WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Сибирский математический журнал Январь февраль, 2006. Том 47, № 1 УДК 517.98+512.8 АВТОМОРФИЗМЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В РАСШИРЕННОЙ КОМПЛЕКСНОЙ f–АЛГЕБРЕ А. Г. Кусраев Аннотация: Устанавливается, что в расширенном комплексном K-пространстве с фиксированной мультипликативной структурой -дистрибутивность базы равносильна каждому из следующих утверждений: (1) любой нерасширяющий линейный оператор порядково ограничен; (2) нет ненулевых дифференцирований; (3) любой нерасширяющий эндоморфизм является порядковым проектором; (4) нет нетривиальных нерасширяющих автоморфизмов.

Ключевые слова: векторная решетка, f-алгебра, нерасширяющий оператор, дифференцирование, автоморфизм.

Сем Самсоновичу Кутателадзе ену к его шестидесятилетию 1. Введение Известно, что база расширенного пространства Канторовича представляет собой -дистрибутивную булеву алгебру в том и только в том случае, когда всякий нерасширяющий линейный оператор в нем порядково ограничен или, что то же самое, регулярен. В то же время -дистрибутивность базы равносильна локальной одномерности K-пространства [1, 2]. Таким образом, если расширенное K-пространство не является локально одномерным, то в нем можно построить нерегулярный нерасширяющий линейный оператор. Впервые это было сделано в [3, 4]. Подробное изложение этого круга вопросов и соответствующий исторический комментарий имеется в [2, гл. 5].

Булевозначный подход к изучению нерасширяющих операторов, развитый в [5], обнаруживает новые взаимосвязи. Так, например, построение оператора указанного выше типа можно провести внутри подходящего булевозначного универсума с помощью базиса Гамеля поля вещественных чисел, рассматриваемого как векторное пространство над некоторым его подполем, см. [5, 6]. Точнее говоря, расширенное K-пространство в соответствии с теоремой Гордона [6, 10.3.4] можно представить как спуск R булевозначного поля вещественных чисел R, а образом стандартного поля вещественных чисел R (при каноническом вложении стандартного универсума V в булевозначный универсум V(B)) служит подполе R поля R. Разумеется, некоторые важные свойства K-пространства R связаны со строением поля вещественных чисел R, рассматриваемого как векторное пространство над R. В частности, используя базис Гамеля, можно построить разрывную R -линейную функцию в R, которая и дает нерегулярный линейный нерасширяющий оператор в R.

© 2006 Кусраев А. Г.

98 А. Г. Кусраев Цель настоящей работы провести аналогичные построения, но привлекая базис трансцендентности вместо базиса Гамеля, и получить новые характеризации K-пространств с -дистрибутивной базой в терминах более узкого класса нерасширяющих линейных операторов. Развивая булевозначный подход из [5], устанавливаем, что в расширенной комплексной f-алгебре (т. е. расширенном комплексном K-пространстве с фиксированной мультипликативной структурой) -дистрибутивность базы равносильна каждому из следующих утверждений: (а) нет ненулевых дифференцирований; (б) любой нерасширяющий эндоморфизм является порядковым проектором; (в) нет нетривиальных нерасширяющих автоморфизмов.

Необходимые сведения из теории векторных решеток содержатся в [2, 7, 8], из булевозначного анализа в [6, 9, 10], из теории полей в [11–13].

Автор выражает признательность рецензенту, указавшему на ряд неточностей в первоначальном варианте статьи.

2. Вспомогательные сведения Рассмотрим некоторые свойства нерасширяющих операторов в комплексной векторной решетке. Всюду ниже R и C поля вещественных и комплексных чисел соответственно.

2.1. Напомним, что комплексной векторной решеткой принято называть комплексификацию EC := E iE вещественной векторной решетки E при условии, что существует модуль |z| каждого элемента z EC, определяемый формулой |z| := sup |(cos )x + (sin )y| (z := x + iy EC).

0<Дизъюнктность элементов z := x+iy и z := x +iy из EC вводится, как обычно, формулой z z |z| |z | = 0 и равносильна соотношению {x, y} {x, y }.

