WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

0, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1. Зато вычислительная сложность этого алгоритма O(N), где N количество треугольников в триангуляции. Такого выигрыша удалось добиться за счёт введения именующей функции, которая по данному треугольнику возвращает трёх его соседей.

Несмотря на малое количество возможных принимаемых значений, картина всё же получается наглядной. В центре начального скопления концентрация сохраняет большие значения продолжительное время, но со временем наступает её равномерное распределение по всей области (рис. 5).

Рис. 5. Процесс диффузии с осреднением по ближайшим соседям КА-моделирование диффузионных процессов на триангуляционных сетках Этот алгоритм можно распространить на соседство порядка 2, то есть включать в рассмотрение соседей второго уровня. Тогда получится более гладкая картина. Аналогичным образом можно распространить алгоритм на соседство порядка n.

3.3. С р а в н е н и е К А - д и ф ф у з и и н а т р и а н г у л я ц и и с К А - д и ф ф у з и е й н а п р я м о у г о л ь н ы х с е т к а х Введём критерий соответствия построенного КА клеточным автоматам на прямоугольных сетках. Ввиду существования модели КА-диффузии лишь для плоского случая, сравнение возможно только с ним. В качестве сетки рассматривается квадратная область, заданная равносторонними треугольниками. Так как диффузия процесс беспорядочного блуждания частиц, то сравнение автоматов над булевым алфавитом не представляет интереса. Рассматриваются автоматы с осреднением по окружности.

На рис. 6 иллюстрируется сравнение вещественных значений концентрации u1 + uu = u0, (6) где u0, u1, u2 значения концентрации, соответствующие клетке.

Рис. 6. Сравнение концентраций на прямоугольной и квадратной сетках Таким образом, одному значению концентрации в квадратной сетке ставится в соответствие среднее арифметическое концентраций двух соседних клеток в триангуляционной сетке. При таком подходе количество клеток в клеточном массиве на триангуляционной сетке в два раза больше, чем на квадратной. Так как клеток больше, то очень часто в качестве случайной клетки выбирается пустая, которая впоследствии, с большой вероятностью, также меняется с пустой клеткой. Это приводит к тому, что непустые клетки выбираются реже, следовательно, процесс диффузии идёт медленнее, а концентрация вещества выше. Для соответствия значений концентраций на триангуляционной сетке проводится в два раза больше итераций. Сравнение проводится по клеткам, расположенным на горизонтальной средней линии в клеточных массивах.

Для наглядности на рис. 7 приводятся также графики нормального распределения, отражающие аналитическое решение уравнения Лапласа.

Критерием соответствия КА на триангуляции и на прямоугольных сетках будем считать аналогию диаграмм срезов по горизонтальной средней линии.

80 А. А. Евсеев, О. И. Нечаева Рис. 7. Результаты сравнения КА-диффузии на триангуляции (число итераций увеличено в два раза) с КА на квадратной сетке и графики нормального распределения 4. КА-диффузия на триангуляции (криволинейная поверхность) 4.1. О с н о в н о й а л г о р и т м К А - д и ф ф у з и и н а т р и а н г у л я ц и и ( к р и в о л и н е й н а я п о в е р х н о с т ь ) Имея полный инструментарий для дальнейшего исследования, приступим к изучению поведения КА на криволинейных поверхностях в трёхмерном пространстве.

Единственную трудность в этом случае представляет операция осреднения по окружности. Если проводить сферу из центра треугольника, то соответствия не получится:

в сферу могут попасть клетки, расположенные на противоположной стороне сетки, что неприемлемо. Для получения вещественных значений концентрации вещества можно использовать осреднение по ближайшим соседям. В качестве сетки рассматривается поверхность кости, заданная триангуляцией [7]. В начальный момент времени вносится концентрация в небольшой участок кости (рис. 8). Как видно из рисунков, по прошествии некоторого времени частицы распространились равномерно по всей поверхности кости. Причём в ходе работы клеточного автомата частицы расходились во все стороны одинаково. Построенный автомат естественно отразил физический процесс на сложной поверхности.

