WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

r Заметим, что в общем случае для разделимых сетей число линейно независимых МПП несколько меньше и составляет n m 2 c, где c – число независимых контуров в разделимых подсетях, удаление которых не удаляет из сети ни одного из его полюсов [10]. В S таких случаях базис пространства будет состоять из n m 2 c межполюсных путей и r c путей, не являющихся МПП, а представляющих собой, например, контуры. В дальнейшем S S будем предполагать, что сеть является неразделимой, т.е. базис пространства путей r этой сети содержит только межполюсные пути.

S Формой задания базиса является матрица -путей B размерности n, элементы bij которой определяются следующим образом:

1,если j - я ветвь входит в i - й - путь и их ориентация совпадает;

bij 1,если j - я ветвь входит в i - й - путь и их ориентация не совпадает;

0,если j - я ветвь не входит в i - й - путь.

S Например, для связной сети (рис. 2) в роли базисного множества пространства путей S может быть использована совокупность -путей 1,, 3,, где 1 v1 v5 v7, r 2 v6 v2 v5 v7, v6 v8 v3 v7, v6 v8 v4.

2 3 vvv v2 vvv vS Рис. 2. Пример сети и ее базисное множество 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Тогда базисная матрица B имеет следующий вид: B.

0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 Наукові записки УНДІЗ, №1(13), 2010 Управління мережами і послугами телекомунікацій Используя введенный базис, можно выразить любой другой путь в данной сети.

Например, межполюсный путь v1 v5 v3 v4 в новом базисе,,, будет 5 1 2 3 выглядеть как 1.

5 3 S S Введенные пространства путей и -разрезов не пересекаются и являются r S S ортогональными. Сумма их размерностей составляет dim( ) dim( ) n, а значит r S S совокупность базисов и, определенных для одной и той же пары полюсов, может S S выступать в качестве базиса всего пространства, ранее связанного с рассматриваемой сетью S.

Формализация правил координатного преобразования. По определению в линейном пространстве существуют однозначные правила преобразования базисов, формализуемые в виде соответствующих матриц координатного преобразования. При переходе от введенной S S СК к СК, образованной отдельными ветвями, правила прямого и обратного v координатного преобразования формализуются квадратными (размерности n n ) невырожденными матрицами A и C, элементы которых в общем случае (случай риманова пространства) имеют вид [13] ()i j Ai, Cij, (2) j ()i j S где ()i – i -й элемент базисного подмножества.

Привязывая i -й индекс к номеру столбца, а j -й – к номеру строки в матрицах A и C, S S S S получим, что новый базис выражается через старый как: A, (3) v v S S S S а старый через новый как: CT. (4) v v Из теории тензорного исчисления известно:

ACT I, где I – единичная матрица размера n n. (5) Нетрудно увидеть, что матрица A может быть сформирована непосредственно на основе T T базисных матриц -путей и -разрезов, т.е. A B B. В работах [5, 7] при введении S базиса пространства через базисы подпространств контуров и узловых пар для построения матрицы прямого преобразования используются не полные матрицы базисных контуров и узловых пар, а их усеченные аналоги. Применяя эту же идею к введенным S S подпространствам и, представим все множество ветвей сети V как объединение r двух непересекающихся подмножеств V1 и V2. К подмножеству V1 отнесем все ветви, которые определяют линейную независимость базисного множества МПП, то есть ветви, которые принадлежат только одному базисному -пути и не могут быть переставлены в виде пересечения нескольких базисных МПП. К подмножеству V2 отнесем все остальные ветви. Тогда матрица прямого координатного преобразования примет вид:

T T A B B, (6) где B – матрица базисных -путей, в которой ненулевыми являются только элементы, определяющие «независимость» -пути, т.е.

20 Наукові записки УНДІЗ, №1(13), Управління мережами і послугами телекомунікацій 1, если j - я ветвь принадлежит подмножеству V1, и ее ориентация совпадает с i - м МПП;

bij * 1, если j - я ветвь принадлежит подмножеству V1, и ее ориентация не совпадает с i - м МПП;

0,если j - я ветвь не принадлежит подмножеству V1.

Например, усеченным аналогом для матрицы МПП B (рис. 2) является 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 B.

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Матрица обратного координатного преобразования C может быть получена из условия ортогональности (5).

S В целом, используя совокупный базис, например, для сети (рис. 3) и ее базисного множества 1,,,,1, 2, 3, 4 имеем 2 3 1 v1; v1 1;

v2; v ;

2 2 v3; v3 3;

v4; v ;

4 4 1 v5 v1 v2; v5 1 2 1;

2 v6 v2 v8; v6 2 3 4 2 4;

v3 v5 v7; v 1 3 1 3;

3 7 v8 v3 v4; v 3 4.

