WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 42 |

2. Пусть (см. рис.2) = ang(A,B) и + = ang(B,C). Тогда если = ang(A,C), то эти точки лежат на одной прямой в порядке A,C, B.

Доказательство предоставляем читателю.

3. Пусть (см. рис.3) = ang(A,B) и + = ang(B,C). Тогда если + = ang(A,C), то эти точки лежат на одной прямой в порядке C, A, B.

Доказательство предоставляем читателю.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Замечание. Задача 2) является промежуточной между задачами 1) и 3).

Поэтому мы считаем предложенную методику более удобной, чем x1 y1 x2 - x1 y2 - yпроверка равенства x2 y2 1 = 0 или = 0, (*) x3 - x1 y3 - yx3 y3 AB а затем исследование отношения между отрезками = (Ср. [18,§41,1aBC 2a]).

Для задачи 1) мы будем использовать как тест на равенство нулю определителя (*), так и другие методы.

1.2.5. Решение тригонометрических уравнений при помощи функции ang() 1.2.5.1. Простейшие уравнения NN Уравнение Решение с обратными Решение с ang() тригонометрическими функциями 1 2 3 1 = ±arccosa + 2n cos = a, a = ang(0,{a,± 1- a2 }) + 2n (1) sin = a, a 1 = (-1)n arcsin a + n = ang(0,{± 1- a2, a}) + 2n (2) = arctga + n 3 tg = a, a R = ang(0,{1,a}) + n (3) = arcctga + n 4 ctg = a, a R = ang(0,{a,1}) + n (4) Табл.Замечания.

1. n Z. (Запись n Z говорит о том, что n принадлежит к классу целых чисел. В дальнейшем, мы подразумеваем это свойство у n в аналогичных выражениях.).

2. Запись a R говорит о том, что число a принадлежит области действительных чисел.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Докажем формулу из строки 2. Выражение = (-1)n arcsin a + n для n = 0,arcsin a ang(0,{ 1- a2, a}) равносильно = =. Других решений в единичном - arcsin a ang(0,{- 1- a2, a}) круге нет. Предлагаем читателю доказать остальные формулы.

Для всех 4-х уравнений мы получили решение с помощью одной функции ang(). Это очень удобно для анализа результатов, полученных из разных тригонометрических уравнений. Однако в данном методе есть и некоторые сложности. Так, зная a, мы уже можем решать или исследовать классическим методом уравнение cos = a, а для работы с функцией ang() нам нужно вычислить, кроме того, еще и выражение ± 1- a2. Для численных операций это еще 4 дополнительных операции, что для компьютера несущественно. Однако для теоретических исследований, если a является сложным выражением (например, состоит из нескольких слагаемых), то исследование ± 1- a2 естественно сложнее, чем a. Однако, несмотря на это обстоятельство, мы считаем использование только одной функции ang() вместо четырех обратных тригонометрических функций позитивным, особенно для практических приложений.

b 1.2.5.2. Уравнение tg() = a b Заметим, что уравнение tg() = (1) a есть несколько модифицированный вид уравнения tg() = c, в котором правую c часть мы всегда можем представить в виде рациональной дроби c =. Нам известно решение уравнения (1) в виде = arctg(c) + n. (2) Построим теперь решение этого уравнения при помощи функции ang() с учетом (1.2.2.-4) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы ang(0,{a,b}) ang(0,{a,b}) = ang(0,{-a,-b}) + 2n = ang(0,{a,b}) + + 2n = ang(0,{±a,±b}) + 2n, (3а) n Z (3) или ang(0,{a,b}) +n n Z.

b К рассматриваемому уравнению tg() = сводится уравнение a Acos + Bsin = 0. (4) A В этом случае tg() = -. Тогда = ang(0,{B,- A}) +n = ang(0,{-B,A}) +n.(5) B Это решение действительно и для случая, когда B = 0. (При выводе (5), мы использовали (1.2.1.-6) ang(0,{B,- A}) = ang(0,{-B,A}) + ).) 1.2.5.3. Система уравнений cos() = a, sin() = b; a, b 1, a2 + b2 =cos = a, Сравним систему уравнений (1) sin = b, a, b 1, a2 + b2 = b с уравнением tg() = (1.2.5.2.-1.). Уравнение (1.2.5.2.-1.) содержало два a решения (1.2.5.2.-3), отличающиеся друг от друга на. С другой стороны, знаки у a, b в (1) однозначно определяют из двух вариантов искомый угол. Так, например, при a = 1, b = 1 получаем =, а при a = -1, b = -1 получаем =.

