфизм расширенного f-кольца GC тривиальны.

Доказательство. Можно считать GC = C. Если T дифференци рование (нерасширяющий автоморфизм) f-кольца GC, то [[ := T C -диф ференцирование (C -автоморфизм) поля C ]] = 1. Более того, T порядково ограничен тогда и только тогда, когда [[ порядково ограничен в C ]] = 1. Од нако в поле C любое порядково ограниченное C -дифференцирование является нулевым и любой порядково ограниченный C -автоморфизм тождествен. В первом случае T = 0, а во втором T = I.

Докажем теперь утверждение, завершающее доказательство основной теоремы 3.4.

5.8. Если V(B) |= C = C, то в комплексной расширенной f-алгебре B(C) = C существуют нетривиальное дифференцирование и нетривиальный нерасширяющий автоморфизм.

Доказательство. Из условия C = C вытекает, что C служит транс цендентным расширением подполя C внутри V(B), см. 4.1. Согласно 5.1 и 5. существуют нетривиальное C -дифференцирование : C C и нетривиаль ный C -автоморфизм : C C. Если D := и A :=, то в соответствии с 5.6 D нетривиальное дифференцирование, а A нетривиальный нерасширяющий автоморфизм f-алгебры C.

106 А. Г. Кусраев 6. Заключительные замечания 6.1. Такими же рассуждениями, как в 3.4 и 5.8, можно показать с уче том 5.3, что если R = R, то в вещественной f-алгебре B(R) = R существу ют нетривиальные дифференцирования. Таким образом, в вещественном расширенном K-пространстве с фиксированной структурой f-алгебры отсутствие нетривиальных дифференцирований равносильно -дистрибутивности его базы.

В то же время в f-алгебре R нет нетривиальных нерасширяющих автоморфизмов.

6.2. Хорошо известно, что если Q компакт, то в алгебре C(Q, C) комплекснозначных непрерывных функций на Q нет нетривиальных дифференцирований, см., например, [15, гл. 19, теорема 21]. В то же время из 3.4 (1), (4) следует, что если компакт Q экстремален и булева алгебра его открыто-замкнутых множеств не является -дистрибутивной, то существует нетривиальное дифференцирование в алгебре C(Q, C).

6.3. Пусть (,, µ) пространство с мерой, обладающее свойством прямой суммы, см. [2, 1.1.7, 1.1.8]. Пусть L0 (,, µ) пространство (классов экC вивалентности) всех измеримых комплекснозначных функций, а L(,, µ) C пространство существенно ограниченных измеримых комплекснозначных функций. Тогда пространство L(,, µ) изоморфно некоторому C(Q, C), следоваC тельно, в нем нет нетривиальных дифференцирований. Если булева алгебра B(,, µ) измеримых множеств по модулю множеств нулевой меры не является -дистрибутивной, то согласно 3.4 (4) в L0 (,, µ) существуют нетривиC альные дифференцирования. То же самое можно сказать и о пространствах вещественнозначных измеримых функций L(,, µ) и L0(,, µ).

6.4. Любые два базиса трансцендентности поля над его подполем имеют одно и то же кардинальное число, называемое степенью трансцендентности, см. [13, гл. II, теорема 25]. Пусть (C ) степень трансцендентности C над полем C внутри V(B). Булевозначный кардинал (C ) несет в себе информацию о связи булевой алгебры B и множества комплексных чисел C. Булевозначный кардинал является перемешиванием стандартных кардиналов, т. е. имеет ме сто представление (C ) = mix b, где (b) разбиение единицы в булевой алгебре B, а () некоторое семейство кардиналов. При этом для B := [0, b] будет V(B ) |= (C ) =. В этой связи было бы интересно охарактеризовать полные булевы алгебры B, для которых внутри V(B) выполняется (C ) = для некоторого кардинала.

6.5. Говорят, что элементы x, y G различны на проекторе P(G), если для любого порядкового проектора P(G) равенство x = y влечет = 0. Подмножество E G назовем локально линейно независимым, если для произвольного ненулевого порядкового проектора в G, любых попарно различных на элементов e1,..., en E и чисел 1,..., n C из условия (1e1 + · · · + nen) = 0 вытекает справедливость равенства k = 0 для всех k := 1,..., n [5].

Для множества E G обозначим символом E множество элементов вида 1 k en ·... · en, где e1,..., ek E и k, n1,..., nk N. Множество E G назовем 1 k локально алгебраически независимым, если E локально линейно независимо.

Автоморфизмы и дифференцирования Возможно, это понятие, являющееся внешней расшифровкой внутреннего понятия алгебраической независимости (или трансцендентности), окажется полезным при изучении спусков полей [6, § 8.3] или общих регулярных колец [18].

6.6. Рассмотрим нерасширяющий оператор S : C C, удовлетворяющий экспоненциальному функциональному уравнению Коши S(u+v) = S(u)S(v) для любых u, v C. Если, кроме того, S удовлетворяет условию S(u) = S(u) при любых C и u C, то будем говорить, что оператор S экспоненциален.

Говорят, что S порядково ограничен, если S переводит порядково ограниченные множества в порядково ограниченные множества. Если подъем S, то экспоненциален внутри V(B), поэтому в классе функций, ограниченных сверху на ненулевом интервале, либо = 0, либо (x) = ecx (x C ) для некоторого c C [15, гл. 5, теорема 5]. Отсюда выводится, что условия (1)–(6) теоремы 3.равносильны также следующему: любой нерасширяющий экспоненциальный оператор в B(C) := C порядково ограничен (и, следовательно, имеет вид S = или S(x) = ecx (x C ) при некотором c C ).

ЛИТЕРАТУРА 1. Gutman A. E. Locally one-dimensional K-spaces and -distributive Boolean algebras // Siberian Adv. Math. 1995. V. 5, N 2. P. 99–121.

.

2. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. М.: Наука, 2003.

3. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248, № 5. С. 1033–1036.

4. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность, их непрерывность и мультипликативное представление // Линейные операторы и их приложения / Межвузовский сб. науч. тр. Л.: ЛГПИ, 1981. С. 3–34.

5. Кусраев А. Г. О нерасширяющих операторах // Владикавк. мат. журн. 2004. Т. 6, № 3.

.

С. 48–58.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.