WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |

T 21 24 27 36 30 42 70 48 M 11.8 13.6 15.6 22 17.7 26.6 54 31.6 Разделение исходного двухмерного массива на два одномерных массива-столбца:

, O M< 1 > CO M< 2 > 2 T O = 21 24 27 36 30 42 70 48 T CO = 11.8 13.6 15.6 22 17.7 26.6 54 31.6 Аппроксимация экспериментальных данных методом наименьших квадратов:

n 9 Начальное приближение: a 0 a 0 given n n..

CO a n a O 2i 0 1 2i i = 1 i = n n n...

O CO a O a O 2i 2i 0 2i 1 2i i = 1 i = 1 i = 15.find a, a = 0 1.Проверка полученного решения:

, a intercept O, CO a slope O, CO 0p 2 2 1p 2 a = 15.594 a = 1.0p 1p Графическое отображение решения:

.

y( x) a a x 0p 1p y O CO 20 37 54 71 88 O Рис. 8.1. Аппроксимация экспериментальных данных методом наименьших квадратов Указания к выполнению задания:

1) Введите номера первых элементов массивов, которые задаются системной переменной ORIGIN, и значения экспериментальных данных.

2) Для дальнейшей обработки двухмерный массив исходных данных необходимо разделить на два одномерных массива–столбца. Шаблон верхнего индекса, определяющего номер колонки массива можно вызвать нажатием комбинации клавиш [Ctrl] + [6] или нажав кнопку ‘‘М< >’’ на панели векторов и матриц.

3) Для нахождения коэффициентов а0 и а1 необходимо решить систему уравнений (5). Это можно сделать при помощи встроенных функций given (дано) и find (найти). Перед встроенной функцией given необходимо задать начальные приближения для искомых переменных. В данном случае для а0 и а1. Обычно в качестве начальных приближений берут простые числа, типа 0, 1, -1, 2 и т.п. После функции given необходимо записать анализируемую систему, связывая левые и правые части уравнений знаком ‘‘логическое равенство’’ – жирным знаком ‘‘равно’’, который можно вызвать нажатием комбинации клавиш [Ctrl] + [=].

Функция find возвращает значения искомых переменных. Если система функций given и find выдаёт сообщение об ошибке, то можно попробовать изменить начальные приближения.

4) Проверку правильности решения можно произвести при помощи встроенных функций intercept и slope, которые возвращают, соответственно, коэффициенты а0 и а1 линейной регрессии y = a0 + a1·x.

5) Соответствие полученного уравнения экспериментальным данным можно оценить при помощи графика.

Задание для самостоятельной работы Найти методом наименьших квадратов линейную зависимость y = a0 + a1·x по заданным эмпирическим данным. Используя найденную линейную зависимость, найти значение у в точке х = N + 0,55, где N – номер варианта. Вариант задания взять из таблицы 8.1 согласно порядковому номеру студента по журналу.

