WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 42 |

Заметим, в частности, что если у двух прямых единичные нормальные вектора совпадают или противоположны, то прямые ||.

Угол наклона прямой к оси абсцисс = + = ang(0,{cos,sin}) + = ang(0,{-sin,cos}). (4) 2 Наименьший угол между двумя прямыми (см.1.2.1.-29) = ang(0,{ x1x2 + y1y2, x2 y1 - x1y2 }), (5) где {x1, y1} = k1{cos1, sin1}, {x2, y2} = k2{cos2, sin2} два вектора, коллинеарных соответствующим нормальным векторам прямой (заметим, что условие коллинеарности требует, чтобы k1 > 0, k2 > 0 ).

Расстояние от некоторой произвольной точки с координатами {x, y} до прямой, а также расстояние между двумя || прямыми мы будем вычислять ниже.

Отметим следующее полезное применение свойств прямых, заданных в нормальной форме. Дело в том, что, как правило, центр системы координат задан первично и вне зависимости об информации о прямых. С другой стороны, он является началом каждого из нормальных векторов. Таким образом, чтобы определить прямую, заданную в нормальной форме, можно задать только координаты конца нормального вектора, т.е. одну точку. Вторая точка, центр Глава 1. Общие вопросы, функции и методы координат и начало всех нормальных векторов, будет общей для всех прямых данного чертежа и может храниться отдельно. Этот прием может существенно экономить память программ, обрабатывающих большие массивы прямых.

(Если нас интересует задание отрезков прямых, то в полярных координатах для каждого отрезка, кроме нормального вектора, требуется еще задание двух углов – угол начала и угол конца отрезка. В декартовых координатах для этого случая тоже задаем 4 числа - координаты двух точек {x1, y1}, {x2, y2} ). Таким образом, для определения отрезков прямых на плоскости в каждой из координатных систем требуется задать для каждого отрезка по 4 числа.) Упражнение 1. Доказать, что направление единичного нормального вектора = ang(0,{cos,sin}) направлению рассматриваемой прямой = ang(0,{-sin,cos}).

Доказательство. В самом деле, - = ang(0,{-sin,cos}) - ang(0,{cos,sin}) = = ang(0,{-cos sin + cos sin,cos2 + sin2 }) = ang(0,{0,1}) = = Упражнение 2. Доказать, что если нормальные векторы частично или полностью совпадают, то прямые или ||, или совпадают.

Упражнение 3. Доказать, что расстояние между двумя || прямыми равно расстоянию между концами нормальных векторов.

Упражнение 4. Убедиться на примере 3-х прямых, что свойство параллельности для них транзитивно: если прямая a || прямой b и прямая b || прямой c, то прямая a || прямой c.

Упражнение 5. Найти направление нормального вектора оси абсцисс.

Решение. Ось абсцисс задается уравнением y = 0. Уравнение оси абсцисс в нормальной форме 0 x +1 y + 0 = 0. Отсюда = ang(0,{cos,sin}) = ang(0,{0,1}) =.

1.4.7. Уравнение прямой в отрезках на осях Возьмем уравнение прямой в общем виде Ax + By + C = 0 и пусть A, B,C 0. (1) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы A B A 1 B Тогда Ax + By = -C, x + y = 1. Сделаем подстановку =, =.

- C - C - C a - C b x y Итого, мы получили симметричное уравнение + =1. (2) a b Исследуем данное уравнение (см. рис. 1). Пусть x = 0, тогда y = b, а при y = 0 имеем x = a. (3) Таким образом, прямая пересекает ось абсцисс при x = a, а ординат при y = b.

Упражнение 1. Объясните рис.2, 3. Какие ограничения нужно снять с (1), чтобы получить данные рисунки Напишите уравнения прямых на этих рисунках.

