WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

(vii) Индукционное предположение. Если точка насыщения нуме рации ранга 1, то N состоит из всевозможных четверок вида (2; r; a; s), где r B H - B H : < и N1[ ].

Арифметика второго порядка При этом для каждого такого r и для каждого a, упомянутого в какой-нибудь четверке, содержащей r, имеет место 2 (+) 1 2 (+) M 1 M 2 t ({r}H (a, (t), (t), 1(t), 2(t)) = 0) для некоторой функции, графиком которой является множество таких s, что (2; r; a; s) N. Функция на этот раз удостоверяет принадлежность a 3,+ множеству S,r (для < | |).

Замечание. Сказанное в (vi) и (vii) распространяется на нумерацию, как было для индукционных предположений (iii), (v) по аналогичной причине.

Аналогичным образом определяем пульсацию третьего рода, и далее идет разбор тех же случаев, что в ситуации, когда было точкой насыщения ранга 0.

Построение, M осуществляется подобным образом. А именно, определяются нарушающие пары третьего рода, пульсация третьего рода, и разбираются случаи:

a) пульсация есть;

b) пульсации нет, но имеет место случай (A) для ;

c) пульсации нет, но не имеет места случай (A).

По мере возрастания ранга мы каждый раз принимаем надлежащие индукционные предположения, аналогичные ранее введенным, в которых задейi, ствованы S,r и i для последующих i <.

Описание индукционного шага тем самым завершается. Нетрудно усмотреть, что индукционные предположения сохраняют свою силу при переходе от к + 1.

Замечание. Когда предельный ординал, мы просто объединяем се мейства {, M | < } для <. При таком объединении индукционные предположения тривиальным образом сохраняются.

Как видно из этого описания, процесс обрывается при достижении такого, когда N[]. В силу индукционных предположений (iv), (vi) и т. д. все i, множества вида S,r будут разрешимы равномерно по r (в силу регулярности H| |), откуда и следует, что замыкающий оракул нумерации даст искомую модель арифметики второго порядка. Осталось только показать, что процесс действительно оборвется.

Предположим от противного, что процесс длится по всем ординалам. Множества N можно определить для всех, и последовательность этих множеств монотонно расширяется по включению. Значит, она должна стабилизироваться на некотором 0. Для > 0 очевидно, что || 1, тем самым N, > 0, могут быть определены и снова образуют монотонную последовательность, ста0 билизирующуюся на некотором шаге 1. Так как 0 1, то N = N, и 0 0 поэтому N и N не пересекаются, будучи номерными множествами одной 0 нумерации.

Продолжая, мы построим последовательность ординалов такую, что множества N определены и попарно не пересекаются.

Но поскольку пробегает по всем ординалам, это невозможно. Значит, последовательность обрывается, что и требовалось доказать.

В заключение заметим, что описанный здесь пульсирующий процесс использует счетное число индукционных предположений. Каждое из них в отдельности выражается посредством некоторой формулы второго порядка, и по40 Е. В. Гайлит i, скольку определения множеств S,r при разных i задаются разными формулами, свести все эти предположения к одной формуле (второго порядка) не удается. Более того, это невозможно в силу теоремы Г о неполноте. Тем еделя не менее такое сведение осуществимо в рамках теории ZFC, так как в этой теории выразима истинность формул арифметики второго порядка в их естественной интерпретации (посредством определения истинности по Тарскому).

Следовательно, описанное в данной статье построение нужной модели осуществимо в ZFC.

ЛИТЕРАТУРА 1. Ганов В. А., Белякин Н. В. Общая теория вычислений с оракулами. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1989.

2. Белякин Н. В. Итерированная клиниевская вычислимость // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30,.

№ 6. С. 27–32.

3. Белякин Н. В. Пульсирующие иерархии // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 520–526.

.

4. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972.

5. Белякин Н. В. Обобщенные вычисления и арифметика второй ступени // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 4. С. 375–405.

Статья поступила 17 апреля 2001 г.

Гайлит Евгения Валерьевна Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск regina@math.nsc.ru

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.