4 8 Тогда матрицы прямого и обратного координатного преобразования в соответствии с (2), где ( )i, i 1, ; ( ) j, j 1,, примут вид i j 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 A, C.

0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 IV. Тензорное описание ТКС в базисе -путей и -разрезов S В рамках введенного линейного пространства ТКС может быть описана, например, множеством одновалентных тензоров интенсивности сетевого трафика, средних задержек T, джиттера и вероятности своевременной доставки пакетов P [8, 9]. Причем связь координат этих тензоров в различных базисах осуществляется посредством матриц Наукові записки УНДІЗ, №1(13), 2010 Управління мережами і послугами телекомунікацій координатного преобразования: матрицы А для ковариантных тензоров и матрицы С для контравариантных. Как показывает анализ матрицы A, определяемый ею ковариантный закон преобразования описывает правила пересчета межконцевых показателей качества обслуживания, относящихся к классу аддитивных, например, межконцевой средней задержки, суммарного джиттера и др.

vv1 v vvv v6 vРис. 3. Пример сети и базис ее -путей и -разрезов Таким образом, соответствующие тензоры, моделирующие аддитивные показатели, являются ковариантными [8]. Мультипликативные метрики, отражающие вероятностные показатели качества работы сети, например, вероятность своевременной доставки пакетов данных, путем логарифмирования могут быть переведены в аддитивную форму, а соответствующие тензоры приобретут ковариантный характер. Формализуемый в виде матрицы C контравариантный закон преобразования описывает закон сохранения потока как на отдельных узлах, так и в сети в целом. Следовательно, контравариантную природу имеет тензор интенсивностей трафика [8].

В рамках тензорного анализа ТКС существует несколько основных тензорных уравнений, связывающих различные тензоры показателей качества обслуживания (T, и P ) с тензором интенсивности циркулирующего в сети трафика ( ). Совокупность этих уравнений отражает наиболее важные функциональные зависимости, характерные для сетевых элементов и сети в целом, и представляет собой основу тензорного описания ТКС.

Поскольку указанные уравнения имеют инвариантный вид для различных комбинаций показателей QoS, рассмотрим более подробно только одно из них, например, связывающее временные показатели с интенсивностью трафика T E, (7) где E – дважды ковариантный метрический тензор.

Используя контравариантный метрический тензор G можно записать GT. (8) Форма уравнений (7) и (8), согласно положениям тензорного анализа, остается неизменной и для проекций указанных тензоров, полученных относительно произвольно S S выбранной СК. Так для проекций в СК и СК имеем v T E, T E. (9) v v v Проекции одного и того же тензора, полученные в различных системах координат, связаны через матрицу прямого координатного преобразования A для ковариантных тензоров и матрицу обратного координатного преобразования C для контравариантных:

Tv A T, v C. 10) 22 Наукові записки УНДІЗ, №1(13), Управління мережами і послугами телекомунікацій Проекции дважды ковариантных и контравариантных тензоров E и G при смене СК их рассмотрения преобразуются в соответствии с алгебраической диаграммой (рис.4) следующим образом:

Ev AE AT, E CT Ev C, (11) E T Gv CGCT G ATGv A. (12) E При этом в одной и той же СК матрицы координат проекций дважды ковариантных и C AT A CT контравариантных тензоров являются обратными Ev 1 G E, Gv E. (13) v v Tv Проекции одновалентных тензоров в СК EvS представляют собой векторы T и, Рис. 4. Алгебраическая диаграмма которые имеют следующие составляющие:

преобразования проекций тензоров 1 1 T p T ; T ; T ; ; j ;, j p T где T и – соответственно -мерные векторы средних задержек и интенсивностей трафика вдоль базисных -путей сети; T и – соответственно -мерные векторы средних задержек и интенсивностей трафика в базисных -разрезах; j – интенсивность p трафика в j -м базисном МПП; – суммарная интенсивность трафика в p -м базисном разрезе; – средняя задержка передачи пакетов в j -м базисном МПП; – средняя p j задержка передачи пакетов между узлом-источником и p -м базисном -разрезом.