Идеал J в EC определяется как комплексификация J0 iJ0 идеала J0 E. При этом J называют полосой в EC, если J0 полоса в E. Как и в вещественном случае, всякая полоса в EC допускает представление в виде {z EC : (v V ) z v}, где V непустое подмножество EC. Подробнее см. [8, гл. II, § 11].

2.2. Рассмотрим вещественные векторные решетки E и F. Пространство C-линейных операторов L(EC, FC) изоморфно комплексификации вещественного пространства R-линейных операторов L(E, F ). Оператор T L(EC, FC) допускает, и притом единственное, представление в виде T = T1 + iT2, где T1, T2 L(E, F ) и произвольный оператор S L(E, F ) отождествляется со своим каноническим продолжением S L(EC, FC), определяемым формулой Sz := Sx + iSy, z = x + iy. В частности, если E и F рассматривать как вещественные подпространства EC и FC соответственно, то пространство L(E, F ) можно понимать как вещественное подпространство L(EC, FC).

Оператор T = T1 + iT2 называют положительным, если T1 0 и T2 = 0.

Если EC = J J для некоторого идеала J EC, то существует проектор P : EC EC с ядром J и образом J. Ограничение P на E будет порядковым проектором в E, и, в частности, P положительный оператор.

2.3. Предположим, что F подрешетка векторной решетки E. Как и в вещественном случае (см. [2, 3.3.2]), линейный оператор T из FC в EC называют нерасширяющим (или сохраняющим полосы), если z z T z z (z FC, z EC), Автоморфизмы и дифференцирования где отношения дизъюнктности понимаются в EC.

Линейный оператор T := T1 +iT2 из FC в EC сохраняет полосы тогда и только тогда, когда вещественные линейные операторы T1, T2 : F E сохраняют полосы.

Доказательство. Пусть операторы T1 и T2 сохраняют полосы. Если элементы z := x + iy и w := u + iv дизъюнктны, то {x, y} {u, v}. Поэтому {x, y} {T1u - T2v, T1v + T2u}. Отсюда z T w ввиду равенства T w = (T1u - T2v) + i(T1v + T2u).

Обратно, если T сохраняет полосы и элементы x E и u F дизъюнктны, то x T u = T1u + iT2u, значит, x {T1u, T2u}.

Отсюда вытекает, в частности, что если E векторная решетка с главными проекциями и F фундамент в E, то линейный оператор T = T1+iT2 : FC EC будет нерасширяющим в том и только в том случае, когда для любого порядкового проектора P(E) выполняется Tkz = Tkz (z FC, k = 1, 2).

2.4. Всюду далее B полная булева алгебра, а V(B) соответствующий булевозначный универсум, в котором булева оценка истинности произвольной формулы теории множеств (x1,..., xn) с элементами x1,..., xn V(B) обозначается формулой [[(x1,..., xn)]]. При этом [[(x1,..., xn)]] B и истинность утверждения в модели V(B) означает по определению [[(x1,..., xn)]] = 1.

В силу принципа максимума [6, теорема 4.3.9] существует элемент C V(B), для которого [[ C поле комплексных чисел ]] = 1. Так как равенство C = R iR выражается ограниченной теоретико-множественной формулой, то согласно ограниченному принципу переноса (см. [6, 4.2.9 (2)]) будет [[ C = R i R ]] = 1.

Кроме того, R считают плотным подполем поля R, поэтому можно также счи тать, что C плотное подполе поля C. Если 1 единица поля C, то единица поля C внутри V(B). Будем писать i вместо i и 1 вместо 1.

Cпуском поля C называют множество C := {x V(B) : [[x C ]] = 1}, на котором определена структура коммутативного комплексного упорядоченного кольца путем спуска операций, см. [6, § 5.3]. При этом C = R iR, следовательно, в силу теоремы Гордона [6, теорема 10.3.4] C расширенное комплексное K-пространство и комплексная f-алгебра одновременно, причем 1 порядковая и кольцевая единица в C. Пространство C зависит только от B и C, поэтому будем использовать также обозначение B(C) := C.

