WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2009 Вычислительные методы в дискретной математике №4(6) ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ УДК 621.391.1:004 КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ТРИАНГУЛЯЦИОННЫХ СЕТКАХ А. А. Евсеев, О. И. Нечаева Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск, Россия E-mail: evseev.alexei@gmail.com Работа посвящена построению аппарата клеточно-автоматного моделирования для триангуляционных сеток на плоских и криволинейных поверхностях. Исследования возможностей аппарата проводились на примере клеточных автоматов, моделирующих процесс диффузии, диффузионного распространения фронта и агрегации, ограниченной диффузией.

Ключевые слова: клеточный автомат, триангуляция, диффузия, распространение фронта.

Введение Большинство клеточно-автоматных (КА) моделей создаются для прямоугольных сеток на плоскости [1, 2]. Целью данной работы является построение и изучение клеточных автоматов на различных триангуляционных сетках, что сделало возможным реализацию клеточных автоматов и наблюдение процессов на криволинейных поверхностях в трёхмерном пространстве. Кроме того, появляется возможность КА-моделирования на реальных моделях объектов любой формы, например на адаптивных неструктурированных сетках. При таком подходе сразу же учитывается геометрия объектов. Нельзя не обратить внимание на широкое распространение триангуляционных сеток и их доступность с появлением технологии лазерного сканирования.

1. Клеточные автоматы на триангуляции 1.1. П о с т а н о в к а з а д а ч и Построение клеточных автоматов на триангуляционных сетках связано с несколькими существенными преимуществами триангуляции. Во-первых, любая поверхность может быть аппроксимирована с необходимой точностью сеткой из треугольников.

Во-вторых, вычислительная сложность алгоритмов разбиения на треугольники существенно меньше, чем при использовании других полигонов. В-третьих, в настоящее время имеется тенденция повсеместно задавать объекты триангуляцией.

Такой подход даёт возможности строить КА на произвольных криволинейных поверхностях и наблюдать за их эволюцией непосредственно на исследуемой поверхности. Целью данной работы является:

1) построение методов КА-моделирования на триангуляционных сетках;

2) исследование влияния параметров сетки на результат работы КА;

3) сравнение КА на триангуляционных сетках с КА на прямоугольных сетках;

КА-моделирование диффузионных процессов на триангуляционных сетках 4) построение КА для процесса диффузии, диффузионного распространения фронта концентрации вещества и агрегации, ограниченной диффузией на триангуляции;

5) разработка программного пакета для моделирования.

1.2. О с н о в н ы е о п р е д е л е н и я Для КА-моделирования на триангуляции требуется ввести несколько понятий.

Пусть A алфавит состояний, например, AB = {0, 1} булев алфавит, AR = [0, 1] вещественный алфавит;

M множество имён клеток, например, M = {mi : i = 1,..., N};

клетка пара (a, m), где a A, m M, a называется состоянием клетки (обозначается a(m));

клеточный массив множество клеток = {(a(m), m) : m M}.

Каждому треугольнику из триангуляции соответствует клетка. Таким образом, всей триангуляции соответствует клеточный массив.

Шаблон соседства для клетки (a, m) это множество имён клеток, обычно близлежащих к данной клетке. Например, для триангуляционной сетки две клетки будут считаться соседними, если соответствующие им треугольники имеют общую сторону.

Таким образом, у каждого треугольника может быть не более трёх соседей (рис. 1).

Рис. 1. Шаблон соседства для триангуляционной сетки T = {m0, m1, m2, m3} Чтобы не задавать шаблон перебором, вводится именующая функция на множестве M. Каждая именующая функция клетки (a, m0) указывает на имя одного из соседей этой клетки:

m1 = 1(m0), m2 = 2(m0), m3 = 3(m0).

Тогда шаблон задается так: T = {m0, 1(m0), 2(m0), 3(m0)}.

Правило перехода это некоторая функция, которая определяет новое состояние клетки в зависимости от её текущего состояния, от клеток с именами из T или от каких-либо других величин (например, вероятностей), причём для всех клеток эта функция одинакова.

Синхронный режим функционирования КА правило перехода применяется одновременно ко всем клеткам клеточного массива.

Асинхронный режим функционирования КА из клеточного массива случайным образом выбирается клетка, и к ней применяется правило перехода.

Глобальная итерация применение правила перехода к |M| клеткам клеточного массива M. Последовательность клеточных массивов, каждый из которых получается из предыдущего в результате глобальной итерации, называется эволюцией КА.

74 А. А. Евсеев, О. И. Нечаева Операция осреднения очень часто применяется для КА над булевым алфавитом для получения вещественных значений вычисляется среднее значение по некоторой окрестности каждой клетки < a >= a(mi), (1) |Tav|m Tav i где Tav M некоторая область осреднения.

