WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 65 |

Существует ряд классических методов построения вом параметров, использование данных методов стафункций, график которых точно проходит через за- новится затруднительным, так как для каждого отданный набор точек. Это различные интерполяцион- дельного вида функции приходится выполнять отные формулы, а также различные дискретные преоб- дельную процедуру построения интерполянта.

разования. Полученную функцию (интерполянт) Предлагается метод, позволяющий для заданного можно использовать для вычисления значений функ- на равномерной сетке набора точек автоматически ции между исходными точками (интерполяция), за их определять интерполирующую функцию из заданного пределами (экстраполяция), а также компактной запи- множества с наименьшим количеством параметров.

си или дальнейшего анализа данных. Для интерполя- Суть данного метода заключается в следующем.

ции и экстраполяции также могут использоваться Исходный набор значений принимается за начало имразностные схемы, хотя они и не дают точной записи пульсной характеристики рекурсивного цифрового интерполянта. фильтра неизвестного порядка с одинаковым количеВ качестве интерполянтов чаще всего используют- ством коэффициентов ak и bk. Этот фильтр рассчитыся алгебраические многочлены, суммы экспонент, вается таким образом, чтобы минимизировать его поФурье-суммы, сплайны. Количество слагаемых в ука- рядок. Затем по полученным коэффициентам можно занных функциях определяется количеством исход- определить вид функциональной зависимости, котоных точек. Вид интерполянта в конкретной задаче рой подчиняются члены исходной последовательнообычно выбирается на основании дополнительной сти. А после этого, опять же только по коэффициенинформации о зависимости между исходными значе- там, можно полностью выписать эту функцию. Выявниями. Иными словами, упомянутые методы не пред- ленная таким способом функция будет иметь не изназначены для поиска наиболее подходящей модели вестный заранее вид, а будет наиболее простой из данных – каждый из них уже предполагает конкрет- некоторого множества функций и при этом с мининую модель. Если же необходимо искать интерполянт мально возможным количеством параметров.

в виде суммы функций из разных классов (например, Для синтеза цифрового фильтра (ЦФ) в данной посуммы многочлена и синусоид), то применение клас- становке задачи воспользуемся уравнением цифровой сических методов интерполяции становится малове- фильтрации:

NM роятным.

y(n) = x(n - k) - y(n - k). (1) Таким образом, классические методы построения bk ak k =0 k =функций, график которых точно проходит через заСогласно постановке задачи, M = N + 1. Так как данный набор точек, удобно использовать, когда вид последовательность Y = {yk} является импульсной интерполянта заранее выбран и остается только опрехарактеристикой и в нашей постановке задачи известделить его параметры (коэффициенты). В случае если на заранее, подставим в (1) вместо xi – единичный вид интерполянта не известен заранее либо в заданимпульс, а вместо yi – элементы исходной последованом множестве функций необходимо определить интельности. Получим систему линейных уравнений терполирующую функцию с наименьшим количест1 b0 y 1 - y0 b1 y 1 - y1 - y0 b2 y.

= (2) 1 - yN -1 - yN -2 - y0 bN yN - yN - yN -1 - y1 - y0 a1 yN + - yN +M -1 - yN +M -2 - yM -2 - yM -1 aM yN +M *Работа выполнена в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные кадры и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы» (контракт П1032 от 27.05.2010).

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Неизвестными в системе (2) являются коэффици- Для показательной и синусоидальной функций енты ak и bk, а также минимально возможные M и N, правила идентификации следующие.

при которых система имеет единственное решение.

Для показательной функции:

Для идентификации цифрового рекурсивного M = 2, N = 1, a1 + a2 = –1, a2 > 0, a2 1. (3) фильтра по его импульсной характеристике в теории Для синусоидальной функции:

цифровой обработки сигналов уже имеются алгоритмы (например, метод Прони [1]), которые, однако, не M = 3, N = 2, a1 = – a2, –1 < a2 < 3, a3 = –1. (4) полностью соответствуют поставленной задаче (не После идентификации вида интерполянта необховыполняется поиск фильтра минимального порядка).

димо определить все его параметры (коэффициенты в В рамках данной работы был разработан алгоритм записи функции). Для полинома каждой степени зарасчета рекурсивных цифровых фильтров. Более подвисимость коэффициентов прямой связи (bk) соответробное его описание приводится в [2–3]. Сначала опствующего фильтра от значений параметров полиноределяется необходимый порядок фильтра, а затем ма однозначна и определяется в ходе решения систерешается система (2).

мы (2). Данная зависимость линейна, таким образом, Доказано [2; 4], что данный алгоритм синтеза будля определения обратной зависимости необходимо дет иметь решение как раз в случае, когда значения всего лишь решить систему линейных уравнений.

элементов последовательности Y являются значенияРешить такую систему для полинома степени n необми функции, взятыми на равномерной сетке. Такое ходимо всего один раз – полученные формулы могут доказательство проведено для нескольких видов быть использованы для всех полиномов такой же стефункций (любых полиномиальных функций, любых пени. Несколько примеров для полиномов младших экспоненциальных и любых синусоид), отдельно для степеней приведено в табл. 2. Для остальных видов каждого вида. Эти три вида функций составляют функций – показательной и синусоидальной – формумножество функций, среди которых будет отыскилы также вычислены, хотя зависимость уже и не являваться интерполянт с наименьшим количеством парается линейной.