Таблица 8.Варианты заданий для самостоятельной работы № вар. Эмпирические данные х 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 у 0,686 0,742 0,767 0,646 0,807 0,774 0,97 0,932 0,936 0,978 1,х 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 у 2,312 2,251 2,418 2,752 2,459 2,7 3,022 3,079 2,42 2,669 3,х 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 у 4,615 4,591 5,13 5,481 5,492 5,553 5,471 5,727 5,798 6,11 6,х 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 у 8,472 8,805 9,096 8,993 9,312 9,465 9,771 9,61 9,722 11,42 10,х 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 у 12,36 13,63 13,3 13,15 13,48 14,24 14,51 14,88 15,25 15,37 15,х 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 у 17,63 19,75 19,78 18,81 19,88 21,12 20,21 19,48 20,15 20,5 21, № вар. Эмпирические данные х 7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 у 25,24 25,13 25,67 26,63 26,75 27,23 26,49 26,88 27,23 28,06 27,х 8 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 у 30,53 34,22 34,23 34,11 33,59 34,06 34,5 35,82 35,68 37,44 35,х 9 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 у 41,74 42,24 43,88 42,16 43,7 45,04 42,46 45,73 44,06 45,86 44,х 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 у 49,76 51,92 50,08 52,38 53,41 54,97 52,78 54,11 55,48 55,68 56,х 11 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 у 62,17 63,05 63,72 64,24 64,09 63,59 65,41 65,28 65,05 68,87 65,х 12 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 у 71,17 74,26 72,66 74,51 76,65 75,52 75,71 76,36 79,32 77,37 77,х 13 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 13,6 13,7 13,8 13,9 у 86,61 85,49 87,8 88,61 89,07 89,24 89,63 90,76 91,32 91,43 91,х 14 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 14,7 14,8 14,9 у 99,81 100,3 99,49 102,6 103,2 104,4 104,7 105,1 104,7 105,5 107,х 15 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 15,6 15,7 15,8 15,9 у 115,2 115,3 115,1 116 117,2 119,3 121,4 119,8 120,8 121,6 124,х 16 16,1 16,2 16,3 16,4 16,5 16,6 16,7 16,8 16,9 у 121,3 121,5 120,9 121,7 124,1 124,3 123,9 124 125,5 125,9 126,Требования к отчёту Отчет о лабораторной работе должен включать цель работы, реферат первого раздела и протокол действий, самостоятельно выполненных студентом на компьютере. Рабочий документ выполнения лабораторной работы должен быть сохранён на ПЭВМ в личной папке студента.

При сдаче лабораторной работы студент должен ответить на следующие контрольные вопросы:

1. Назначение метода наименьших квадратов 2. Сущность метода наименьших квадратов 3. Повторите вывод уравнений (3 – 6) для случая y = a0 + a1·x + a2·x2.

4. Назначение встроенных функций given и find 5. Назначение встроенных функций intercept и slope 6. Как разделить один двухмерный массив на два одномерных 7. Что означают следующие знаки: ":=", "=", "=", "", "" 8. Как задать на графике значения переменных в виде отдельных точек (кружков, крестиков и т.д.) 9. Для чего производится операция транспонирования матрицы Лабораторная работа № Приближённое вычисление интегралов методом Симпсона Цель работы 1. Освоить метод численного интегрирования Симпсона.

2. Получить практические навыки вычисления интегралов методом Симпсона.

1. Общие сведения Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является составной частью решения полной проблемы. Вычисление площадей и объёмов, определение центра и моментов инерции тел, вычисление значения работы, произведённой некоторыми силами, и многие другие задачи приводят к интегрированию функций. Геометрический смысл простейшего определённого интеграла b I = f (x)dx (1) a от неотрицательной функции f(x) 0, как известно, состоит в том, что значение I – это площадь, ограниченная кривой y=f(x), осью абсцисс и прямыми x=a, x=b.

Разделим отрезок [a, b] точками x0=a, x1, x2, …, xn=b на чётное число частей n = 2m, где m = 1, 2, 3, …. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0, x1] и [x1, x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x), которая ограничена параболой второй степени, проходящей через эти три точки и имеющую ось, параллельную оси 0Y. Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси 0Y, имеет вид:

y = A x2 + B x + C. (2) Лемма. Если криволинейная трапеция ограничена параболой (2), осью 0Х и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна:

h S = (y0 + 4 y1 + y2 ), (3) где y0 и y2 – крайние ординаты, а y1 – ордината кривой в середине отрезка.

Пользуясь формулой (3), можем написать следующие приближённые равенства (h=x):

xx f (x)dx (y0 + 4 y1 + y2 ), a=xxx f (x)dx (y2 + 4 y3 + y4 ), 3 (4) x.........................................................

x2 m =b x f (x)dx (y2m-2 + 4 y2m-1 + y2m ).

x2 m - Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение:

b x f (x)dx (y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 +... + 2 y2m-1 + 4 y2m-1 + y2m ). (5) a Сокращая, получим формулу Симпсона в общем виде:

b m m-x f (x)dx y0 + 4 y2i-1 + 2 y2i + y2m. (6) i=1 i=a Формулу Симпсона также называют формулой парабол.