Дискретизация является обратной операцией к осреднению: по вещественным значениям строится булев массив, при этом полагается 1, если rand < a, a = (2) 0, если rand a, где rand случайное число из [0, 1], a [0, 1].

1.3. О с о б е н н о с т и и с п о л ь з о в а н и я т р и а н г у л я ц и и в К А Следует заметить, что треугольники в триангуляции могут быть разные по площади и не обязательно равносторонние, в отличие от квадратов в прямоугольных сетках.

Это необходимо учитывать при исследовании некоторых клеточных автоматов. Например, в асинхронном КА на прямоугольной сетке из квадратов выбор случайной клетки на одной итерации имеет равномерное распределение. Для получения независимости от используемой сетки выбор случайного треугольника на триангуляции нужно производить, основываясь на его площади; более мелкие частицы (треугольники с меньшей площадью) быстрее вступают в процесс, таким образом, чем меньше площадь, тем с большей вероятностью этот треугольник должен выбираться в качестве случайного.

Ещё один аспект, который хотелось бы осветить, это замыкание границ в прямоугольных сетках. Ввиду простой структуры, края прямоугольных сеток очень часто замыкают, тем самым образуя тор. На триангуляции (в плоском случае) такой возможности нет ввиду возможной сложности области. При рассмотрении конкретных КА на триангуляции в данной работе возможность замыкания границ игнорируется. Это объясняется тем, что плоский случай обычно не представляет интереса, а для криволинейных поверхностей в трёхмерном пространстве очень часто рассматривается замкнутая триангуляция (у которой отсутствуют граничные треугольники). Треугольник считается граничным, если он имеет менее трёх соседей, иначе внутренним.

Кроме того, существенную роль играет то, что у каждой внутренней клетки три соседа, в отличие от четырёх в прямоугольных сетках.

2. Клеточно-автоматная диффузия на прямоугольных сетках 2.1. О с н о в н о й а л г о р и т м К А - д и ф ф у з и и н а п р я м о у г о л ь н ы х с е т к а х Диффузия процесс беспорядочного блуждания частиц, который приводит к выравниванию концентрации вещества в пространстве. В двумерном непрерывном случае при постоянном коэффициенте диффузии d процесс описывается уравнением Лапласа 2u 2u u(x, y, t) = d +, t x2 yгде u(x, y, t) концентрация вещества в точке декартова пространства с координатами x, y в момент времени t. Классические КА-модели диффузии имеют булев алфавит КА-моделирование диффузионных процессов на триангуляционных сетках и эволюцию в виде последовательности булевых массивов. Состояния клеток (0 или 1) определяют наличие или отсутствие единицы массы, которая не наделена скоростью.

КА-диффузия на прямоугольных сетках уже довольно хорошо изучена [3].

Одной из КА-моделей диффузии является наивная диффузия [4]. Это наиболее примитивная модель диффузии, которая непосредственным образом отображает представление о процессе как о блуждании частиц в стремлении выровнять концентрацию вещества в пространстве. Режим функционирования КА асинхронный, что вполне соответствует природе процесса. Окрестностью клетки являются её ближайшие четыре соседа. Правило функционирования таково, что на каждой итерации выбирается случайная ячейка, которая меняется своим значением равновероятно с одним из своих соседей. При таком правиле видно выполнение закона сохранения масс, а случайный выбор одного из соседей соответствует беспорядочному блужданию частиц в соответствии с определением процесса диффузии.

Ещё одна из моделей КА-диффузии КА-диффузия с окрестностью Марголуса [4]. Для краткости будем называть ее TM-диффузией по первым буквам фамилий её авторов, как это принято в западной литературе. TM-диффузия является более популярной, чем наивная диффузия, по двум причинам. Во-первых, потому, что она обладает свойством, которое в математике называют элегантностью, то есть сочетанием простоты и эффективности. Во-вторых, существует строгое математическое доказательство, что она аппроксимирует оператор Лапласа [5]. Клеточный массив разбивают на два подмножества, каждое из этих подмножеств состоит из блоков, содержащих четыре клетки. Функционирование КА происходит в двухтактном синхронном режиме.

Каждая итерация делится на два такта. На чётных тактах правила перехода применяются к чётным блокам, на нечётных к нечётным. Правила перехода таковы, что выполняют сдвиг состояний в клетках блока равновероятно по часовой стрелке или против часовой стрелки. Уменьшая p и манипулируя значениями шагов во времени и пространстве, можно моделировать процесс диффузии с коэффициентом в широком диапазоне [1].

Проверить тот факт, что КА действительно моделирует диффузию, можно двумя путями: аналитически и экспериментально. Аналитическое доказательство построено только для одной КА-модели TM-диффузии. Экспериментальное доказательство состоит в выполнении процесса моделирования и сравнении эволюции КА с решением уравнения на некотором наборе итераций.