метров. Приведенные ниже теоремы также дают и Для показательной функции y(x) = k·ab·x + c:

порядок, соответствующий функции конкретного вида. А значит, устанавливается однозначное соответстk = b1 + b0a1, вие между функцией и количеством коэффициентов b (5) a =-a1 -1, соответствующего фильтра.

c = (b0 + b1) / (1- a1).

Таким образом, алгоритм расчета фильтра являет ся первым шагом предлагаемого метода автоматиче- ской интерполяции. Фильтр, найденный таким обра- Для синусоидальной функции y(x) = a·sin(b·x + c) + d:

зом, предлагается называть фильтром, соответствуюb2(2 - a2) - b0 - ba =, щим последовательности Y.

b2(2 - a2) - b0 - b1 a2 + Следующий шаг метода – определение вида ин- (3 - a2)sin arctg b0 - b1 - a2b2 3 - aтерполирующей функции. Это выполняется с исполь зованием только коэффициентов обратной связи по a2 -b = arccos, лученного фильтра. Если интерполянтом является (6) многочлен, то это можно сразу идентифицировать по c = arctg b2(2 - a2) - b0 - b1 a2 +значениям коэффициентов обратной связи (ОС) ak.

, b0 - b1 - a2b2 3 - a Для двух других видов интерполирующей функции – экспоненциальной и синусоидальной – правила иден- d = b0 + b1 + b2.

тификации немного усложняются, так как коэффици3 - a енты ak зависят не только от вида интерполирующей Значение аргумента арккосинуса в (6) принимает функции, но и от ее параметров.

a2 -Значения коэффициентов ОС, соответствующих только допустимые значения 1 в соответстполиномам, легко определяются из значений биномивии с условиями (4) для синусоидальной функции альных коэффициентов. Значения для полиномов (так как –1 < a2 < 3).

младших порядков приводятся в табл. 1.

Таблица Коэффициенты ОС фильтров, соответствующих полиномам Интерполирующая Порядок соответствующего Формула Коэффициенты ak функция фильтра Линейная y = kx + b 2 (–2 1) Квадратичная y = ax2 + bx + c 3 (–3 3 –1) Кубическая y = ax3 + bx2 + cx + d 4 (–4 6 –4 1) Полином 4-й степени y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 5 (–5 10 –10 5 –1) Математика, механика, информатика Таблица Зависимость параметров полиномов от коэффициентов bk соответствующего рекурсивного цифрового фильтра Интерполирующая функция Формула Выражения для вычисления параметров Линейная yi = s0·i + s1 s0 = b0 + b1, s1 = –bb0 + b1 + b2 b0 - b1 - 3bКвадратичная yi = s0·i2 + s1·i + s2 s0 =, s1 =, s2 = –b2 b0 + b1 + b2 + b3 b0 - b2 - 2bs0 =, s1 = 6 Кубическая yi = sk ik 2b0 - b1 + 2b2 +11bk =s2 =, s3 = –bb0 + b1 + b2 + b3 + bs0 = 3b0 + b1 - b2 - 3b3 - 5bs1 = yi = sk ik Полином 4-й степени 11b0 - b1 - b2 +11b3 + 35bk =s2 = 3b0 - b1 + b2 - 3b3 - 25bs3 =, s4 = –bДополнительным преимуществом предложенного являются функции) данные действия в рамках данной метода, наряду с возможностью автоматического оп- работы выполнялись только для нескольких классов ределения простейшего интерполянта из трех указан- функций, являющихся линейными комбинациями ных классов функций, является возможность вклю- известных методу функций.

чать в это множество функций любую функцию, яв- Далее кратко изложим доказанные теоремы.

ляющуюся линейной комбинацией уже известных Теорема 1. Для последовательности Y длины методу функций. Тем не менее, несмотря на то что L 2(n + 1), члены которой являются равноотстоясреди известного множества функций поиск наилуч- щими отсчетами полиномиальной функции одного шего интерполянта выполняется автоматически, так- переменного yi = pn(i) = 0·in + 1·in-1 +... + n, 0 0, же автоматически распространить правила идентифи- и заданы любые (n + 1) подряд идущих члена кации по коэффициентам фильтра на все возможные ym, ym+1,…, ym+n, существует единственный рекурсивлинейные комбинации является сложной задачей. Для ный цифровой фильтр порядка n + 1 (M = n + 1, этого необходимо сначала определить необходимый N = n), импульсная характеристика которого совпадапорядок системы (2) для произвольной конечной ет с Y.