4 Поэтому количество решений системы (1) будет 1, а не 2, как было бы, если бы мы использовали функцию arctg().

Общий вид решения = ang(0,{a,b}) + 2n. (2) 1.2.5.4. Уравнение cos + sin =1. Смежные преобразования 1. Алгебраическое решение Рассмотрим уравнение cos + sin = 1, (1) у которого коэффициенты, конечные вещественные числа, т.е.

2 + <.

Мы хотим сразу подчеркнуть, что данное уравнение является особенно важным для данной работы.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Обозначим cos0 =, sin0 =. Тогда 2 2 2 + + 2 + cos + sin = cos( -0) = 1, (2) 2 2 2 + + 2 где = +, а cos0 =, sin0 = образуют систему уравнений, решаемую в предыдущем разделе (1.2.5.3.). Следовательно, однозначно находим 0 = ang(0,{, }). (3) Обратим внимание на то, что, приводя уравнение (1) к виду (2), мы отошли от общепринятой в учебниках по элементарной математике традиции приводить это уравнение к синусоидальной форме sin( +) =1. На преимуществах косинусоидальной формы мы подробно остановимся в этом и других разделах.

Т.к. cos( -0) 1, то для действительных решений необходимо, чтобы 1.

При =1 получаем одно (двойное) решение. При >1 получаем два решения 1 2 2 -0 = ang(0,{,m 1- ( )2 }) + 2n = m ang(0,{1, -1}) = m ang(0,{1, + -1}). (4) (слагаемые 2n не дают новые решения). Теперь получим общий вид решения 2 = ang(0,{, }) m ang(0,{1, + -1}). (5) 2 Исследуем 2-е слагаемое = ang(0,{1, + -1}). Т.к.

2 2 lim ang(0,{1, -1}) = 0 и у функции ang(0,{1, + -1}) 3-й и 4-й параметры 2 положительны, то справедливо неравенство 0 ang(0,{1, + -1}) <.

Отсюда 2 <, т.е. 2 меньше развернутого угла, что имеет важное следствие:

направление 0 между двумя направлениями решений всегда является биссектрисой некоторого внутреннего угла треугольника, а угол равен размеру отклонения от этого направления.

Отсюда мы используем в (5) перед 2-м слагаемым - знак ' m '. При этом обход направлений 1, 0, 2 всегда происходит против часовой стрелки. Но говорить о том, что всегда, например, 1 < 0 нельзя. Так, если 0 <, то в Глава 1. Общие вопросы, функции и методы результате 0 - = 1 < 0 и последующей нормализации 1 может случиться так, что 0 < 1. Подобная ситуация может произойти и с парой 0, 2. (Найдите с помощью чертежа такие случаи.) Сложим два слагаемых, используя (1.2.1.-15). При этом мы получим еще один, часто используемый в данной работе, вариант решения 2 2 2 1,2 = ang(0,{ ± + -1, m + -1}). (6) Предлагаем теперь читателю построить для сравнения эквивалентные решения на основе классических обратных тригонометрических функций.

2. Смежные преобразования При одновременной замене направления биссектрисы на ' противоположное 0 = 0 + и отклонения угла от биссектрисы на смежное ' ' ' = -, решения (1) меняются местами. Эти пары углов (, ) и (0, ) ' ' назовем смежными. Переходы к смежной паре (, ) (0, ) или ' ' (0, ) (, ) назовем смежным преобразованием.

Докажем, что при смежном преобразовании не возникает новых решений.

' ' ' ' ' ' В самом деле 1 = 0 - = (0 + ) - ( - ) = 0 + и 2 = 0 + = = (0 + ) - ( + ) = 0 -. 3. Геометрическое решение Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения уравнения (1).