КА-моделирование диффузионных процессов на триангуляционных сетках Рис. 8. Процесс диффузии на кости 4.2. Д и ф ф у з и о н н о е р а с п р о с т р а н е н и е ф р о н т а н а к р и в о л и н е й н о й п о в е р х н о с т и Далее рассматривается клеточный автомат распространения фронта на триангуляции. В качестве сетки вновь берётся поверхность кости с начальным состоянием, как и в п. 4.1. Процесс диффузионного распространения фронта на такой сетке можно интерпретировать как распространение некоего воспаления из локального участка на всю поверхность кости (рис. 9).

Рис. 9. Процесс распространения фронта на кости 82 А. А. Евсеев, О. И. Нечаева Фронт распространился равномерно во все стороны и со временем охватил всю поверхность кости, что соответствует определению процесса.

4.3. А г р е г а ц и я, о г р а н и ч е н н а я д и ф ф у з и е й, н а т р и а н г у л я ц и и ( к р и в о л и н е й н а я п о в е р х н о с т ь ) Последним из рассматриваемых в данной работе клеточных автоматов является КА агрегации, ограниченной диффузией.

В начальном состоянии 10 % частиц случайным образом разбросаны по всей сетке.

Одна клетка является источником, она имеет другой цвет и обездвижена. Необездвиженные частицы двигаются в случайных направлениях, но при соприкосновении с обездвиженной они перестают двигаться и перекрашиваются. Результат работы КА приведён на рис. 10.

Рис. 10. Процесс агрегации, ограниченной диффузией, на кости 4.4. О б л а с т и п р и м е н е н и я Как отмечалось выше, область применения не ограничивается моделированием чисто физических процессов. КА-диффузия может быть использована во многих областях, вплоть до компьютерных игр и обработки изображений. Отличие может быть только в интерпретации данного процесса в конкретном случае его применения. В моделировании распространения каких-либо жидкостей или газов очень часто одной из составляющей процесса является именно диффузия. Таким образом, полученные результаты могут быть применены для построения более сложных композиционных КА, в которых одним из правил перехода будет диффузия.

Заключение Были получены аналоги клеточно-автоматной диффузии, ограниченной диффузии и диффузионного распространения фронта для произвольной криволинейной поверхности в трёхмерном пространстве, заданной триангуляцией. Полученные результаты качественно не уступают КА на прямоугольных сетках и могут служить хорошей основой для моделирования различных процессов. Из приведённых выше рассуждений КА-моделирование диффузионных процессов на триангуляционных сетках можно сделать вывод, что применение КА-диффузии не ограничивается физическими процессами, а может трактоваться по-разному в зависимости от исследуемой задачи.

Так, например, приведённый пример с распространением воспаления по кости может быть использован в медицине. Отметим важность композиционных клеточных автоматов: в большинстве моделей пространственной динамики присутствует диффузионная составляющая (примером может служить рассмотренный процесс диффузионного распространения фронта). Приведённые алгоритмы могут быть применены для других клеточно-автоматных моделей.

ЛИТЕРАТУРА 1. Бандман О. Л. Клеточно-автоматные модели пространственной динамики // Системная информатика. 2006. № 10. С. 59–113.

2. Wolfram S. A new kind of science. Champaign, Ill., USA: Wolfram Media Inc., 2002.

3. Bandman O. Comparative Study of Cellular automata Diffusion Models // LNCS. 1999.

No. 1662 (V. Malyshkin, ed.). P. 395–399.

4. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. М.: Мир, 1991.

5. Малинецкий Г. Г., Степанцов М. Е. Моделирование диффузионных процессов клеточными автоматами с окрестностью Марголуса // Журн. вычислит. матем. и математич. физ.

1998. Т. 36. № 6. С. 1017–1021.

6. Bandman O. L. Cellular Automata composition techniques for spatial dynamics simulation // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. 2008. No. 27. С. 1–40.

7. Helwig P., Faust G. Finite element analysis of a bone-implant system with the proximal femur nail // Technol. Health Care. 2006. V. 14. No. 4–5. P. 411–419.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.