WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

81. Через вершину нижнего основания единичного куба проведена плоскость, касающаяся вписанного в куб шара. Эта плоскость отсекает от верхнего основания треугольник площади S. Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.

82. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны a, b и c. Найдите радиус описанной сферы.

83. Пусть V — объем тетраэдра, a и b — его противоположные ребра, c — расстояние между ними, — угол между ними. Докажите, что V = abc · sin.

84. В треугольной пирамиде ABCD известно, что CD = a, а перпендикуляр, опущенный из середины ребра AB на CD, равен b и образует равные углы с гранями ACD и BCD. Найдите объем пирамиды.

85. Сферы с центрами в точках O1 и O2 радиусов 3 и 1 соответственно касаются друг друга. Через точку M, удаленную от O2 на расстояние 3, проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер, причем точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки M.

Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой O1O2 угол 45.

86. В треугольной пирамиде противоположные ребра попарно равны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.

87. Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

а) отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, попарно перпендикулярны;

б) площади всех граней равны;

в) точка пересечения медиан и центр описанной сферы совпадают.

88. Дана треугольная пирамида ABCD. Скрещивающиеся ребра AC и BD этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скрещивающиеся ребра AD и BC, а AB = CD. Все ребра этой пирамиды касаются шара радиуса r. Найдите площадь грани ABC.

89. Сфера с центром в точке O проходит через вершины A, B и C треугольной пирамиды ABCD и пересекает прямые AD, BD и CD в точках K, L и M соответственно. Известно, что AD = 10, 48 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии BC : BD = 3 : 2 и AB : CD = 4 3 : 11. Проекциями точки O на плоскости ABD, BCD и CAD являются середины ребер AB, BC и AC соответственно. Расстояние между серединами ребер AB и CD равно 13. Найти периметр треугольника KLM.

90. Ребро правильного тетраэдра равно a. Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что периметр P сечения удовлетворяет неравенствам 2a < P 3a.

91. В треугольной пирамиде SABC суммы трех плоских углов при каждой из вершин B и C равны 180 и SA = CB. Найдите объем пирамиды, если площадь грани SBC равна 100, а расстояние от центра описанного шара до плоскости основания ABC равно 3.

92. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 4. На середине ребра BC взята точка M, а на ребре A1D1 на расстоянии 1 от вершины Aвзята точка N. Найдите длину кратчайшего пути между точками M и N по поверхности куба.

93. Если поверхность тетраэдра ABCD разрезать вдоль ребер AD, BD и CD, то его разверткой на плоскость ABC будет квадрат со стороной, равной a. Найдите объем тетраэдра.

94. Основание пирамиды ABCS — равносторонний треугольник ABC со стороной 4 2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

95. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. В каком отношении плоскость, проведенная через прямую AD и середину ребра SC, делит объем этой пирамиды 96. На ребре DC треугольной пирамиды ABCD взята точка N, причем CN = 2DN. На продолжении ребра CA за точку A и на продолжении ребра CB за точку B расположены точки K и M соответственно, причем AC = 2AK и BM = 2BC. В каком отношении плоскость MNK делит объем пирамиды ABCD 97. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Точка N — середина ребра AS, точка K — середина медианы SP треугольника BSC, точка M расположена на ребре SB, причем SM = 5MB.

В каком отношении плоскость MNK делит объем пирамиды ABCD 98. На ребрах BC и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки N и K соответственно, причем CN = 2BN и DK : KC = 3 : 2;

M — точка пересечения медиан треугольника ABD. В каком отношении плоскость MNK делит объем пирамиды ABCD Стереометрия 99. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. На ребрах AB и SC расположены точки K и M соответственно, причем AK : KB = CM : MS = 1 : 2. В каком отношении плоскость, проходящая через точки K и M параллельно прямой BD, делит объем пирамиды SABCD 100. Докажите, что из боковых граней четырехугольной пирамиды, основание которой является параллелограммом, можно составить треугольную пирамиду, причем ее объем вдвое меньше объема исходной пирамиды.

101. Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла при ребре тетраэдра делит противолежащее ребро на отрезки, пропорциональные площадям граней, образующих этот угол.

102. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух противоположных ребер треугольной пирамиды, делит ее объем пополам.

103. Точки M и N — середины соответственно ребер AA1 и CCпараллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Прямые A1C, B1M и BN попарно перпендикулярны. Найдите объем параллелепипеда, если A1C = a, B1M = b, BN = c.

104. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На продолжении его ребер AB, AA1, AD за точки B, A1 и D соответственно отложены отрезки BP, A1Q и DR, равные 3AB/2, 3AA1/2 и 3AD/2. В каком отношении плоскость P QR делит объем параллелепипеда 105. В каком отношении делит объем куба плоскость, перпендикулярная его диагонали и делящая диагональ в отношении а) 2 : 1, б) 3 : 1 106. Две плоскости, параллельные противоположным ребрам AB и CD тетраэдра ABCD, делят ребро BC на три равные части. Какая часть объема тетраэдра заключена между этими плоскостями 107. Отношение длин двух скрещивающихся ребер тетраэдра равно k. Параллельно этим ребрам проведена плоскость, причем в сечении получился ромб. В каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра 108. Три шара попарно касаются друг друга внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом, равным 1, и противолежащим углом в 30.

Найдите радиусы шаров.

109. Сфера радиуса r касается всех ребер треугольной пирамиды, центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирамида правильная, и найдите ее высоту, если известно, что центр сферы удален от вершины пирамиды на расстояние r 3.

110. В трехгранный угол, все плоские углы которого равны, помещена сфера так, что она касается всех ребер трехгранного угла. Грани 50 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии трехгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса R. Найдите радиус сферы.

111. Докажите, что в параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда все грани параллелепипеда равновелики.

112. Три конуса, радиусы оснований которых равны R и составляют 3/4 их высоты, расположены по одну сторону от плоскости, а их основания лежат в этой плоскости. Окружности оснований каждых двух из этих конусов касаются. Найдите радиус шара, лежащего между конусами и касающегося как плоскости, так и боковых поверхностей всех трех конусов.

113. В правильной пирамиде SABC сторона основания ABC равна a, боковое ребро — 2a. Точки S, B и C лежат на боковой поверхности конуса, имеющего вершину в точке A. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

114. Все вершины правильной пирамиды SABCD лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости SAB.

Найдите радиус основания цилиндра, если AB = a.

115. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна a, боковое ребро — 5a/2. Одно основание цилиндра лежит в плоскости SAB, другое вписано в сечение пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

116. Высота цилиндра равна 3r. Внутри цилиндра расположены три сферы радиуса r так, что каждая сфера касается двух других и боковой поверхности цилиндра. Две сферы касаются нижнего основания цилиндра, а третья сфера — верхнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.

117. В правильной призме ABCA1B1C1 длина каждого ребра равна a. Вершины A и A1 лежат на боковой поверхности цилиндра, плоскость BCC1 касается этой поверхности. Ось цилиндра параллельна прямой B1C. Найдите радиус основания цилиндра.

118. На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найти радиус окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.

119. Одна вершина правильного тетраэдра расположена на оси цилиндра, а другие вершины — на боковой поверхности этого цилиндра.

Найдите ребро тетраэдра, если радиус основания равен R.

Стереометрия 120. Вершина A основания ABCD правильной пирамиды SABCD совпадает с вершиной конуса, вершины B, D лежат на его боковой поверхности, вершина S — на окружности основания этого конуса, а вершина C — в плоскости его основания. Найдите отношение объема конуса к объему пирамиды.

121. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60. Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.

122. Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Найдите:

а) радиус сферы, касающейся всех четырех сфер;

б) высоту цилиндра, содержащего эти сферы так, что три из них касаются одного основания и боковой поверхности, а четвертая — другого основания цилиндра;

в) высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности, а три из них — основания конуса.

123. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса.

Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырех шаров. Найдите объем конуса, если радиус каждого шара равен r.

124. Можно ли точку в пространстве заслонить четырьмя шарами 125. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.

126. Два равных конуса с общей вершиной, с высотами, равными 2, и радиусами оснований, равными 1, касаются по некоторой образующей, а также касаются боковой поверхностью некоторой плоскости. Пусть l — прямая, по которой пересекаются плоскости основания конусов. Найдите угол между прямой l и плоскостью.

127. Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по общей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен 60.

Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается конусов, но не проходит через общую образующую.

128. На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине каждого конуса.

129. Два равных конуса с общей вершиной D расположены по разные стороны от плоскости и касаются этой плоскости по образующим DE и DF соответственно. Известно, что угол DEF равен, а угол 52 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии между прямой пересечения оснований конусов и плоскостью равен.

Найдите угол между высотой и образующей каждого конуса.

130. Два конуса имеют общую вершину, и образующая первого конуса является высотой второго. Угол при вершине осевого сечения первого конуса равен arccos(1/3), а второго — 2/3. Найдите угол между образующими, по которым пересекаются боковые поверхности конусов.

131. Три равных конуса с углом ( < 2/3) при вершине осевого сечения имеют общую вершину и касаются друг друга внешним образом по образующим k, l, m. Найдите угол между l и k.

132. В правильной четырехугольной пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса r, центры которых находятся на оси симметрии пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды, а второй — основания пирамиды и первого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объем пирамиды наименьший.

133. Сторона основания ABC правильной пирамиды P ABC равна a, боковое ребро равно b. На каком расстоянии от прямой BC следует провести сечение пирамиды, параллельное ребрам BC и P A, чтобы площадь его была наибольшей из возможных 134. Ребро AB тетраэдра ABCD является диагональю основания четырехугольной пирамиды, ребро CD параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых ребрах пирамиды. Найдите наименьший возможный объем пирамиды, если объем тетраэдра равен V.

135. Дана правильная призма ABCDA1B1C1D1. Сторона ее основания ABCD имеет длину 2a, боковое ребро — длину a. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали AD1 грани AA1D1D и диагонали DBпризмы, параллельные плоскости AA1B1B.

а) Один из таких отрезков проведен через точку M диагонали ADтакую, что AM : AD1 = 2 : 3. Найдите его длину.

б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

136. Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трех остальных его граней.

137. Докажите, что проекция правильного тетраэдра на плоскость будет иметь наибольшую площадь, когда эта плоскость параллельна двум скрещивающимся ребрам тетраэдра.

138. Докажите, что сумма углов пространственного четырехугольника не превосходит 360.

139. Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трехгранного угла больше и меньше 3.

Стереометрия 140. Теорема косинусов для трехгранного угла. Если,, — плоские углы трехгранного угла, а A, B, C — противолежащие им двугранные углы, то cos - cos cos cos A =.

sin sin 141. Пусть MC — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC.

Верно ли, что AMB < ACB 142. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360.

143. Теорема косинусов для тетраэдра. Квадрат площади каждой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трех остальных граней без удвоенных попарных произведений площадей этих граней на косинусы двугранных углов между этими плоскостями, т. е.

2 2 2 S0 = S1 + S2 + S3 - 2S1S2 cos 12 - 2S1S3 cos 13 - 2S2S3 cos 23.

144. В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны 60.

Докажите, что AB + AC + AD BC + CD + DB.

145. Основание пирамиды ABCD — правильный треугольник ABC.

Известно, что BAD = CBD = ACD. Докажите, что пирамида — правильная.

146. Принцип Кавальери. Если два геометрических тела можно разместить в пространстве так, что в сечении этих тел любой плоскостью, параллельной некоторой фиксированной плоскости, получаются равновеликие плоские фигуры, то данные тела равновелики. Выведите с помощью принципа Кавальери формулу объема шара.

147. Один выпуклый многогранник лежит внутри другого. Докажите, что площадь поверхности внешнего многогранника больше площади поверхности внутреннего.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.