Шаг 1. Отложим из начала координат вдоль оси абсцисс с учетом знака r вектор P.

r Шаг 2. Отложим из начала координат вдоль оси ординат вектор P.

r r r v Шаг 3. Найдем векторную сумму P = P + P. /* Вектор P имеет длину 2 = + (длина диагонали прямоугольника) и имеет угол с осью абсцисс 0 = ang(0,{, }) */ Шаг 4. Проведем окружность с центром в начале координат единичным радиусом.

r Шаг 5. Из конца вектора P проведем две касательные к данной окружности.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Шаг 6. Из центра окружности (начала координат) проведем два радиуса к точкам касания. /* Т.к. радиус окружности, проведенный в точку касания, касательной, и угол между направлением на полюс и любым из этих двух радиусов в соответствующем треугольнике удовлетворяет условию cos =1, то тем самым мы нашли угол отклонения */ Шаг 7. Найдем углы между этими радиусами и осью абсцисс. /* Это и будут искомые углы. Действительно 1,2 = 0 m */ Упражнение 1. Решить уравнение - 2 cos + 2 sin =1.

Решение. 0 = ang(0,{- 2, 2}) = ang(0,{-1,1}) =, = ang(0,{1, 2 + 2 -1}) = 3 5 3 = ang(0,{1, 3}) =, 1 = - =, 2 = + =. 3 4 3 12 4 3 3 7 Смежная пара углов 0'= + =, '= - = дает те же решения, но в 4 4 3 7 2 13 7 2 другом порядке 1'= - =, 2'= + =.

4 3 12 4 3 Графическое решение в масштабе показано на (рис.1).

Упражнение 2. Решить уравнение 3 cos + sin =1.

Решение 1. 0 = ang(0,{ 3,1}) =, = ang(0,{1, 3 +1-1}) =, 6 11 1 = - = - =, 2 = + =. 6 3 6 6 6 3 7 Получим смежную пару 0'= + =, '= - =. Она дает те же 6 6 3 7 2 7 2 решения, но в другом порядке 1'= - =, 2'= + =.

6 3 2 6 3 Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Решение 2. Читатель может получить 1,2 при помощи (6) и при этом 2 убедиться, что 3-й параметр, дающий для 2, равен - + -1 = 0.

Графическое решение в масштабе показано на (рис.2).

Упражнение 3. Доказать, что если определяется (6), то 2 ± + -cos =, (7) 2 + 2 m + - sin =. (8) 2 + Проверьте, что, используя (7) и (8), мы имеем cos2 1 + sin21 =1.

1 m Упражнение 4. а) Пусть =, =. Тогда k kn kn2 ± m (1- k )n2 + mcos =, (9) m2 + nkn(m ± (1- k )n2 + m2 ) sin =. (10) m2 + nm б) Пусть =, =. Тогда kn k n(km ± (1- k )n2 + m2 ) cos =, (11) m2 + nkn2 ± m (1- k )n2 + msin =. (12) m2 + nОчевидно следующее:

1) переход от варианта а) к варианту б) соответствует перестановке, и, отсюда следует перестановка sin, cos ;

2) m, n можно взаимно сократить на общие множители.

Результаты данного упражнения используются нами в главе «6. Диаметр».

Упражнение 5. Доказать, что если 1, 2 решения уравнения cos + sin = 1. то:

2 а) cos1 + cos2 = ; б) sin1 + sin2 = ; (13) 2 2 2 + + Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 2 1- 1в) cos1 cos2 = ; г) sin1 sin2 = ; (14) 2 2 2 + + 2 2 1- 2 1 д) cos21,2 - cos1,2 + = 0 ; е) sin21,2 - sin1,2 + = 0. (15) 2 2 2 2 2 2 2 + + + + Указание. Для вывода д) и е) воспользуйтесь теоремой Виета.

1.2.6. Некоторые вопросы нахождения углов Если известны длины всех сторон треугольника, то внутренний угол треугольника (см.рис.1) можно вычислять при помощи теоремы косинусов a2 + b2 - cс2 = a2 + b2 - 2abcos, откуда однозначно = ang(0,{t, 1- t2}), где t =, 2ab причем корень берем со знаком '+ '. Тогда 0 <. (1) Если же нужно знать угол между двумя направлениями CB и CA с центром в C (см.рис.2), то в этом случае мы рекомендуем использовать:

1) если известны координаты вершин A,B,C, то = - = ang(C,B) - ang(C, A) ; (2) 2) если нам известны направляющие нормальных векторов каждого из лучей (об этом см. в 1.4.6. Нормальное уравнение прямой), то = ang(0,{cos1 cos2 + sin1 sin2,sin1 cos2 - sin2 cos1}). (2а) Рассмотрим особенности использования каждой формулы. Для расчетов с помощью (1) необходимо знать длины каждой стороны треугольника, или Глава 1. Общие вопросы, функции и методы координаты его вершин, по которым с помощью теоремы Пифагора можно посчитать соответствующие длины. При этом априори (т.е. перед этим) мы можем и не знать, рассчитываемый угол острый или тупой – его величина получается автоматически. Так, если в (1) при t > 0 - угол острый, t = 0 - прямой, t < 0 - тупой. Т.к. мы пользуемся теоремой косинусов, то мы рассчитываем угол треугольника, поэтому 0 <.

(2) используется в том случае, если нам известны направляющие нормальных векторов каждого из двух лучей. Так как эта информация, как правило, известна заранее, то угол между лучами рассчитывается проще, чем (1).

Кроме того, мы можем получить в результате расчетов отрицательный угол, а также угол тупой. Мы можем управлять данным расчетом с помощью знаков абсолютной величины. Тогда угол = ang(0,{cos1,cos2 + sin1sin2, sin1,cos2 - sin2 cos1 }) острый или прямой (прямой если cos1 cos2 + sin1 sin2 = 0 ), но никогда этот угол не будет тупым.

Перед тем, как расставлять знаки абсолютной величины, нужны основания.

Другими словами, мы априори из других условий должны знать – рассчитываемый угол острый или тупой. И только тогда управлять этим расчетом.

1.2.7. Измерение углов с помощью ang() после операций копирования и перемещения Определение. Ориентацией угла назовем последовательность рассмотрения сторон угла, т.е. одну сторону угла мы субъективно рассматриваем как первую, а другую сторону как вторую. Переход от 1-й стороны ко второй стороне угла, как мы уже говорили, осуществляем против часовой стрелки. Значение угла получаем как разность между двумя направлениями угла = ang(C,B) - ang(C, A), (1) где луч CB является второй стороной угла, а луч CA - первой стороной. (Т.к. мы можем при вычислении (1) получить отрицательные углы, то мы рекомендуем рассматривать данную конструкцию как интервал углов и перед (!) вычислением (1) выполнить процедуру нормализации интервала углов (1.2.1.-3.2.)).

Каждый угол можно копировать и впоследствии перемещать и/или вращать.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы При этом значение (1) должно оставаться неизменным. О том, что этот вопрос не простой, говорит пример, когда после вращения угла ось абсцисс пролегла, например, между сторонами этого угла. Тогда одно направление угла (на чертеже верхнее) будет положительным, а другое (на чертеже нижнее) будет отрицательным. Чтобы получить исходный результат величины угла с помощью (1), необходимо после преобразований опять выполнить процедуру нормализации интервалов углов.

(Впоследствии мы рассмотрим этот вопрос в самом общем виде, т.е. при суперпозиции смещений и поворотов. В данном месте мы рассмотрим эти преобразования отдельно).

Итак, пусть осуществлен поворот плоскости на некоторый угол, на которой находятся лучи CB и CA. Это означает, что к направлениям данных лучей добавился дополнительный угол (см. рис.1). Вычислим угол между лучами = ang(C',B' ) - ang(C', A' ) = (ang(C,B) +) - (ang(C, A) +) = ang(C,B) - ang(C, A).

Следовательно, можно с помощью поворота на произвольный угол создать точную копию данного угла, у которого каждая сторона повернута относительно исходной стороны угла прототипа на один и тот же угол (на рис.1.

= (450) ).

Аналогичный случай мы имеем, если к координатам каждой точки A,B,C добавился вектор перемещения {x0, y0}. Этот вектор исчезает при вычислении разностей (при расчете мы его не показываем) (см.1.2.1.-1) = ang(C',B' ) - ang(C', A' ) = ang(0,{Bx - Cx, By - Cy}) - ang(0,{Ax - Cx, Ay - Cy}).

Разберем, теперь, часто встречающиеся случаи: углы с взаимно || сторонами и углы с взаимно сторонами.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.