WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R - r = O1O2.

4) Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда AKB = 90 и O1CO2 = 90.

48. Углы, связанные с окружностью.

1) Угловая величина дуги окружности равна угловой величине центрального угла.

2) Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

3) Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

4) Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

5) Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

49. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Планиметрия 50. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей (без концов этих дуг).

51. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180.

52. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180, то около него можно описать окружность.

53. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

54. Если M — точка на отрезке AB, причем AM : BM = a : b, то AM : AB = a : (a + b), BM : AB = b : (a + b).

55. Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.

56. Подобие. Признаки подобия треугольников.

1) Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

57. Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.

58. Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

59. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

60. Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.

61. Если BM и CN — высоты треугольника ABC (A = 90), то тре угольник AMN подобен треугольнику ABC, причем коэффициент подобия равен | cos A|.

62. Произведения длин отрезков хорд AB и CD окружности, пересекающихся в точке E, равны, т. е |AE| · |EB| = |CE| · |ED|.

63. Теорема о касательной и секущей и следствие из нее.

1) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

12 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии 2) Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

64. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

1) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.

2) Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

65. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

66. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник — прямоугольный.

67. Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

68. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.

69. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключенному между общими внешними. Оба эти отрезка равны 2 Rr.

70. Метрические соотношения в треугольнике.

1) Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2) Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

3) Формула для медианы треугольника. Если m — медиана треуголь ника, проведенная к стороне c, то m = 2a2 + 2b2 - c2/2, где a и b — остальные стороны треугольника.

4) Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

5) Обобщенная теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

Планиметрия 71. Формулы площади треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

3) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

4) Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности.

5) Формула Герона.

72. Элементы равностороннего треугольника со стороной a. Пусть h, S, r, R — высота, площадь, радиусы описанной и вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной a. Тогда a 3 a2 3 a 3 a h =, S =, R =, r =.

2 4 3 73. Формулы площади параллелограмма.

1) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

2) Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.

3) Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

4) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

74. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

75. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

76. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

77. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.

78. Если M — точка на стороне BC треугольника ABC, то S(AMB) BM =.

S(AMC) CM 14 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии 79. Если P и Q — точки на сторонах AB и AC (или на их продолжениях) треугольника ABC, то S(AP Q) AP AQ = ·.

S(ABC) AB AC 80. Длина окружности радиуса R равна 2R.

81. Площадь круга радиуса R равна R2.

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки 1. Постройте треугольник по трем сторонам.

2. Постройте угол, равный данному.

3. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними.

4. Постройте треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

5. Разделите отрезок пополам.

6. Через данную точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

7. Через данную точку проведите прямую, параллельную данной.

8. Постройте биссектрису данного угла.

9. Постройте сумму (разность) двух данных отрезков.

10. Разделите отрезок на n равных частей.

11. Постройте окружность, описанную около данного треугольника.

12. Даны отрезки a, b и c. Постройте такой отрезок x, что x : a = b : c.

13. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.

14. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

15. Даны отрезки a и b. Постройте отрезки a2 + b2, a2 - b2, ab.

16. Постройте треугольник по серединам трех его сторон.

17. Постройте дугу, вмещающую данный угол.

18. Постройте окружность с данным центром, проходящую через данную точку.

19. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

20. Через данную точку проведите касательную к данной окружности.

21. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

22. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

23. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей.

Стереометрия 24. Внутри произвольного угла взята точка M. Проведите через точку M прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторонами угла, делился бы точкой M пополам.

25. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.

Стереометрия 1. Аксиомы стереометрии.

Факты, непосредственно связанные с аксиомами 2. Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит единственная плоскость.

3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

4. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Параллельность в пространстве 5. Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая a параллельна некоторой прямой плоскости, то прямая a параллельна плоскости.

6. Если через прямую a, параллельную плоскости, провести плоскость, пересекающую плоскость по прямой b, то прямые a и b параллельны.

7. Если прямые a и b параллельны, а плоскость, проходящая через прямую a, пересекается с плоскостью, проходящей через прямую b, то прямая пересечения плоскостей параллельна прямым a и b.

8. Транзитивность параллельности прямых в пространстве. Если прямая a параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой c, то прямая a параллельна прямой c.

9. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

10. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые пересечения параллельны.

11. Транзитивность параллельности плоскостей. Если плоскость параллельна плоскости, а плоскость параллельна плоскости, то плоскость параллельна плоскости.

16 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии 12. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

13. Через точку, не лежащую в плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

14. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

15. Теорема о медианах тетраэдра. Медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершины.

16. Диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точку пересечения медиан треугольника A1BD и делится ею в отношении 1 : 2, считая от точки A.

17. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то в сечении образуется многоугольник, подобный основанию.

Скрещивающиеся прямые 18. Признак скрещивающихся прямых. Если прямая a лежит в плоскости, а прямая b пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой a, то a и b — скрещивающиеся прямые.

19. Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.

20. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым и проходящая через середину одного из таких отрезков.

21. Угол между скрещивающимися прямыми (угол между пересекающимися в произвольной точке M прямыми, соответственно параллельными данным) не зависит от выбора точки M.

22. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр (отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный обеим прямым).

Параллельное проектирование 23. Прямая, непараллельная проектирующей, переходит в прямую.

24. Пара параллельных прямых, непараллельных проектирующей, переходит в пару параллельных прямых или в одну прямую.

25. При проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.

Стереометрия 26. Наклонная пересекает плоскость в точке, лежащей на любой ее параллельной проекции на эту плоскость.

27. Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость равна произведению площади проектируемого многоугольника на косинус угла между плоскостью этого многоугольника и плоскостью проекций.

Координаты и векторы в пространстве 28. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.

29. Для того, чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство a = k · b, где k — некоторое число.

30. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде ли нейной комбинации двух других ( = x · b + y · c, где x, y — некоторые a числа).

31. Любой вектор можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам.

32. Если M — середина AB, то OM = (OA + OB)/2.

33. Если M — середина AB, а N — середина CD, то MN = = (AC + BD)/2.

34. Если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то OM = (OA + OB + OC)/3.

35. Если M — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, то OM = (OA + OB + OC + OD)/4.

36. Координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат его концов.

37. Свойства скалярного произведения векторов.

а) a · b = b · a ;

б) · b = ( · b );

a a в) a · ( b + ) = a · b + a · c ;

c г) || = a ;

a д) ( + b )2 = a + 2 · ( · b ) + b ;

a a 2 е) ( · b )2 a · b, причем равенство достигается тогда и только a тогда, когда векторы a и b коллинеарны;

ж) ненулевые векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

18 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии 38. Расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) равно (x2 - x1)2 + (y2 - y2)2 + (z2 - z1)2.

39. Если — угол между ненулевыми векторами a (x1; y1; z1) и b (x2; y2; z2), то x1x2 + y1y2 + z1zcos =.

2 2 2 x2 + y1 + z1 x2 + y2 + z1 40. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0; y0; z0) перпендикулярно ненулевому вектору n(a; b; c) (вектор нормали), имеет вид:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.