Исходя из физического смысла координат проекций тензоров T и в базисе S межполюсных путей и внутренних разрезов, можно отметить следующее. Все компоненты вектора являются нулевыми ( 0 ), так как определяют интенсивность трафика, который проходит через внутренние разрезы. Относительно координат вектора T возможны две ситуации, связанные с формулировкой требований к качеству обслуживания. В условиях многопутевой маршрутизации пакетов одного информационного потока целесообразным является следующее требование: обеспечить равенство средних задержек передачи пакетов вдоль различных путей между заданной парой адресатов. Формально в этом случае все координаты вектора временных задержек T приравниваются к одной и той же величине. В случае многопутевой маршрутизации агрегированных потоков, когда трб различные пути используются для обслуживания разных информационных потоков, входящих в состав агрегированного трафика, модель допускает возможность дифференцированного Наукові записки УНДІЗ, №1(13), 2010 Управління мережами і послугами телекомунікацій задания требований к временным показателям, т.е. требуемые значения межконцевых задержек для различных путей могут отличаться ( i ).

j трб трб S Запишем уравнение для проекций тензоров T и в СК -путей и -разрезов, используя контравариантный метрический тензор G, GT, в виде:

1 1 G | G2 T G | G | при | G. (14) 3 3 G | G4 T G | G Тогда из выражения (14) можно получить два уравнения:

1 G T G T ; (15) 3 G T G T. (16) После расчета вектора T из выражения (16) и подстановки его значения в уравнение (15) вычисляется вектор, т.е.

G 1 2 4 1 - G G G T. (17) трб В случае, когда одновременно задаются численные требования к скоростным ( ) и временным ( ) показателям качества обслуживания, представленные в виде отдельных трб координат векторов и T, то необходимым условием обеспечения QoS согласно (17) является выполнение условий неравенства:

4 G - G2 G G T, (18) при 1 1 трб 1 G | G трб i | G, i,, T.

j трб i3 G | G трб Аналогичные выражению (18) неравенства можно получить для упомянутых выше тензоров джиттера и вероятности своевременной доставки с тем лишь отличием, что в них будут фигурировать свои метрические тензоры.

Заметим, что полученная тензорная модель ТКС в виде выражений (17) или (18) является инвариантой относительно способа формирования компонент метрических тензоров. В общем случае выражение для координат метрического тензора (ковариантного E или контравариантного G ) должно отражать взаимосвязь между временными и скоростными показателями для базисных элементов выбранной системы координат (ветвей, путей или разрезов). В аналитическом виде указанная взаимосвязь для отдельных трактов передачи (в рамках тензорного анализа – в СК ветвей) может быть получена из результатов теории массового обслуживания, где существует широкий круг проработанных моделей [14].

Например, используя модель М/М/1, имеем 24 Наукові записки УНДІЗ, №1(13), Управління мережами і послугами телекомунікацій eii(v), (19) i i (v i ) v v где eii(v) – элемент диагональной матрицы E как проекции дважды ковариантного v i метрического тензора E в СК ветвей; v – доступная пропускная способность тракта передачи, моделируемого i -й ветвью; i – интенсивность трафика в i -й ветви.

v В общем случае выражения для элементов матрицы E могут быть построены на основе v и более сложных моделей массового обслуживания [14].

V. Пример решения задачи маршрутизации с дифференцированной поддержкой QоS по множеству путей Как было указано выше, тензорная модель с использованием СК межполюсных путей и внутренних разрезов допускает возможность дифференцированного задания требований к показателям качества обслуживания, в частности к временным показателям. При этом подразумевается дифференциация по множеству путей, т.е. задаваемые в качестве исходных данных для решения задачи QоS-маршрутизации требуемые значения межконцевых задержек для различных путей могут отличаться. Рассмотрим данную особенность на S конкретном примере (рис. 5). Пусть в качестве базиса этой сети выбрано следующее множество межполюсных путей:

1 v1, v5, v7, v6,v2, v5, v7, v6, v8,v3, v7, v6, v8, v4, 2 3 T а вектор требуемых задержек для этого множества равен T 1 2 1,5 2. Необходимо рассчитать максимально допустимую при заданных задержках интенсивность трафика между узлами 1 и 6 и определить порядок его маршрутизации.

Исходные данные и результаты расчетов показаны для каждой ветви сети (рис. 5) в следующей последовательности (сверху вниз): пропускная способность тракта передачи (млн. пак/с), рассчитанная интенсивность трафика (млн. пак/с), результирующая средняя задержка (мс). Нетрудно проверить, что получаемое на основании (17) распределение трафика по ветвям сети (рис. 5) действительно вызывает задержки, равные требуемым значениям. Заметим, в одной из ветвей сети присутствует поток отрицательной величины, что означает несовпадение его направления с ориентацией ветви. Тогда, искомый путь доставки пакетов этого потока, протекающего через ветвь v3 и обладающего интенсивностью 3,26 млн. пак/с, будет v1, v5,v3, v4. Задержка вдоль этого пути равна 161,6+476,5+65,1+796,7=1499,9 мс, что отвечает заданным требованиям.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.