2. Пример применения метода Симпсона Решить задачу:

Существует некоторое предельное значение параметра вдува (характерного параметра интенсивности процесса массообмена), при котором коэффициенты трения, теплообмена и массообмена становятся равными нулю. При этом критический параметр вдува определяется формулой:

bкр = d, ст где, ст – плотность среды в потоке и на стенке; – относительная скорость.

Найти: значение критического параметра при = 600 кг/м3, ст = кг/м3.

Фрагмент рабочего документа с решением задачи представлен на рисунке 9.1.

Задание для самостоятельной работы b Вычислить определённый интеграл f (x)dx методом Симпсона. Вари a ант задания взять из таблицы 9.1 согласно порядковому номеру студента по журналу.

Таблица 9.Варианты заданий для самостоятельной работы № вар. f(x) [a, b] № вар. f(x) [a, b] 1 [0, 16] 9 [0, 4] 256 - x2 x3 16 - x2 [0, 1] 10 [0, 5] x2 1 - x2 x 25 - xexp( 3 - x) 3 [0, 5] 11 [0, 3] (25 + x2 ) 25 + x(3 + x) 9 - x6 1 - x + 2 x 2 - x 4 [3, 5] 12 [1, 64] x - x + 2 x3 + x5 0, 2 13 [0, 1] 3 / (5 - x2) (2 - x2 ) x9 - 2 x 6 0, 2 14 [6, 9] (1 - x2 ) 2 x - 7 [0, 2] 15 x + 12 [6, 10] 4 - x4 - x2 8 [0,13] 1 / (9 + x2 ) (4 + x) (16 - x2 )[0, 4] Требования к отчёту Отчет о лабораторной работе должен включать цель работы, реферат первого раздела и протокол действий, самостоятельно выполненных студентом на компьютере. Рабочий документ выполнения лабораторной работы должен быть сохранён на ПЭВМ в личной папке студента.

При сдаче лабораторной работы студент должен ответить на следующие контрольные вопросы:

1. Назовите примеры задач, при решении которых возникает необходимость в вычислении определённых интегралов.

2. Геометрический смысл определённого интеграла 3. Что называют параболической трапецией 4. Какой вид имеет уравнение параболы с осью, параллельной оси 0Y 5. Чему равна площадь криволинейной трапеция, ограниченной параболой (2), осью 0Х и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h 6. Напишите формулу Симпсона.

7. Почему формулу Симпсона называют формулой парабол 8. Объясните алгоритм вычисления определённого интеграла методом Симпсона.

9. Какие стандартные средства MathCAD предназначены для вычисления определённых интегралов 10. Как влияет количество интервалов на точность вычисления определённого интеграла Исходные данные:

kg kg..

600 800 0 s n k m3 mПодинтегральная функция:

f( ) Принимаем количество интервалов (чётное) n Программный модуль для расчёта определённого интеграла по формуле Симпсона:

k n Integral n nechet chet for i 1, 3.. ( n 1 ).i) nechet nechet f( for i 2, 4.. ( n 2 ).i) chet chet f(..nechet 2.chet f f n k.Integral b = 0.b kr kr s Проверка с использованием символьной функции:

k.

f( ) d = 0. s n Рис. 9.1. Вычисление определённого интеграла методом Симпсона Лабораторная работа № Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта Цель работы 1. Освоить методы Эйлера и Рунге-Кутта.

2. Получить практические навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при рассмотрении задач нагрева термически тонких тел.

1. Общие сведения Большое количество задач с обыкновенными дифференциальными уравнениями (О.Д.У.) вида dy = f (x, y) (1) dx может быть решено только численно. Простейшим методом решения подобных уравнений является метод Эйлера. Этот метод состоит в пошаговом применении простой формулы:

yi +1 = yi + x f (xi, yi), (2) где i – номер узла, на которые разбит интервал по переменной х, х – расстояние между узлами i и i + 1. Понятно, что чем меньше величина х, тем точнее будет расчёт, но одновременно, увеличится время вычислений на ЭВМ за счёт увеличения количества узлов.

