WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 42 |

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1 - 2 Отсюда всегда (1 -)(2 -) > 0 и всегда sin sin > 0. Т.к. мы сделали, 2 что 2 > 1, то, окончательно, 2 -1 2 -B = ang(0,{cos,sin }). (31) 2 Если B - опирается на диаметр (теорема Фалеса (Thales of Miletus)), то 1 +cos = 0 и B =.

2 1 + И обратно: если cos = 0, то B - опирается на диаметр (докажите!).

Заметим, что (31) не зависит от (от положения B на ABC. ) Упражнение 21. Доказать, что две неполных функции ang(), отличающиеся друг от друга только знаком у 3-го параметра, являются дополнительными до.

Доказательство. Действительно ang(0,{-x, y}) + ang(0,{x, y}) = = ang(0,{-x2 - y2, xy - xy}) = ang(0,{-(x2 + y2),0}) =.

Упражнение 22. Доказать, что сумма двух неполных функций ang(), отличающихся друг от друга только знаком у 4-го параметра равна 0.

1.2.2. Обратные тригонометрические функции, выраженные через функцию ang() Выскажем замечание общего характера. В том случае, если мы решаем задачу нахождения углов только с применением функции ang(), то не нужно отслеживать область определения и изменения решения – это получается автоматически. Собственно говоря, в этом и состоит преимущество ang().

Если же мы используем ang() для решения задач, в которых применяются классические обратные тригонометрические функции, то при переводе этих функций в ang() и обратно нужно быть очень внимательным и постоянно следить за областью определения и изменения. Но и в этом случае применение ang() мы считаем продуктивным.

1. arccos(x) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Пусть arccos(x) =, область определения x[-1,1], область изменения [0, ] (1-й и 2-й квадрант). Тогда cos = x, sin = 1- x2. Знак "+" у корня потому, что при [0, ] sin 0. Учитывая (1.2.1.-12), arccos(x) = ang(0,{x, 1- x2 }). (1) Докажем, что arccos(-x) = - arccos(x). Действительно, из (1.2.1.- 24) arccos(-x) = ang(0,{-x, 1- x2 }) = - ang(0,{x, 1- x2 }) = - arccos(x).

Отметим, что найдено взаимно-однозначное преобразование arccos() ang() на верхней полуплоскости единичного круга - в1 и 2 квадрантах (область определения arccos() ).

Упражнение 1. Вычислить arccos.

Решение. Т.к. 0 < < 1, то область значений arccos() принадлежит 1-му 3 3 3 квадранту. Из (1) получаем ang(0,{, 1- }) = ang(0,{, }) = ang(0,{ 3,1}) =.

2 4 2 2 (Мы использовали 1.2.1. таблицу 4) Упражнение 2. Доказать [17,XXVIII,5б], что 2arccos x = arccos(2x2 -1), 0 x 1.

Доказательство. Т.к. 2x2 -1 1, то значения и левой и правой части равенства принадлежат 1-му квадранту. Преобразуем левую часть равенства 2arccos x = 2ang(0,{x, 1- x2 }) = ang(0,{x2 -1+ x2,2x 1- x2 }) = = ang(0,{2x2 -1, 2x 1- x2 }).

Преобразуем правую часть равенства arccos(2x2 -1) = ang(0,2x2 -1, 1- (2x2 -1)2 = ang(0,2x2 -1, 1- 4x4 + 4x2 -1)2 = = ang(0,{2x2 -1, 2x 1- x2 }). Как видно, левая и правая части равенства совпадают.

1 1+ x Упражнение 3. Доказать [17,XXVIII,6б], что arccos x = arccos, 0 x 1.

2 1+ x Доказательство. Преобразуем равенство arccos x = 2arccos. И левая, и правая части равенства находятся в 1-м квадранте.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1+ x Левая часть arccos x = ang(0,{x, 1- x2 }). Правая часть 2arccos = 1+ x 1+ x 1+ x 1- x = 2ang0,, 1 = 2ang0, 2, 2 = 2ang(0,{ 1+ x, 1- x}) = 2 = ang(0,{1+ x -1+ x,2 1+ x 1- x}) = ang(0,{2x, 2 1- x2 }) = ang(0,{x, 1- x2 }).

Части равенства совпадают.

