WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 42 |

Углы с взаимно || сторонами являются объектами, состоящими из 2-х углов, у которых стороны в каждом объекте могут быть повернуты относительно соответствующей стороны в другом объекте на угол в 0 (00) или (1800) (см.

рис.2). Смежные углы также имеют взаимно || стороны, поскольку свойство || - рефлексивно, т.е. каждая прямая (луч) || сам себе. Ответы, получаемые с помощью (1) для смежных углов будут отличаться Глава 1. Общие вопросы, функции и методы = ang(C,B) - ang(C, A), µ = ang(C,B) - ( - ang(C, A)).

Отсюда следует, что фраза “углы с взаимно || сторонами равны“, вообще говоря, неверна. Правильнее нужно говорить “углы с взаимно коллинеарными сторонами равны”.

Углы с взаимно сторонами могут быть повернуты каждой своей стороной относительно соответствующей стороны в другом объекте на угол в (900) или на (2700) (нарисуйте самостоятельно чертеж!). Поэтому, как и в 2 случае углов с коллинеарными сторонами, можно говорить о равенстве углов с взаимно сторонами, если при преобразованиях у этих углов сохранилась ориентация.

Если среди преобразований мы допускаем только повороты и || перемещения, то после нормализации интервалов углов величина таких углов, как мы уже выше доказали, остается неизменной. Важно, что ориентация (последовательность рассмотрения направления сторон) у этих углов сохраняется, а сам угол можно высчитать по (1).

Если же мы среди перемещений (движений) допускаем и зеркальные повороты (их мы подробно рассмотрим ниже), то после таких операций ориентация у полученных углов меняется на противоположную. Такие углы являются по отношению к исходным углам дополнительными до или до 2, в зависимости от того, один или два луча мы отображали зеркально. В качестве примера можно взять смежные углы (см. рис.2), в которых зеркальному отображению подверглась только одна сторона, а коллинеарность первых сторон Глава 1. Общие вопросы, функции и методы сохранилась. Мы видим, что значение угла при этом также изменилось с на -.

Таким образом, (1) позволяет измерять углы с учетом их ориентации. Если измерение разных углов с помощью (1) дает одинаковый ответ, то мы считаем, что эти углы равны и одинаково ориентированы.

1.2.8. Особенности измерения углов внутри окружности бесконечного радиуса Теорема. Отрезки, у каждого из которых один конец находится на конечном расстоянии от центра координат, а другой, общий для двух отрезков, находится на бесконечном расстоянии от центра координат, коллинеарны.

Другими словами два отрезка, направленные на одну и ту же бесконечную точку, коллинеарны.

Доказательство. Пусть координаты 1-й точки, находящейся на конечном расстоянии от центра координат -“недалеко” и в полярных координатах будут {r cos1, r sin1}, а координаты 2-й точки, находящейся на конечном, но “далеком” расстоянии от центра координат, в тех же координатах будут {R cos, Rsin}.

Рассмотрим с помощью функции ang() направление, которое образуют эти две точки. Тогда = ang( {r cos1, r sin1}, {R cos, Rsin}). Устремим R.

= ang({r cos1, r sin1},{R cos, Rsin}) = lim R = ang(0,{R cos - r cos1, Rsin - r sin1) = lim R r r = ang(0,{cos - cos1, sin - sin1) = ang(0,{cos,sin}) =. (1) lim R R R Как мы видим, направление на бесконечно удаленную точку полностью определяет результирующее направление (зависимость от r,1 при предельном переходе исчезает). Аналогичная ситуация произойдет и при рассмотрении 2-й пары точек, из которых бесконечно удаленная точка взята из 1-й пары точек.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1.3. Функция перемещения точки Пусть P1 будет началом локальной полярной системы координат (см. рис. 1). Из P1 отложим радиус r под углом к оси абсцисс, получая P2. Для нахождения декартовых координат P2, определим polar(P1, r,) от P1 к P2 как P2 = polar(P1, r,) = {P1x + r cos, P1y + r sin}. (1) Если допустить нулевые и отрицательные радиусы r, то такая функция становится очень удобным инструментом при создании графических алгоритмов.