суммы одночленов, синусоид и показательных функ- Доказательство. Часть 1. Пусть m = 0, а отсчеты ций (это несложно). функции берутся с шагом, равным единице. ИспольЗатем нужно построить такую систему уравнений, зуя выражение (1), построим начальную систему доказать ее совместность и решить ее. В связи с тру- уравнений для M + N + 1 первых элементов последодоемкостью последних шагов (из-за операций с мат- вательности Y, приняв ее за импульсную характеририцами больших размерностей, элементами которых стику искомого ЦФ. Матрица системы:

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 - pn (0) 0 0 0 0 1 0 - pn (1) - pn (0) 0 0 0 0 1 - pn (n -1) - pn (n - 2) - pn (0) P =.

0 0 0 0 - pn (n) - pn (n -1) - pn (1) - pn (0) 0 0 0 0 - pn (n +1) - pn (n) - pn (2) - pn (1) 0 0 0 0 - pn (2n -1) - pn (2n - 2) - pn (n) - pn (n -1) 0 0 0 0 - pn (2n) - pn (2n -1) - pn (n +1) - pn (n) Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Элементарными преобразованиями приведем мат- Доказательство. Рассмотрим сначала случай, корицу к верхнетреугольному виду. Если построить гд Y является отсчетами показательной функции, взяа эту систему для большего числа уравнений, то она той с шагом, равным единице – i = 0, 1, …, L – 1. Исаналогичными преобразованиями будет приводиться пользуя выражение (1), построим начальную систему к такому же треугольному виду – все строки, начиная уравнений для первых четырех элементов последовас (n + 1)-й, будут нулевыми. тельности Y, приняв ее за импульсную характеристику Теперь рассмотрим расширенную матрицу этой искомого ЦФ (т. е. x(n) = {1, 0, 0, 0,...}). Элементарсистемы. При выполнении аналогичных преобразова- ными преобразованиями матрица системы приводится ний матрица приводится к аналогичному треугольно- к треугольному виду:

му виду – дополнительный столбец оказывается нуле1 0 0 вым.

0 1 k + c Кроме того, все элементы на главной диагонали P = ~ этих треугольных матриц оказываются равными 0 0 k ab + c k + c zn(k) = –n! 0. Таким образом, система совместна (так 0 0 k a2b + c k ab + c как ранги матриц системы равны) и имеет единствен- ное решение (так как система обладает полным ран1 0 0 гом при 0 0, что соответствует условию теоремы).

0 1 k + c.

Пока что доказана справедливость теоремы только для случая, когда Y является последовательностью 0 0 k (ab -1) k + c отсчетов полинома степени n, взятых с шагом, рав 0 0 0 c (1- ab ) ным единице. Докажем, что она справедлива и в случае любого постоянного шага:

Аналогично для расширенной матрицы системы:

yi = (i step)n- j = stepn- j ) (i)n- j = 1 0 0 0 k + c j ( j jj 0 1 k + c 0 k ab + c P = ~ = in- j, i = 0, L -1, j = 0, n.

j 0 0 k ab + c k + c k a2b + c j 0 0 k a2b + c k ab + c k a3b + c Таким образом, любая последовательность равноотстоящих отсчетов некоторого полинома является 1 0 0 0 последовательностью отсчетов с шагом 1 полинома 0 1 (k + c) 0.

такой же степени с другими коэффициентами.

0 0 k (ab -1) k + c Часть 2. Пусть m > 0. Для любых n + 1 фиксиро ванных точек существует единственный полином, 0 0 0 c (1- ab ) проходящий через них. Следовательно, зная yi, i = m, m + n, можно построить систему уравнений:

Таким образом, ранги матриц P и P равны при любых параметрах k, a, b и c, a 0, a 1, b 0, k 0.

mn- j = ym, j Значит, система определена и совместна, т. е. имеет j единственное решение.

(m +1)n- j = ym+1, Построим теперь те же матрицы, но с L строками, j j L > M + N + 1. После аналогичных элементарных пре образований матрицы приводятся к следующему тре… угольному виду:

(m + n)n- j = ym+n.

j 1 0 0 j 0 1 k + c Данная система имеет единственное решение от0 0 k (ab k + c -1) носительно j для фиксированного m > 0. Значит, если P ~ 0 0 0 c (1- ab), фиксированы yi, i = m,m + n, то фиксированы коэффи циенты полинома j. А если фиксированы коэффици0 0 0 енты полинома, то фиксированы yi, i = 0,n, так как 0 0 0 они однозначно выражаются через коэффициенты полинома. Следовательно, при m > 0 справедливо до1 0 0 0 казательство из части 1 данной теоремы. 0 1 k + c 0 Теорема 2. Для последовательности Y = y(i) длины 0 0 k (ab k + c -1) L 4, члены которой являются равноотстоящими P ~ 0 0 0 c (1- ab) 0.

отсчетами показательной функции yi = f(i) = k·abi + c, a 0, a 1, b 0, k 0, и заданы первые четыре члена 0 0 0 0 y0, y1, y2, y3, существует единственный рекурсивный цифровой фильтр второго порядка (M = 2, N = 1), им0 0 0 0 пульсная характеристика которого совпадает с Y.

Математика, механика, информатика коэффициентом в показателе степени. Следовательно, Следовательно, rang(P) = rang( P ) = 4, и добавлендоказательство справедливо при любом постоянном ные L – M – N – 1 уравнений линейно зависимы от шаге.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.