2. arcsin(x) Пусть arcsin(x) =, область определения x[-1,1], область изменения [-, ]. Тогда sin = x, cos = 1- x2. Знак “+” у корня потому, что при 2 [-, ], cos 0. Учитывая (1.2.1.-12), arcsin(x) = ang(0,{ 1- x2, x}). (2) 2 Таким образом, найдено взаимно-однозначное преобразование arcsin() ang() в 1 и 4 квадрантах единичного круга (правая полуплоскость).

Докажем, что arcsin(-x) = -arcsin(x). В самом деле arcsin(-x) = ang(0,{ 1- x2,-x}) = -ang(0,{ 1- x2, x}) = -arcsin(x) (см. 1.2.1.-3).

Упражнение 2. Доказать, что arccos x + arcsin x =.

Доказательство. Из (1), (2), (1.2.1.-15) получаем ang(0,{x, 1- x2 }) + ang(0,{ 1- x2, x}) = ang(0,{x 1- x2 - 1- x2 x, 1- x2 1- x2 - x2}) = = ang(0,{0,1}) =.

Упражнение 3. Доказать, что - arcsin = ang(0,{- 1- a2, a}).

Упражнение 4. Доказать [17, XXVIII,40], [10, стр. 333, пример 2] 4 5 arcsin + arcsin + arcsin =.

5 13 65 3. arctg(x) Пусть arctg(x) =, область определения x [-, ], область изменения.

[-, ] (Мы, в отличие от общепринятой записи, включили значения -, в 2 2 2 Глава 1. Общие вопросы, функции и методы область определения). На этих интервалах arctg(x) = ang(0,{1, x}). (3) (См.

1.2.1.табл.1 и 2 и 1.2.1. упр.2). Для варианта, когда аргумент arctg(t) выражен в y виде дроби t = и x 0, в силу (1.2.1.-9) x y arctg( ) = ang(0,{x, y}). (4) x Докажем, что arctg(-x) = -arctg(x). Из (1.2.1.-3) arctg(-x) = ang(0,{1,-x}) = -ang(0,{1, x}) = -arctg(x).

Как мы выяснили, в 1 и 4 квадрантах значения arctg() и ang() совпадают (как при прямом преобразовании arctg() ang(), так и при обратном ang() arctg() ).

1 1 1 Упражнение 5. Доказать, что arctg + arctg + arctg + arctg =. (Ср. [10, 3 5 7 8 стр. 334, пример 4]).

Доказательство. Заметим, что все слагаемые находятся в 1 квадранте, где ang() и arctg() совпадают. Будем складывать слагаемые последовательно ang(0,{3,1}) + ang(0,{5,1}) = ang(0,{7,4}), ang(0,{7,4}) + ang(0,{7,1}) = ang(0,{9,7}), ang(0,{9,7}) + ang(0,{8,1}) = ang(0,{1,1}) =. (Решение также не вышло за границы 1-го квадранта.) 1 Упражнение 6. Доказать, что = 4arctg - arctg (Дж.Мэчин 1706 г.

4 5 (Machin J. ум.1751)) [7, стр.148], [17, стр.331,(26,б)].

Доказательство. Выражаем arctg() через ang() и нормируем параметры 1 5 1 5 1 = arctg = ang0,, = ang0,,, 26 12 + 52 12 + 52 4 2 5 5 5 5 41 = ang0,8 +1, 8 - 4 - = 26 26 26 26 26 8 625 8 25 8 125 4 = ang0, - +1, - 262 26 262 - 8 25 26 + 262 8 125 - 4 5 8 = ang0,, = 262 Глава 1. Общие вопросы, функции и методы = ang(0,{476,480}) = ang(0,{119,120}), = 1 -2 = ang(0,{119,120}) - ang(0,{239,1}) = = ang(0,{119 239 +1120, 239120 -1191}) = ang(0,{28561,28561}) = ang(0,{1,1}) =.

Упражнение 7. Доказать, что 2arctg2 - arctg = [17, стр.331,(26,а)].

4 4. arcctg(x) Пусть arcctg(x) =, область определения x [-, ], область изменения [0, ]. (Мы, в отличие от общепринятой записи, включили значения 0, в область определения). Т.к. ctg = ctg(arcctg(x)) = x =, то докажем, что tg arcctg(x) = ang(0,{x,1}). (5) Доказательство. Для случая x > 0 формула сомнений не вызывает.

Случай x = 0 соответствует (1.2.1. табл.1, столбец 2).

Случай x < 0 соответствует, с одной стороны (1.2.1. табл.2, столбец 2) формуле - ang(0,{ x,1}), а с другой стороны, известно, что arctg(-x) = - arcctg x.