Этот метод даёт хорошее приближение решения только при достаточно малом х и только для нескольких первых узлов (точек). Метод Эйлера даёт относительно большую погрешность, так как имеет первый порядок точности. Первый порядок – самый низкий. Достоинство этого метода в наглядности и простоте реализации.

Более совершенным, по сравнению с методом Эйлера, при решениии О.Д.У. является метод Рунге-Кутта. Идея метода Рунге-Кутта состоит в том, чтобы представить дискретную задачу, соответствующую (1), в виде:

yi +1 = yi + x (xi, yi, x), (3) где функция (xi, yi,x) приближала бы отрезок ряда Тейлора:

yi yi( p) p yi+1 = yi + yi x + x2 + K + x (4) 2! p! и в то же время не содержала бы производных от функции f(x, y). Таким образом, в основе методов Рунге-Кутта лежит подгонка рядов Тейлора.

Заметим, что метод Рунге-Кутта первого порядка (р = 1) – это метод Эйлера, так как здесь в вычислениях используются только значения f(x, y).

Наиболее популярным среди методов Рунге-Кутта является метод Рунге-Кутта четвёртого порядка:

yi+1 = yi + (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 ), (5) где k1 = f (xi, yi ) x;

x kk2 = f xi +, yi + x;

2 x k k3 = f xi +, yi + x;

2 k4 = f (xi + x, yi + k3 ) x.

2. Пример применения метода Рунге-Кутта Решить задачу:

Процесс нагрева конвекцией термически тонкого тела описывается следующим уравнением:

dT C V = (Tg - T) S, (6) d где V и S – объём и площадь поверхности нагреваемого тела, T – температура тела.

Исходные данные: D = 2R = 0.025 м; плотность металла = кг/м3; удельная теплоёмкость металла С = 600 Дж/(кгК); коэффициент теплоотдачи конвекцией = 30 Вт/(м2К); коэффициент теплопроводности = 30 Вт/(мК); начальная температура Т0 = 300 К.

Найти: изменение температуры термически тонкой цилиндрической стальной заготовки диаметром D, нагреваемой конвекцией в печи, если температура печных газов изменяется по закону Tg = 1000 + b, где = = 0 300 – время нагрева, с; b = 1 К/с.

Указания к выполнению задания:

При решении задачи уравнение (6) преобразуется к следующему виду, максимально приближённому к виду О.Д.У. (1):

dT S = (Tg - T)= (Tg - T) (7) d C V C R Фрагмент рабочего документа с решением задачи представлен на рис. 10.1.

Задание для самостоятельной работы Решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

dT k = (Tокр - T) d S C методом Рунге-Кутта. Данные, общие для всех вариантов: Токр = 1000 К, С = 600 Дж/(кгК), = 8000 кг/м3, начальное значение Т0 = 273 К, = = 0 1200 с. Остальные данные взять из таблицы 10.1. согласно порядковому номеру студента по журналу.

Исходные данные:

kg J K.m 8000...

D 0.025 C 600 b 3.K kg s m W. W..K k 0.K 30 m.K T m.s.s 0 n k D Радиус заготовки: R.K.

1) Закон изменения температуры в печи: T ( ) 1000 b g..

2) Правая часть О.Д.У.: f(, T ) T ( ) T..R g C 3) Расчёт одного шага методом Рунге-Кутта 4-го порядка:

.

y x, y, x k f x, y x i1 i i 1 i i k x. x k f x, y 2 i i 2 k x. x k f x, y 3 i i 2.

k f x x, y k x 4 i i..k.k y k 2 2 k i 1 2 3 Принимаем количество шагов по времени N k n Величина шага по времени N i 1.. N Температура, рассчитанная методом Рунге-Кутта 4-го порядка:

.i T y, T, i i1 i TT = 300 346.023 392.861 440.465 488.791 537.796 K Графическое представление полученных результатов:

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.