2.5. Пусть EndN (GC) множество всех нерасширяющих линейных операторов в GC, где G := R. Ясно, что EndN (GC) комплексное векторное пространство. Более того, EndN (GC) будет точным унитарным модулем над кольцом GC, если определить оператор gT формулой gT : x g · T x (x GC).

Это следует из того, что умножение на элемент GC представляет собой нерасширяющий оператор и композиция нерасширяющих операторов есть нерасширяющий оператор.

Обозначим символом EndC (C ) элемент V(B), изображающий пространство всех C -линейных отображений из C в C. Тогда EndC (C ) векторное про странство над полем C внутри V(B), а EndC (C ) точный унитарный модуль над GC.

2.6. Так же, как и в [5, предложение 3.2], можно доказать, что линейный оператор в K-пространстве GC будет нерасширяющим в том и только в том 100 А. Г. Кусраев случае, когда он экстенсионален. Так как экстенсиональные отображения допускают подъем, то каждый оператор T EndN (GC) имеет подъем := T, который представляет собой единственную функцию из C в C, удовлетворяющую условию [[(x) = T x]] = 1 (x GC), см. [6, теорема 5.5.6].

Модули EndN (GC) и EndC (C ) изоморфны. Изоморфизм устанавливается путем сопоставления нерасширяющему оператору его подъема.

Доказательство повторяет рассуждения из [5, предложение 3.2] с учетом 2.3 и 2.4.

3. Основной результат Напомним еще несколько определений, необходимых для формулировки основного результата.

3.1. Булеву -алгебру B называют -дистрибутивной, если для любой двойной последовательности (bn,m)n,mN в B выполнено условие bn,m = bn,(n).

nN mN nN NN Другие эквивалентные определения имеются в книге [14]. Примером -дистрибутивной булевой алгебры служит полная атомная булева алгебра, т. е. алгебра всех подмножеств непустого множества. Важно подчеркнуть, что существуют и безатомные -дистрибутивные полные булевы алгебры (см. [2, 5.1.8]).

3.2. Комплексную f-алгебру EC определим как комплексификацию вещественной f-алгебры E при условии, что существует модуль любого элемента (см. определение 2.1). Умножение в E естественно продолжается до умножения в EC по формуле (x + iy)(x + iy ) = (xx - yy ) + i(xy + x y). При этом |z1z2| = |z1||z2| (z1, z2 EC).

Если E расширенное K-пространство с фиксированной порядковой единицей 1 E, то в E имеется единственное умножение, превращающее E в fалгебру, а 1 в единицу умножения. Таким образом, EC пример комплексной f-алгебры. Рассматривая расширенное K-пространство как f-алгебру, всегда имеем в виду именно это обстоятельство.

3.3. Пусть даны алгебра A и некоторая ее подалгебра A0. Линейный оператор D : A0 A называют дифференцированием, если выполнено условие D(uv) = D(u)v + uD(v) (u, v A0).

Ядро дифференцирования представляет собой подалгебру. Ненулевое дифференцирование называют нетривиальным.

Эндоморфизмом алгебры называют линейный мультипликативный оператор в ней. Биективный эндоморфизм называют автоморфизмом. Тождественный автоморфизм принято называть тривиальным. Поле комплексных чисел C, рассматриваемое как алгебра над полем рациональных чисел Q, допускает нетривиальные автоморфизмы (см., например, [15, гл. 5, теорема 7]).

Если данные выше определения автоморфизма и дифференцирования относятся к алгебре над полем P, то говорят также о P-автоморфизмах и Pдифференцированиях соответственно.

Автоморфизмы и дифференцирования 3.4. Теорема. Для произвольной полной булевой алгебры B равносильны следующие утверждения:

(1) B является -дистрибутивной;

(2) V(B) |=C = C ;

(3) в комплексном K-пространстве B(C) := C все нерасширяющие линейные операторы порядково ограничены;

(4) в комплексной f-алгебре B(C) := C нет ненулевых дифференцирований;

(5) в комплексной f-алгебре B(C) := C всякий нерасширяющий эндоморфизм является порядковым проектором;

(6) в комплексной f-алгебре B(C) := C нет нетривиальных нерасширяющих автоморфизмов.