2.2. Д и ф ф у з и о н н о е р а с п р о с т р а н е н и е ф р о н т а н а п р я м о у г о л ь н ы х с е т к а х Распространение фронта это такой процесс, при котором происходит равномерное распространение частиц, со временем заполняющих всю область. Распространение фронта может моделироваться композиционным клеточным автоматом. Это означает, что на каждой итерации к клеточному массиву последовательно применяется несколько правил. Композиционные клеточные автоматы хорошо отражают реальные физические процессы, так как в большинстве случаев они включают в себя несколько явлений [6].

Последовательность правил в КА распространения фронта:

1) проводится одна глобальная итерация диффузии;

2) полученный массив осредняется по формуле (1);

3) добавляется поток: в каждой клетке значение концентрации u заменяется на значение 0,5u(1 - u);

76 А. А. Евсеев, О. И. Нечаева 4) производится дискретизация по формуле (2).

Хотелось бы отметить, что добавление потока и дискретизация являются операциями, не зависящими от типа сетки, поэтому они могут быть легко распространены на трёхмерный случай на триангуляционной сетке.

3. КА-диффузия на триангуляции в плоскости 3.1. О с н о в н о й а л г о р и т м К А - д и ф ф у з и и н а т р и а н г у л я ц и и в п л о с к о с т и Пусть сетка состоит из равносторонних треугольников. Воспользуемся введёнными основными определениями относительно клеточных автоматов на триангуляции. Правило функционирования КА будет аналогичным случаю на прямоугольной сетке, только вероятность выбора одного из соседей станет 1/3. Тестирование работы клеточного автомата проводится над булевым алфавитом. В начальный момент времени в середине сетки вводится несколько рядом расположенных частиц. На рис. 2 представлена работа автомата (плоскость отмечена серым цветом). Как видно из рисунков, частицы распространились равномерно во все стороны. Таким образом, наблюдается визуальная аналогия с КА на прямоугольной сетке (более формальное сравнение будет произведено ниже). Такой эффект был достигнут благодаря тому, что все треугольники одинаковые (равносторонние). Но так как поставленная задача состоит в том, чтобы отойти от ограничений на используемую сетку, в ходе работы были подобраны правила функционирования клеточного автомата для произвольной сетки. Сосед по меньшей длине стороны треугольника выбирается вероятнее, чем по большей. Таким образом, вероятности выбора соседа относительно длины стороны будут выглядеть следующим образом:

1/lengthi, (3) 1/lengthi i=где lengthi длина соответствующей стороны в треугольнике.

Рис. 2. Процесс диффузии на сетке из равносторонних треугольников КА-моделирование диффузионных процессов на триангуляционных сетках В качестве примера рассмотрим КА-диффузию на неструктурированной сетке (рис. 3).

Рис. 3. Процесс диффузии на адаптивной сетке Несмотря на относительно небольшое число треугольников в триангуляции (4129), процесс диффузии продолжительное время распространяет частицы лишь в середине области, так как размеры треугольников в этом месте значительно меньше, чем на краях. Но по истечении достаточно длительного времени частицы выходят за границы внутренней окружности с большой плотностью сетки.

3.2. О с р е д н е н и е в К А - д и ф ф у з и и н а т р и а н г у л я ц и и в п л о с к о с т и Опишем алгоритм осреднения по окружности для клеточных автоматов на триангуляционных сетках. Рассматривается центр каждого треугольника из триангуляции и проводится окружность некоторого радиуса из этого центра. Затем подсчитывается общее количество клеток, попавших в эту окружность, numOfTrianglesInCircle и количество клеток в состоянии 1 numOfParticles. Таким образом, значение концентрации будет определяться формулой numOfParticles u =, (4) numOfTrianglesInCircle где numOfTrianglesInCircle = 0 вне зависимости от значения радиуса, так как рассмат риваемый треугольник заведомо лежит в этой окружности. Если соответствующим образом подобрать значение радиуса окружности, проводимой для осреднения, то получается наглядная картина (рис. 4).

Недостаток этого алгоритма в его вычислительной сложности, составляющей O(N2), где N количество треугольников в триангуляции. В связи с этим рассматривается ещё один алгоритм осреднения с гораздо меньшей вычислительной трудоёмкостью осреднение по ближайшим соседям. Суть этого алгоритма заключается в рассмотрении лишь соседних клеток и проведении среди них подсчёта клеток, находящихся в состоянии 1. Состояние самой клетки, для которой проводится осреднение, тоже влияет на значение numOfParticles:

numOfParticles u =, (5) numOfNeighbors + 78 А. А. Евсеев, О. И. Нечаева где numOfNeighbors количество соседей, numOfNeighbors {0, 1, 2, 3}.

Рис. 4. Процесс диффузии с осреднением по окружности При таком подходе возможных значений концентрации становится всего лишь 7:

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.