1.4. Уравнение прямой 1.4.1. Общие положения Мы хотим предупредить читателя, что мы разделили материал, традиционно излагаемый в одном месте, на 2 части. Часть задач, для более глубокого их изучения, мы перенесли в разделы “преобразования” и “отклонения точек от прямой”.

1.4.2. Приведенное уравнение прямой y = kx + b Запишем данное уравнение y = kx + b, (1) где k - тангенс угла наклона, а b - свободный член. (Заметим, что для уравнения (1) лучше бы подходило название “тангенциальное уравнение прямой”, которое бы несло соответствующую мнемоническую нагрузку). (На (рис.1) y показаны b и k = tg() =. Из чертежа легко вывести, что y = kx + b.) x Рассмотрим варианты расчета b. Пусть прямая проходит через некоторую точку {x0, y0} и пусть известен тангенс угла наклона k. Нам нужно найти свободный член b. Т.к. уравнение (1) справедливо для всеx точек, то оно выполняется и для точки {x0, y0}. Подставим в (1) ее координаты y0 = kx0 + b. Отсюда b = y0 - kx0, (2) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы и y = kx + y0 - kx0. (3) Рассмотрим случай, когда координаты x0, y0 выражены в виде формул (типичная ситуация для данной работы), а l - общий коэффициент для этих формул (выражений), т.е. координаты данной точки можно записать в виде l{x0, y0}. Тогда b = ly0 - klx0 = l(y0 - kx0) и y = kx + l(y0 - kx0). (4) Найдем теперь геометрический смысл (интерпретацию) коэффициентов k и b (см.рис.1).

При || перемещении координат коэффициент k остается неизменным, а коэффициент b меняется. Действительно y + y0 = k(x + x0) + b. Отсюда y = kx + b + kx0 - y0.

Таким образом, при || перемещении центра координат, прямая относительно этого центра также перемещается || старому своему положению. Величину этого смещения удобно вычислить, если перейти к нормальной форме прямой (см.

далее).

Две прямые ||, если их тангенсы угла наклона равны k1 = k2. (5) (Мы предлагаем читателю доказать, что это условие необходимо и достаточно.) Докажем, что если две прямые, то k1k2 = -1. (6) Рассмотрим 2 варианта взаимного положения прямых:

y x 1) tg()tg( + ) = tg(ang(0,{x, y})tg(ang(0,{-y, x}) = = -1;

2 x - y y - x 2) tg()tg( - ) = tg(ang(0,{x, y})tg(ang(0,{y,-x}) = = -1. (7) 2 x y Замечание 1. Двигаясь в обратном направлении от (7), можно доказать, что если k1k2 = -1, то прямые Замечание 2. Можно доказать (7), например, при помощи выражения sin(x) tg(x) =.

cos(x) Уравнение прямой в приведенной форме удобно использовать как промежуточную форму для последующего перехода к уравнению в общем виде Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Ax + By + C = 0 (см. далее) и, к уравнению в нормальной форме x cos + y sin - pL = 0.

cos Дело в том, что тангенс угла наклона k = - стремится к, если sin 0,. В силу этого, данная форма неустойчива к вариации по углу и может вызывать в компьютерных программах так называемое прерывание “деление на нуль”. Поэтому использовать приведенное уравнение прямой при программировании окончательных формул не рекомендуется.

1.4.3. Уравнение прямой, проходящей через центр координат Частным случаем приведенного уравнения является уравнение с заданным тангенсом угла наклона, но без свободного члена: b = 0. В этом случае уравнение выглядит наиболее просто y = kx. Очевидно, что абсциссе x = 0 соответствует ордината y = 0, т.е. прямая проходит через начало координат O:{0,0}.

Коэффициент k называется, как и раньше, тангенсом угла наклона прямой или угловым коэффициентом. Такой вид уравнений является одним из простейших.

К нему сводят, путем || перемещения оси абсцисс, уравнение в приведенной форме.

