WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

41. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0(x0; y0; z0) параллельно ненулевому вектору m(a; b; c) (направляющий вектор), имеют вид:

x - x0 = at, y - y0 = bt, z - z0 = ct.

42. Прямая как пересечение двух плоскостей задается системой A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0, 2 2 2 где A2 + B1 + C1 = 0 и A2 + B2 + C2 = 0, а коэффициенты при соответ 1 ствующих неизвестных непропорциональны.

43. Если — угол между плоскостями, заданными уравнениями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то A1A2 + B1B2 + C1Ccos =.

2 2 2 A2 + B1 + C1 A2 + B2 + C1 44. Уравнение плоскости «в отрезках». Если плоскость пересекает оси координат в точках A(p; 0; 0), B(0; q; 0) и C(0; 0; r) (p, q, r = 0), то ее уравнение можно представить в виде x y z + + = 1.

p q r 45. Если — расстояние от точки M0(x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то |Ax0 + By0 + Cz0 + D| =.

A2 + B2 + CСтереометрия Перпендикулярность прямой и плоскости 46. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

47. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

48. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.

49. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

50. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.

51. Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

52. Через данную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

53. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к плоскости тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.

54. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то а) перпендикуляр короче наклонных;

б) равные наклонные имеют равные ортогональные проекции;

в) большей наклонной соответствует большая ортогональная проекция;

г) из двух наклонных больше та, ортогональная проекция которой больше.

55. Теорема об угле прямой с плоскостью. Угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой плоскости.

56. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

57. Геометрическое место точек, удаленных на данное расстояние от данной плоскости, есть две параллельные плоскости.

58. Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин треугольника, есть прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника перпендикулярно его плоскости.

59. Если боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр окружности, описанной около основания.

20 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии Двугранный угол 60. Линейный угол двугранного угла (сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру) не зависит от выбора точки на ребре двугранного угла.

61. Геометрическое место внутренних точек двугранного угла, равноудаленных от его граней, есть биссекторная плоскость двугранного угла.

62. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей. Две плоскости перпендикулярны (образуют прямой двугранный угол) тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

63. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то они пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой плоскости.

64. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проходит либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вневписанных окружностей основания.

Многогранные углы 65. Плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

66. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360.

67. Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

а) Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

б) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длин трех ребер с общей вершиной).

Сфера. Касательная плоскость. Касающиеся сферы 68. Сечение сферы плоскостью, удаленной от центра сферы на расстояние, меньшее радиуса, есть окружность. Основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость, есть центр этой окружности.

69. Касательная плоскость к сфере (плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Стереометрия 70. Касательная прямая к сфере (прямая, имеющая со сферой единственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.

71. Центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит в биссекторной плоскости этого угла.

72. Отрезки касательных прямых, проведенных к сфере из одной точки, равны между собой.

73. Линия центров касающихся сфер (имеющих единственную общую точку) проходит через их точку касания.

74. Если две различные сферы имеют более одной общей точки, то они пересекаются по окружности. Плоскость этой окружности перпендикулярна линии центров данных сфер.

Правильная пирамида 75. Если ABCD — правильная треугольная пирамида с вершиной D, высотой DM и стороной основания a, а A1, B1 и C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB, то а) DAM = DBM = DCM — угол бокового ребра с плоскостью основания;

б) DA1M = DB1M = DC1M — линейный угол двугранного угла боковой грани с плоскостью основания;

в) AF B (где F — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A основания на боковое ребро DC) — линейный угол между боковыми гранями пирамиды;

г) AA1 = BB1 = CC1 = a 3/2 — высота треугольника основания;

д) AM = BM = CM = 2AA1/3 = a/ 3 = (a 3)/3 — ортогональная проекция бокового ребра на плоскость основания;

е) A1M = B1M = C1M = AA1/3 = a/(2 3) = a 3/6 — ортогональная проекция апофемы на плоскость основания;

ж) C1F — общий перпендикуляр противоположных ребер AB и CD.

76. Противоположные ребра правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны.

77. Высота правильного тетраэдра с ребром a равна a 2/3.

78. Если P ABCD — правильная четырехугольная пирамида с вершиной P, высотой P M и стороной основания a, а A1, B1, C1 и D1 — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD, то а) P AM = P BM = P CM = P DM — угол бокового ребра с плоскостью основания;

б) P A1M = P B1M = P C1M = P D1M — линейный угол двугранного угла боковой грани с плоскостью основания;

22 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии в) BF D (где F — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B основания на боковое ребро AP ) — линейный угол между соседними боковыми гранями пирамиды;

г) A1P C1 = B1P D1 — линейный угол двугранного угла между противоположными боковыми гранями;

д) AM = BM = CM = DM = DB/2 = (a 2)/2 = a/ 2 — ортогональная проекция бокового ребра на плоскость основания;

е) A1M = B1M = C1M = D1M = a/2 — ортогональная проекция апофемы на плоскость основания;

ж) F M — общий перпендикуляр диагонали BD основания и скрещивающегося с ней бокового ребра AP.

79. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды перпендикулярно скрещивающейся с ним диагонали основания.

Площадь поверхности многогранника 80. Боковая поверхность призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на боковое ребро.

81. Боковая поверхность правильной пирамиды равна площади ее основания, деленной на косинус угла боковой грани с плоскостью основания.

Объемы многогранников 82. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

83. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

84. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

85. Объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние между этой гранью и противолежащим ей боковым ребром.

86. Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.

87. Пирамиды с равными высотами и равновеликими основаниями равновелики.

88. Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и прямую, лежащую в основании, делит объем пирамиды в том же отношении, в котором прямая делит площадь основания.

89. Если точки A1, B1 и C1 лежат на боковых ребрах соответственно DA, DB и DC треугольной пирамиды ABCD или на их продолжениях, Стереометрия то объем пирамиды A1B1C1D1 относится к объему пирамиды ABCD DA1 DB1 DCкак произведение отношений · ·.

DA DB DC 90. Отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия.

91. Произведение площади основания на высоту тетраэдра постоянно.

92. Объем тетраэдра V равен шестой части произведения длин двух противоположных ребер a и b на расстояние между ними c и на синус угла между ними, т. е. V = abc · sin.

93. Объем тетраэдра V равен двум третям произведения площадей двух граней P и Q на синус угла между ними, деленному на их общее 2 P · Q · sin ребро a, т. е. V =.

3 a 94. а) Объем тетраэдра равен трети произведения его полной поверхности на радиус вписанной сферы.

б) Объем многогранника, в который можно вписать сферу, равен одной третьей произведения полной поверхности многогранника на радиус сферы.

Объемы и поверхности круглых тел 95. Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

96. Объем конуса равен трети произведения площади его основания на высоту.

97. Объем шара радиуса R равен 4R3/3.

98. Oбъем шарового сегмента высотой h шара радиуса R равен h2(R - h/3).

99. Боковая поверхность цилиндра с высотой h и радиусом основания r равна 2rh.

100. Боковая поверхность конуса с образующей l и радиусом основания r равна rl.

101. Поверхность сферы радиуса R равна 4R2.

102. Сферическая поверхность шарового сегмента высотой h шара радиуса R равна 2Rh.

Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии Планиметрия 1. Сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон постоянна.

2. Если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника, то треугольники равны.

3. Медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC, но больше их полуразности.

4. Сумма трех медиан треугольника меньше периметра, но больше трех четвертей периметра треугольника.

5. Cумма диагоналей выпуклого четырехугольника больше суммы его двух противоположных сторон.

6. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне, меньше большей из двух других сторон.

7. Расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.

8. а) Если треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что AB = A1B1, AC = A1C1 и BAC > B1A1C1, то BC > B1C1.

б) Если треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что AB = A1B1, AC = A1C1 и BC > B1C1, то BAC > B1A1C1.

9. Пусть AA1 — медиана треугольника ABC. Угол A острый тогда и только тогда, когда AA1 > BC/2.

10. Сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трех его вершин больше полупериметра, но меньше периметра треугольника.

11. Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами меньше, чем r + R, но больше, чем R - r.

12. Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, а) равны, то диагонали четырехугольника перпендикулярны;

б) перпендикулярны, то диагонали четырехугольника равны.

Планиметрия 13. Точки K, L, M и N — середины сторон соответственно AB, BC, CD и DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q — середины отрезков соответственно KM и LN. Тогда P Q AE и P Q = AE/4.

14. Два равносторонних треугольника ABC и CDE (вершины перечислены против часовой стрелки) расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K — середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Тогда треугольник MNK — равносторонний.

15. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на ее средней линии.

16. Стороны параллелограмма равны a и b. Тогда диагонали четырехугольника, образованного пересечениями биссектрис углов параллелограмма, равны |a - b|.

17. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

18. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что прямые MC и NC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD = d.

19. Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.

20. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.

21. Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями a и b проведена прямая, параллельная основаниям. Отрезок этой прямой, 2ab заключенный между боковыми сторонами трапеции, равен.

a + b 22. Трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и b, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен (a2 + b2)/2.

23. Точка M — середина отрезка AB. Точки A1, M1 и B1 — проекции точек A, M и B на некоторую прямую. Тогда M1 — середина отрезка A1B1.

24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Если BF и CG — перпендикуляры, опущенные из вершин B и C на прямую ED, то EF = DG.

25. На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а также окружность с диаметром AB — в точках M и N. Тогда KM = LN.

26 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии 26. Пусть, и — углы треугольника, причем. Тогда 60, 60, 0 < < 90.

27. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Тогда отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

28. Обобщенная теорема Пифагора. Пусть CD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла. Тогда треугольники ABC, CBD и ACD подобны. Если l, m и n — соответствующие линейные элементы этих треугольников, то l2 = m2 + n2.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.