1.4.8. Пересечение прямых Рассмотрим вначале две прямые. Запишем систему уравнений этих прямых в общем виде A1x + B1y + C1 = (1) x + B2 y + C2 = AЕе решением (например, методом подстановки или методом Крамера) будет B1C2 - B2C1 C1A2 - C2Aточка с координатами P :{x =, y = }. (2) A1B2 - A2B1 A1B2 - A2BДля прямых в нормальном виде Гессе xcos1 + ysin1 - pL1 = (3) + ysin2 - pL2 = xcosточка пересечения P (см. рис.1,2) находится аналогично pL2 sin1 - pL1 sin2 pL1 cos2 - pL2 cosP :{x =, y = } (4) sin(2 -1) sin(2 -1) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Если прямые ||, то в нашем плоском случае это означает, что прямые не пересекаются или что точка их пересечения находится на. Тогда sin(2 -1) = 0 и 2 =1 +.

Найдем угол, под которым видна точка пересечения P из центра координат = ang(0, {pL2 sin1 - pL1 sin2, pL1 cos2 - pL2 cos1}). (5) sin(2 -1) Если sin(2 -1) > 0, то множитель можно опустить.

sin(2 -1) Упражнение 1. Доказать (см. рис. 1,2), что 4 точки: центр координат, концы нормальных векторов пересекающихся двух прямых и точка их пересечения находятся на одной окружности. Назовем, для краткости, такую окружность окружностью пересечения. Найти диаметр этой окружности.

Рекомендация. Воспользоваться, например, теоремой Фалеса утверждающей, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым.

Ответ. Диаметр окружности пересечения 2 pL1 + pL2 - 2 pL1 pL2 cos(2 -1) D =. (6) sin2(2 -1) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Упражнение 2. (Следствие из упражнения 1). Доказать, что длина медианы, выходящей из прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы этого треугольника.

Упражнение 3. Найти длины расстояний l1,2 от концов нормальных векторов двух прямых до точки их пересечения.

Ответ. По теореме Пифагора и (6) l1,2 = D2 - pL1,L2. (7) Упражнение 4. Найти угол между двумя прямыми в точке их пересечения.

Решение. В точке пересечения между прямыми находятся два смежных угла. Поэтому для того, чтобы сделать эту задачу однозначной, примем, что искомый угол между прямыми равен углу между двумя нормальными векторами этих прямых = 2 -1, (8) причем мы допускаем, что в таком случае могут появиться отрицательные углы. Решим следующую вспомогательную задачу: найти центр и радиус окружности, проведенной через 3 точки.

Решение. По теореме Пифагора из P1P12C (см.рис.3) следует 2 (P1P12)2 + H12 = R2 или (P1P12)2 + H12 = (x1 - Cx) +(y1 - Cy). (9) Аналогичное равенство для P2P12C 2 (P2P12)2 + H12 = (x2 - Cx) +(y2 - Cy). (10) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Т.к. P1P2C равнобедренный, то P1P12 = P2P12, откуда вычитая из (9) 2 2 2 равенство (10), получаем (x1 - Cx) +(y1 - Cy) - (x2 - Cx) -(y2 - Cy) = 0, (x1 + x2 - 2Cx)(x1 - x2) + (y1 + y2 - 2Cy )(y1 - y2) = 0, 2 2 2 2Cx (x1 - x2) + 2Cy (y1 - y2) = x1 - x2 + y1 - y2. (11) Аналогичное уравнение получаем и для пары точек x2, x3. Запишем теперь нахождение декартовых координат центра окружности в виде системы уравнений (x - x2)Cx + (y1 - y2)Cy = (x1 - x2 + y1 - y2 ) 2 2 2. (13) 2 2 2 - x3)Cx + ( y2 - y3)Cy = (x2 - x3 + y2 - y3 ) (x Обратим внимание, что известные координаты точек входят попарно в (13):

в 1-е уравнение входят координаты 1-й пары <1,2>, а во 2-е – 2-й пары - <2,3>.

Запишем решение (13) 2 2 2 2 2 2 2 1 (x2 - x3 + y2 - y3 )(y1 - y2) - (x1 - x2 + y1 - y2 )(y2 - y3) Cx = 2 (x1 - x2)(y2 - y3) - (x2 - x3)(y1 - y2) 2 2 2 2 2 2 2 1 (x1 - x2 + y1 - y2 )(x2 - x3) - (x2 - x3 + y2 - y3 )(x1 - x2) Cy =. (14) 2 (x1 - x2)(y2 - y3) - (x2 - x32)(y1 - y2) Применим решение (14) для нахождения центра окружности пересечения. Для этого будем выбирать пары точек таким образом (см. рис. 4), чтобы каждая вторая из данной пары точек была центром системы координат - O :{0,0} (мы хотим воспользоваться тем, что декартовые координаты O равны нулю. Переименуем, затем, 3-ю точку во 2-ю.

