WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
1 ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ПРИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ЭВТЕКТИК.

Гуськов А.П. (guskov@issp.ac.ru) Институт физики твердого тела РАН, 42432, Московская область, п.Черноголовка Введение. В настоящее время получила широкое распространение теория Джексона и Ханта образования периодических структур при кристаллизации эвтектик [1-3]. Эта теория рассматривает формирование периодической структуры эвтектик в рамках стационарной задачи диффузии. В предлагаемом подходе динамика межфазной границы носит нестационарный характер. А периодическая структура возникает вследствие развития неустойчивости фронта кристаллизации.

В обзорах [4,5] обсуждаются работы, в которых возникновение периодических эвтектических структур объясняется неустойчивостью межфазной границы. Однако, как замечено в [4], "Все предлагаемые теории содержат предположения или приближения, которые вызывают сомнения в справедливости результатов расчета, и поле деятельности для дальнейших исследований остается открытым" (стр. 140).

Предлагаемая работа является продолжением исследований, проведенных в работе [6], где численно был рассчитан период периодической структуры для конкретного эвтектического расплава. Расчеты дали полное количественное соответствие экспериментальным данным.

Постановка задачи. Общая постановка задачи проводится в работе [6], здесь определим переменные входящие в уравнения, запишем общую постановку задачи в движущихся координатах и постановку задачи для линейного приближения.

2 Пусть T(y,z,) - температура, нормированная на температуру фазового перехода при начальной концентрации примеси; C(y,z,) - концентрация примеси, нормированная на начальную; y,z, - безразмерные координаты и время: y=yr, z=zr, =20r; D - безразмерный коэффициент диффузии в расплаве, D = Dr/0;

= r/0 - коэффициент температуропроводности, - теплота фазового перехода, нормированная на удельную теплоемкость и температуру фазового перехода.

yr,zr,r,Dr,r,r - размерные величины, 0=10-5м2с-1, =102м-1. Учтем теплопроводность в твердой и жидкой фазах и диффузию примеси в жидкой фазе.

Для сокращения выкладок в уравнениях не будем записывать координату x.

Величины, относящиеся к твердой фазе, обозначим штрихом. В координатах y,z,, жестко связанных с движущимся фронтом, линеаризованная по малым возмущениям задача [6] имеет вид 2 Tm Tm 2 ( K - ) TS + VS + ( K - )Tm = Vm - < z z z z 2 Tm Tm (K - ) TS + VS + (K - )Tm = Vm 0 z < z z z 2 Cm Cm (DK -) CS D +VS + (DK -)Cm = Vm 0 z < z2 z z Tm Tm - = Vm Tm z=0-0 = Tm z=0-0 Tm z = z z z = 0 - 0 z = 0 + Cm D = (1- k)(VSCm + CSVm) Cm z = z z=0+V V Vm = Cm0 + Tm0 =Cm(0)+ Tm(0); = ; = ; (1) C T C=Cs (0) T =Ts ( 0 ) Здесь Ts(z),Ts(z),Cs(z) - решения стационарной задачи, Tm, Tm, Cm - малые возмущения. = 1 + i 2, K = K1 + i K2. В этой работе мы полагаем K1=0.

Заметим, что в задаче мы не учитываем коэффициент поверхностного натяжения.

Это сделано с целью показать, что он не оказывает решающего влияния на формирование периодической структуры.

Учет влияния расслоения расплава. Результаты расчетов работы [6] согласуются с результатами экспериментов при значениях коэффициента распределения k, отличающихся от равновесных. Расчеты показывают, что значение k = 1 является граничным между устойчивой и неустойчивой областями системы при теплофизических параметрах заданных в [6]. Согласно равновесной фазовой диаграмме, k < 1, если наклон линии ликвидуса m < 0 и k > 1 при m > 0.

Если выполняются эти неравенства, то в области значений частоты временных пульсаций, волнового числа Y и инкремента роста, рассмотренной в [6], система будет устойчивой. Однако в случае неравновесных процессов кристаллизации нельзя использовать значения k, полученные из равновесных условий. Любое свойство материала или внешнее воздействие, которое выводит коэффициент распределения из вышеуказанной области, приведет к возникновению автоволн температуры и концентрации компоненты на межфазной границе и соответствующему их распределению в объеме твердой фазы. В этой работе мы покажем, как известное явление расслоения [7] атомов компоненты в расплаве приводит к образованию регулярной эвтектической структуры, и дадим вывод аналитического выражения для периода этой структуры.

Рассмотрим граничные условия для уравнения диффузии. Для этого учтем явление расслоения атомов компоненты, согласно которому, если в какой то области на межфазной границе увеличивается концентрация одного из компонентов, то в окрестности этой области в расплаве концентрация этого компонента также увеличивается [7]. Пусть кристаллизуется расплав, состав которого близок к эвтектическому. Плоская межфазная граница в стационарном режиме перемещается с постоянной скоростью VS. Если условия кристаллизации рассматривать как равновесные, то в твердой фазе концентрация компоненты равна концентрации в бесконечно удаленной точке Сsol = С, на межфазной границе она находится как Сliq = Ceut = 1/k. Допустим, в окрестности межфазной границы произошло расслоение расплава, и концентрация компоненты уменьшилась. В результате уменьшится концентрация компоненты в твердой фазе, она станет равной Csol < С, и уменьшится концентрация компоненты на межфазной границе, Cliq < Ceut. В этом случае граничные условия задачи диффузии принимают вид C(0) = Cliq, C( ) = С.