Доказательство. (1) (2) Известно [6, 10.7.6], что если булева алгебра B -дистрибутивна, то V(B) |= R = R. Отсюда, используя принцип ограничен ного переноса [6, 4.2.9 (2)], выводим, что V(B) |= C = R iR = R iR = C.

(2) (3) Если V(B) |= C = C, то внутри V(B) множество EndC (C ) состоит из функций : C C вида (z) = cz, где c C. Но тогда оператор T := из C в C также имеет вид T (u) = gu для некоторого g C.

(3) (1) Из (3) следует, что в K-пространстве R все нерасширяющие линейные операторы порядково ограничены. Но тогда V(B) |= R = R (см. [6, теорема 10.7.6]), стало быть, V(B) |= C = C.

(3) (4) Следует из 5.5 и 5.7.

(3) (5) Нерасширяющий эндоморфизм T : C C допускает представление T = T1 + iT2, где T1, T2 нерасширяющие линейные операторы в вещественном K-пространстве R, см. 2.3. В силу (3) T1 и T2 порядково ограничены, следовательно, Tlx = clx (x R) для некоторых констант c1, c2 R.

Как видно, T z = c · z (z C ), где c := c1 + ic2. Мультипликативность оператора T влечет c2 = c, поэтому выполнены равенства c2 - c2 = c1 и 2c1c2 = c2.

1 Если := [c2] порядковый проектор в R на полосу {c2}, то из второго равенства выводим c1 = (1/2)(1), а из первого вытекает -(c2) = (1/4)(1).

Последнее возможно только при = 0, значит, c2 = 0 и 0 c2 = c1. Но верно также 0 (1 - c1)2 = 1 - c1, следовательно, c1 1. Теперь видно, что оператор x T1x = c1x служит порядковым проектором в R и, так как T2 = 0, его каноническое продолжение на C совпадает с T.

(5) (6) Очевидно.

Нужные для завершения доказательства импликации (4) (2) и (6) (2) вытекают из доказанного ниже утверждения 5.8.

(4) (2) Если в модели V(B) не выполняется равенство C = C, то b := [[C = C ]] < 1. Но тогда b = [[C = C ]] = 0. В булевозначной модели V(B ) над булевой алгеброй B0 := [0, b] имеет место соотношение C = C. В силу утверждения 5.8 существует ненулевое дифференцирование D в полосе bC.

Единственное продолжение D 0 оператора D, совпадающее с нулем на полосе bC, также будет ненулевым дифференцированием в C.

(6) (2) Аналогичным образом, используя утверждение 5.8, для того же b B можно найти нетривиальный автоморфизм A в полосе bC. Если A тождественное отображение в полосе bC, то A A нетривиальный автоморфизм в C.

3.5. Следствие. Для расширенного вещественного K-пространства G с фиксированной структурой f-алгебры равносильны утверждения:

102 А. Г. Кусраев (1) булева алгебра B := P(G) -дистрибутивна;

(2) в комплексной f-алгебре GC нет нетривиальных дифференцирований;

(3) в комплексной f-алгебре GC нет нетривиальных нерасширяющих автоморфизмов.

3.6. Эквивалентности (1) (2) (3) из 3.4, установленные А. Е. Гутманом в [1, 16] для вещественного K-пространства B(R) := R, содержат решение задачи Э. В. Викстеда об описании расширенных пространств Канторовича, в которых всякий нерасширяющий линейный оператор автоматически порядково ограничен [17]. Булевозначный подход к этому кругу вопросов см. в [5].

Дальнейшие подробности можно найти в [2].

4. Булевозначные комплексные числа Как и выше, C поле комплексных чисел внутри V(B), содержащее подполе C. При этом C расширенное комплексное K-пространство с единицей 1 := 1. База P(C ) (т. е. булева алгебра порядковых проекторов в C ) изоморфна B, поэтому считаем, допуская вольность, что эти булевы алгебры совпадают.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.