В этом случае система уравнений (13) перепишется следующим образом:

2 x1Cx + y1C1 = (x1 + y1 ), (15) 2 x2Cx + y2Cy = (x2 + y2 ) и в полярных координатах cos1 Cx + sin1Cy = pL. (16) cos2 Cx + sin2 Cy = pL Глава 1. Общие вопросы, функции и методы (Заметим, что по построению наша окружность проходит через центр системы координат, т.к. одна из 3-х точек, лежащих на окружности, по построению совпадает с центром системы координат.) Таким образом, мы получили следующее правило для центра окружности пересечения: скалярное произведение вектора центра окружности пересечения {Cx,Cy}на единичный нормальный вектор {cos,sin} равно половине величины нормального вектора.

Естественно, что у любой другой прямой, проходящей через данную точку пересечения, в силу теоремы Фалеса, конец нормального вектора должен лежать на окружности пересечения, и, кроме того, справедливо следующее равенство cosN Cx + sinN Cy = pLN. (17) Решением системы (16) будет pL2 sin1 - pL1 sin2 pL1 cos2 - pL2 cos{Cx =, Cy = }. (18) 2sin(2 -1) 2sin(2 -1) Дадим еще одно решение данной задачи. Т.к. точка пересечения P и центр системы координат O :{0,0} находятся по разные стороны диаметра окружности пересечения, а искомый центр этой окружности лежит как раз по середине диаметра, то, используя (4), сразу получаем центр и радиус окружности пересечения pL2 sin1 - pL1 sin2 pL1 cos2 - pL2 cos{Cx =, Cy = }, (19) 2sin(2 -1) 2sin(2 -1) 2 pL1 + pL2 - 2 pL1 pL2 cos(2 -1) R =. (20) 2sin(2 -1) Зная координаты точки пересечения P :{Px, Py}, можно получить по данному направлению величину полярного вектора cosN Px + sinN Py = pLN. (21) То же самое в форме скалярного произведения PepN = pLN. (22) Формулы (21)-(22) можно вывести следующим образом для любой точки с координатами {x0, y0}, через которую проходит прямая x cos + y sin - pL = Глава 1. Общие вопросы, функции и методы справедливо равенство x0 cos + y0 sin = pL. В частности, это равенство справедливо и для точки пересечения P :{Px, Py}.

1.5.Преобразования Перед чтением данного раздела мы рекомендуем ознакомиться с [16,XIII,XIV].

1.5.1. Преобразования декартовых координат 1. Преобразования декартовых координат при || переносе Пусть в прямоугольной правосторонней декартовой системе координат XY мы имеем координаты некоторой точки P :{x, y} (см. рис.1). Пусть центр другой (ее обычно называют новой) прямоугольной правосторонней декартовой системы координат отстоит от первой на вектор {x0, y0}, причем координатные оси этих двух систем || друг другу. В этом случае говорят, что осуществлен || перенос координатных осей. Очевидно, что справедливы соотношения x = x + x0, y = y + y0. (1) Найдем координаты P :{x, y} в новой системе координат. Из (1) следует P :{x, y} = P :{x - x0, y - y0}. Т.к. эти соотношения выполняются для любой точки на плоскости, то справедливы следующие преобразования - x0, x = x прямое преобразование координат, (2) y = y - y x = x + x0, обратное преобразование координат. (3) y = y + yГлава 1. Общие вопросы, функции и методы Очевидно, что при || переносе сохраняются длины отрезков.

Действительно 2 2 (x1 - x ) + (y1 - y2) = (x1 - x0 - (x2 - x0)) + (y1 - y0 - ( y2 - x0)) = 2 = (x1 - x2) + (y1 - y2).

Преобразования, сохраняющие длины отрезков, называются ортогональные.