Решение стационарной задачи имеет вид 1- ku VS CS (z) = C 1+ exp- z ku D где обзначено по аналогии с равновесным случаем ku = С / Cliq. Считаем, что на бесконечности концентрация расплава равна исходной и при нормировке на начальную концентрацию получаем С =1. Если начальный состав расплава достаточно близок к эвтектическому, то небольшого изменения концентрации в области расслоения достаточно, чтобы выполнялось условие Cliq < C и, следовательно, ku > 1. В этой работе ku = 1.03.

Дисперсионное уравнение системы. Решения краевой задачи (1-6) имеют вид VSST VS Tm(z) = A1 exp z + B1 exp- z, (2) VSST VS Tm(z) = A2 exp z + B2 exp- z(3) VS SC VS Cm (z) A3 exp z + B3 exp - z, (4) = 2D D 2 ST I V A1 =, B1 = (5) S m m VS(ST - ST )V +VS(B1 - B2)1+ 2 ST (IS - VS )Vm A2 = Vm B2)1+, B2 = (6) VS(ST -ST ) +VS(B1 - 2 k B VS + - 1)VSCm + - A3 = (k Vm, (7) VS SC 3 k здесь S'T, ST, S - решения характеристических уравнений, 4DTS 4D2 4D2K2 IS =, =, =, Y = µ1 =, µ2 = z D VS 2 VS 2 VS Чтобы получить дисперсионное уравнение системы, нужно подставить выражения (1), (5)-(7) в решения (2)-(4). При z=0 эти решения дадут систему однородных уравнений относительно, Tm0, Cm0. Система имеет Tmнетривиальные решения, если ее параметры удовлетворяют уравнению 1 S P1 P1 P (ST - ST - P2)1+ + + = 0 (8) 2 1- k k k 2 + S S где =1+ 2 + (H - H )IV, =1+ H + i S 2 + ST 2 + ST H = H = P1 = P2 = µV S ( + i )µ1( + i ) VS µПриближенное аналитическое решение дисперсионного уравнения.

Нетрудно заметить, что полученное дисперсионное уравнение (8) линейно относительно IS.

После разделения мнимой и действительной части его решения удовлетворяют системе уравнений, которую запишем в виде f11(,Y, ) + f12 (,Y,, IS ) = (9) f21(,Y, ) + f22 (,Y,, IS ) = пусть первое уравнение соответствует действительной части, а второе мнимой Рис. 1. Зависимость (,Y2).

части уравнения (8). В работах [6,8] уравнение (8) решалось численно. В координатах,, Y строилась поверхность (,Y), каждая точка которой соответствовала определенному значению температурного градиента. Точки на изолиниях температурного градиента, которым соответствует максимум инкремента роста, дают искомые решения системы. Для концентрации компоненты вблизи точки эвтектики множество решений представляет собой кривую AB (рис.1). Чтобы получить аналитическое решение дисперсионного уравнения используем тот факт, что Yeut практически не зависит от IS. Логично предположить, что если вдоль кривой AB решения системы (9) не зависят от IS, то вдоль нее должны выполняться условия f11(,Yeut,) = f12(,Yeut,,IS ) = f21(,Yeut,) = f22(,Yeut,,IS ) = 0 (10) Аналитически доказать это соотношение трудно вследствие громоздкости выражений, но численно показать выполнение этого условия достаточно просто, в целях экономии места мы не показываем выполнения (10).

Будем искать такое решение на интервале кривой АВ, на котором эта кривая практически параллельна плоскости (,Y). На этом интервале << Y и <<. (11) Если использовать неравенства(11) и учесть, что на кривой АВ Y ~, µ1 >> µ2, µ1 >> 1, Y >> 1, >> 1, то уравнение (8) существенно упрощается и принимает вид µ Y ± µ1 - P2 = µ Оно имеет четыре корня µ22P22 µ22PY1,2 = ±, Y3,4 = ± 2 µ12(1+ µ2) µ12(1- µ2) Период соответствующей стержневой структуры найдем из выражения 2 ( ± ) 4 D 1, 2 = = V Y S Из этого выражения следует, что период структуры определяется теплофизическими параметрами и кинетикой фазового перехода на границе раздела. Интересно, что в круглых скобках может стоять знак минус. Оба эти корня имеют право на существования. Из этого следует, что симметричные модели, т.е. такие, в которых `=, дают результат, который качественно отличается от общего случая. Заметим, что это согласуется с результатами работы [9], где было показано, что симметричные модели непригодны для изучения образования стационарных структур на межфазной границе.