1.4.4. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки Перейдем к этому уравнению, используя приведенное уравнение. Для начала заметим, что для всех участков прямой тангенс угла наклона постоянен. В случае прямой его легко посчитать. Для этого возьмем 2 различные точки на прямой y2 - y1 y k = =. (1) x2 - x1 x (Заметим, что результат расчета (1) не изменится, если мы возьмем те же самые точки, но в другом порядке (докажите!).) Запишем приведенное уравнение с данным коэффициентом.

y2 - yy = x + b. (2) x2 - xЕстественно, что (2) справедливо и для конкретной точки {x1, y1} Глава 1. Общие вопросы, функции и методы y2 - yy1 = x1 + b. (3) x2 - xВычтем из (2) (3) y2 - yy - y1 = (x - x1). (4) x2 - xy - y1 x - x И, окончательно, =. (5) y2 - y1 x2 - x1.4.5. Уравнение прямой в общем виде Ax + By + C = 0. Пучки прямых Перейдем от уравнения в приведенной форме y = kx + b к уравнению прямой в общем виде Ax + By + C = 0. Для этого представим тангенс угла наклона p k = в виде дроби, причем, если k целое число, то берут q = ±1 (знак у q всегда q берут таким, чтобы произведение знаков p,q всегда давало знак у k ). Например, пусть k = 2, тогда для перехода к уравнению в общем виде принимают k =. На следующих этапах преобразований приводят все члены к общему знаменателю и собирают все члены в левой или правой части уравнения. Проделаем это p y = x + b, qy = px + bq, px - qy + bq = 0, Ax + By + C = 0. (1) q где A = p, B = -q - коэффициенты при переменных x, y, а C = bq - свободный член. Все 3 коэффициента одновременно можно сокращать на одно и тоже число – при этом смысл уравнения не меняется. Заметим, что || перенос начала координат изменяет только свободный член A(x + x0) + B(y + y0) + C = = Ax + By + C + Ax0 + By0. (2) Легко перейти обратно от уравнения прямой в общем виде к приведенному A C уравнению y = - x -. (3) B B A Таким образом, тангенс угла наклона уравнения общего вида равен -.

B (4) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Докажем, что две прямые ||, если их коэффициенты, представленные A1 Bв общем виде, удовлетворяют соотношению =. (5) A2 BДействительно, для || прямых необходимо и достаточно, что были равны A1 A2 A1 Bтангенсы наклона этих прямых. Следовательно, - = - и =.

B1 B2 A2 BДокажем, что две прямые, если их коэффициенты, представленные в общем виде, удовлетворяют соотношению A1A2 + B1B2 = 0. (6) A1 AВ самом деле, из (1.4.2.-6) - - = -1, A1A2 = -B1B2. Отсюда (6).

B1 BВернемся к задаче о нахождении прямой, проходящей через 2 точки.

Найдем коэффициенты общего уравнения, выраженные через координаты данных 2 точек.

y2 - yВозьмем для этого (1.4.4.-4) y - y1 = (x - x1). Отсюда x2 - x(x2 - x1) y - (x2 - x1)y1 = ( y2 - y1)x - ( y2 - y1)x1. Переносим все слагаемые из правой в левую часть уравнения ( y1 - y2)x + (x2 - x1) y + ( y2 - y1)x1 - (x2 - x1) y1 = 0. (7) Из (7) следует, что A = ( y1 - y2), B = (x2 - x1), C = ( y2 - y1)x1 - (x2 - x1) y1 = x1y2 - x2 y1.

(8) Теорема 1. Для того, чтобы три прямые, заданные в общем виде A1x + B1y + C1 = A2x + B2 y + C2 = 0 (9) A3x + B3y + C3 = пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось A1 B1 Cусловие = A2 B2 C2 = 0 [16,§60]. (10) A3 B3 CГлава 1. Общие вопросы, функции и методы Необходимость. Пусть прямые (9) пересекаются в точке {x0, y0}, лежащей A1x0 + B1y0 + C1 = не на бесконечности (собственная точка). Тогда уравнения A2x0 + B2 y0 + C2 = A3x0 + B3y0 + C3 = линейно зависимы и, следовательно, определитель системы = 0.