Синонимом понятия ортогональных преобразований является понятие движение [4,стр.9].

2. Преобразования декартовых координат при повороте осей Пусть некоторая точка P имеет полярные координаты (r,). Тогда ее x = r cos, декартовые координаты (4) y = r sin.

Повернем систему координат относительно ее центра на некоторый угол.

Пусть в новой системе координат P имеет полярные координаты (r,) (длина радиус-вектора остается прежней!) (см.рис.2) ).

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Тогда новые декартовые координаты P x = r cos,. (5) y = r sin Найдем, как принято говорить, “новые декартовые координаты через старые”. Т.к. = -, то, используя (4) и (5), получим x = r cos( - ) = r cos cos + r sin sin = = x cos + y sin, y = r sin( - ) = r sin cos - r cos sin = = -xsin + y cos. (6) Таким же образом, используя = +, можно получить обратное преобразование x(x, y), y(x, y) (проделайте это!). Мы же покажем другой простой способ. Итак, в силу (6) x cos + y sin = x. (7) - xsin + y cos = y В этой системе из двух уравнений известны x, y, а неизвестны x, y.

Решаем ее методом Крамера x sin cos x y cos - sin y x = = x cos - y sin, y = = xsin + y cos. (8) cos sin cos sin - sin cos - sin cos Упражнение 1. Докажите, что преобразование при повороте – ортогонально.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 3. Преобразования декартовых координат при одновременном || переносе и повороте осей Рассмотрим общий случай преобразования координат – сначала || перенос начала координат, а затем вращение этого начала вокруг своей оси.

После 1-го преобразования (движения) новые координаты будут в - x0, x = x соответствии с (2). После 2-го преобразования, учитывая (7), получим y = y - yпрямое преобразование x cos + y sin = (x - x0)cos + (y - y0)sin = x. (9) - xsin + y cos = - (x - x0)sin + (y - y0)cos = y Т.к. общий детерминант системы (9) равен 1 (см. вывод 8), то легко найти обратное преобразование. Мы применяем правило Крамера, (3), и получаем x = x0 + x cos - y sin, y = y0 + xsin + y cos. (10) Принято в (9) и (10) употреблять не две черты надчеркивания, а одну. Мы ниже будем также следовать этой традиции [11,стр.50,2.1-10].

Упражнение 1. При выводе (9) мы сначала делали преобразование M - || перенос, а затем вращение R. Докажите, что M + R = R + M, (11) т.е. данные преобразования коммутативны.

Упражнение 2. Докажите, что и прямое, и обратное преобразование координат – ортогональны.

Отметим следующее важное свойство. При || переносах и вращениях геометрические свойства объектов не меняются. С другой стороны, при этом могут существенно упроститься уравнения, описывающие либо целый объект, либо его исследуемую часть. Собственно говоря, искусство математика в большой степени состоит в том, чтобы решать задачи в той системе координат, в которой описывающие объект уравнения были бы наиболее простыми.

Для примера возьмем следующую задачу. Пусть даны две пересекающиеся окружности. Найти координаты точек пересечения.

1) Попробуйте решить эту задачу в общем виде, где каждая окружность описывается уравнением (x - xi )2 + (y - yi )2 = Ri2, где {xi, yi}- координаты центра, а Ri - радиус окружности.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 2) Попробуйте расположить окружности вдоль оси абсцисс и один из центров окружности (любой) поместить в центр координатной системы. В этом случае задача решается при помощи теоремы Пифагора за пару минут. Остается добавить к решению преобразование центров окружностей в новую систему координат, а затем перевести готовые решения в старую систему координат. Мы настоятельно советуем запрограммировать эту задачу на любом доступном Вам языке программирования. Исследуйте случаи, когда число полученных решений равно 2, 1, 0.

1.5.2. Координаты проекции точки на прямую 1 вариант Найдем точку основания перпендикуляра, опущенного из внешней точки R :{xr, yr} на прямую (см.рис.1). Для этого проведем через эту точку прямую y = kr x + br, (*) прямой y = kx + b. Отсюда kr = -. Подставляя координаты R в (*), получим k 1 kyr + xr yr = - xr + br, br =.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.