Зависимость периода от кинетики фазового перехода рассмотрим на примере двух кинетических моделей. Для модели нормального роста [10] 2 ( ± ) V = hn Tk n = hn Модель роста посредством винтовых дислокаций [10] дает 4 ( + ) V = hd Tk 2 d1 = (12) hdVS 4 ( - ) d 2 = (13) hdVS Модели дают качественно различные результаты. При нормальном росте период стержневой структуры не зависит от скорости перемещения межфазной границы VS. В случае роста посредством винтовых дислокаций период пропорционален VS в степени одна вторая. Это совпадает с множеством экспериментальных работ [1, 5, 11] В работе [6] значение кинетического коэффициента hd было раcсчитано по экcпериментальному значению периода стержневой структуры при VSr = 1.1210-м c-1. Геометрические построения дали практически точное совпадение результатов численного расчета с экспериментальной зависимостью (VS). Эта зависимость аппроксимировалась гиперболической функцией VS с показателем 0.503. Т.е. она совпадает с полученными выражениями (12), (13). Возьмем значения параметров такими же, как в работе [6]: r=510-6м2с-1, r=106Джкг-1, Dr=10-8м2с-1, µ2 = 1.5, hd=2.21011.

Рис. 2. Зависимость периода стержневой структуры от скорости перемещения межфазной границы.

На рисунке 2 сплошной показана зависимость d2(VS), треугольниками показаны расчетные значения работы [6], крестиками показаны экспериментальные точки, полученные из зависимости приведенной в работе [11]. Как видим численные расчеты работы [6] соответствуют зависимости d2(VS). Однако значения d1 и d2 величины одного порядка, поэтому здесь мы не делаем вывода о выборе конкретного выражения для расчета периода стержневой структуры. Для этого нужно провести дополнительные исследования.

Обсуждение результатов. Полученные выражения для периода стержневой эвтектической структуры принципиально отличаются от выражений теории Ханта и Джексона. Согласно теории Ханта и Джексона зависит от коэффициента диффузии, параметров фазовой диаграммы, поверхностного натяжения и скорости перемещения межфазной границы. В полученное нами выражение не входит, кроме скорости перемещения межфазной границы, ни один из этих параметров. Принципиальным отличием этих выражений является то, что в выражение теории Ханта входят параметры задачи диффузии, а в полученное здесь выражение входят параметры уравнения теплопроводности.

Изложенная здесь теория дает ясную физическую картину возникновения периодической структуры при кристаллизации эвтектик. Ниже описывается возможная последовательность явлений, которая приводит к кристаллизации эвтектического расплава в режим формирования периодической структуры.

Рассмотрим начало кристаллизации расплава, состав которого близок к эвтектическому. Пусть кристаллизуется расплав с равномерным распределением компоненты. Условия кристаллизации таковы, что в стационарном режиме плоская межфазная граница движется с постоянной скоростью согласно условию исходной задачи [6]. В этом случае межфазная граница устойчива и распределение компоненты в твердой фазе равномерное. Предположим, что в какой то области на межфазной границе произошло расслоение расплава. То есть образовалась область, в которой концентрация компоненты существенно отличается от начальной концентрации. Пусть размер этой области много больше периода эвтектической структуры. Межфазная граница в области расслоения становится неустойчивой. Согласно расчетам на ней возникают пространственные искажения концентрации компоненты. Эта неустойчивость дает периодическую структуру распределения компоненты в твердой фазе. Так как область расслоения кристаллизуется с образованием периодической структуры, то можно предположить, что вне области расслоения расплав имеет равномерное распределение концентрации компоненты. Поэтому условия на границе области расслоения ведут к расширению этой области. При кристаллизации новой области расслоения также возникает неустойчивость межфазной границы и периодическое распределение компоненты в объеме твердой фазы. Этот ведет к дальнейшему увеличению области расслоения. Процесс продолжается до тех пор, пока на всей межфазной границе не установится режим кристаллизации с образованием эвтектической структуры.

Процесс расслоения распространяется также в сторону жидкой фазы.

Согласно экспериментам [7] интенсивность расслоения расплава зависит от его температуры. К сожалению, в настоящее время нет количественной теории расслоения расплава. Поэтому здесь мы используем термин интенсивность расслоения, используемый в [7]. Интенсивность расслоения расплава увеличивается при уменьшении температуры. Его интенсивность в объеме жидкой фазы зависит от температурного градиента. Амплитуда распределения малой составляющей концентрации компоненты в объеме жидкой фазы удовлетворяет уравнению (8). Она экспоненциально убывает при возрастании координаты Z. По оси Y концентрация компоненты изменяется периодически с периодом равным периоду эвтектической структуры. При перемещении межфазной границы концентрация компоненты вблизи межфазной границы перераспределяется таким образом, что равномерное распределение компоненты на достаточно далеком расстоянии от межфазной границы переходит в периодическое ее распределение на межфазной границе. Это распределение и дает эвтектическое распределение компоненты в объеме твердой фазы. В итоге мы можем утверждать, что неустойчивость межфазной границы, возникновение периодической структуры в объеме жидкой фазы и формирование этой структуры в объеме твердой фазы происходит вследствие расслоения расплава.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.