Если точка пересечения лежит на (несобственная точка), то первые два столбца определителя пропорциональны (докажите!) и мы снова имеем = 0.

Достаточность. Пусть = 0 и, например, первые две прямые A1x0 + B1y0 + C1 = пересекаются в точке {x0, y0}. Тогда система уравнений имеет x0 + B2 y0 + C2 = AC1 B1 A1 C- C2 B2 A2 Cследующее решение x0 =, y0 =. Теперь убедимся, что данное A1 B1 A1 BA2 B2 A2 Bрешение удовлетворяет и третьему уравнению C1 B1 A1 CC2 B2 A2 C - A3 - B3 + C3 = = 0.

A1 B1 A1 B1 A1 BA2 B2 A2 B2 A2 B(В последнем равенстве мы воспользовались разложением определителя по элементам 3-й строки.) Следствие. Транзитивность пересечения прямых. Если 1-я и 2-я прямые пересекаются в некоторой точке и 2-я и 3-я прямые пересекаются в этой же точке, то 1-я и 3-я прямые также пересекаются в этой точке.

Определение. Прямые (две или больше), пересекающиеся в одной точке, принадлежат пучку. Если точка пересечения прямых находится на, то такой пучок называют несобственным.

Линейный алгоритм проверки принадлежности прямых пучку (В данном случае слово “линейный” обозначает зависимость количества операций от количества элементов множества, в данном случае от количества исследуемых прямых.) У нас есть следующие возможности определить пучок: задать точку пересечения (вычислить ее при пересечении 1-й и 2-й прямой). Другие методы см.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы в (1.9.). Не останавливаясь на этом подробно, заметим следующее: если при пересечении 1-й и 3-й прямой мы получим заданную точку пересечения, то и 3-я прямая принадлежит данному пучку. Дальнейшее очевидно.

Упражнение 1. Докажите, что количество сравнений в данном алгоритме при проверке принадлежности данному пучку < n -1, где n - число прямых.

Упражнение 2. Докажите, что если две точки принадлежат прямой, то и точка середины полученного отрезка также принадлежит этой прямой.

1.4.6. Нормальное уравнение прямой1 x cos + y sin - pL = Возьмем уравнение прямой в общем виде Ax + By + C = 0 и приведем его к нормальному виду x cos + y sin - pL = 0 (нормальный вид Гессе (Hesse) [18,§96], [16,§64]).

Для этого разделим все коэффициенты (1) на постоянное число ± A2 + B2.

В результате имеем A B C cos =, sin =, pL =, (1) ± A2 + B2 ± A2 + B2 ± A2 + Bпричем знак перед корнем всегда выбирают противоположным знаку C.

Заметим, что при прохождении прямой через центр координат C = 0, и, следовательно, pL = 0.

Данное уравнение впервые появилось в «Началах геометрического анализа и алгебраического анализа», Париж, 1809 Симона Люилье (Simon Antoine Jean Lhuilier (1750-1840) ), родившегося и умершего в Женеве, Швейцария [см. «Математика XIX века» под редакцией А.Н.Колмогорова и А.П. Юшкевича, М., «Наука», 1981г., стр. 11]. Однако данное уравнение носит имя немецкого математика Гессе (Ludwig Otto Hesse (1811-1874)). Мы будем также придерживаться этой традиции, хотя и относимся к ней критически.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы При работе с прямой нам понадобится единичный нормальный вектор enL = {cos,sin} (рис.2). В том случае, если C 0, знаки cos, sin определены.

Если же C = 0, то pL = 0 и направление этого вектора мы выбираем с точностью cos до. В этом случае y = - x.

sin Для прямой, заданной в нормальной форме, имеем тангенс угла наклона A cos прямой k = - = -. (2) B sin В связи с тем, что нормальный вектор прямой, то тангенсу угла наклона прямой соответствует котангенс нормального вектора.

Найдем условие || двух прямых cos1 costg(ang(0,{sin1,- cos1,}) = tg(ang({0,{sin2,- cos2), =, (3) sin1 sin2 = 1 + n, n = 1,2...

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.