Докажем другим способом, что arcctg(-x) = - arcctg(x). Из (1.2.1.- 24) arcctg(-x) = ang(0,{-x,1}) = - ang(0,{x,1}) = - arcctg(x).

p Если аргумент arcctg(t) выражен в виде дроби t = и p 0, то из (1.2.1.9) q p arcctg( ) = ang(0,{p,q}). (6) q Таким образом, найдено взаимно-однозначное преобразование arcctg() ang() на верхней полуплоскости единичного круга – в 1 и 2 квадрантах (область определения arcctg() ).

x2 -Упражнение 6. Доказать, что 2arcctgx = arcctg, x > 0.

2x Доказательство. Левая часть 2arcctgx = 2ang(0,{x,1}) = ang(0,{x2 -1,2x}).

x2 -Правая часть arcctg = ang(0,{x2 -1,2x}).Части равенства равны.

2x Упражнение 7. Доказать равенства:

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 3 1) arcsin + arcsin = ;

5 5 1 1 2) arccos + arccos(- ) - arccos(- ) = 0 ;

2 7 1 1 3) arctg + arctg =, 2 3 4) arctg x + arcctg x =, 1 1 5) arctg + arctg + arctg = arctg5 [17, стр.331,(39)], 2 3 1 6) 2arctg + arctg = [17, стр.331,(38)].

4 23 1.2.3. Прямые тригонометрические функции от функции ang() В левой колонке приведенной ниже табл.1 мы запишем формулы прямых основных тригонометрических функций, выраженных через arctg(x) [10,стр.327328], а в правой колонке вместо функции arctg(x) используем неполную функцию ang(0,{x, y}) tg(arctg x) = x, - < x < + (1) y tg(ang(0,{x,y})) =, x 0, - < y < + (1а) x 1 x cos(arctg x) =, - < x < + cos(ang(0,{x, y})) =, - < x, y < + 1+ x2 x2 + y(2) (2а) x y sin(arctg x) =, - < x < + sin(ang(0,{x,y})) =, - < x, y < + 1+ x2 x2 + y(3) (3а) 1 x ctg(arctg x) =, x 0 (4) ctg(ang(0,{x,y})) =, y 0, - < x < + x y (4а) Табл.Напомним, что в неполной функции ang(0,{x, y}) мы интерпретируем 3-й параметр x и 4-й параметр y как проекции соответственно на оси координат круга с центром в начале координат {0,0} и радиусом R = x2 + y2. Для удобства Глава 1. Общие вопросы, функции и методы доказательства, мы делим этот круг, как и единичный, на 4 квадранта и нумеруем квадранты от 1 до 4 против часовой стрелки.

Рассмотрим (1а). Нам нужно доказать, что мы получим у этой формулы правильное численное значение и правильный знак. Для начала заметим, что в 1й и 4-й четверти arctg x = ang(0,{1, x}). А это значит, что и значения тангенса от y равных углов будет равное. Делаем подстановку x. Т.к. в этих четвертях x y y x > 0, то arctg = ang(0,{1, }) = ang(0,{x, y}). Проверим знаки в этих четвертях. В x x y 1-й четверти y > 0, следовательно > 0. Аналогично и в 4-й четверти. Делаем x вывод для этих четвертей (1а) верна.

Рассмотрим (1а) во 2-й и 3-й четверти. Из (1.2.1.- табл.2, столбцы 2, 3) мы y видим, что в этих четвертях ang() = m, где = arctg. т.к. tg( m) = mtg, то и x здесь мы убеждаемся, что численное значение тангенса будет верно. Рассмотрим y знаки. Очевидно, что знак совпадает со знаком тангенса в этих четвертях.

x y Рассмотрим (2а). Эта формула получена из (2) при подстановке x.

x Возьмем окружность радиуса x2 + y2. Внутри этой окружности (2а) можно интерпретировать, как отношение прилежащего катета x к гипотенузе x2 + y2, что соответствует определению cos. Этим мы установили, что наша формула дает правильное значение. Знак перед корнем берем “+”, т.к. при x > 0 (левая полуплоскость) cos > 0, а при x < 0 (правая полуплоскость) cos < 0.

Упражнение 1. Доказать (3а) и (4а).

Упражнение 2. Доказать, что tg(ang(0,{x, y}) = tg(ang(0,{-x,-y}). (5) y Действительно, из (1а) tg(ang(0,{x, y}) =. С другой x Глава 1. Общие вопросы, функции и методы tg x + tg стороны, используя tg(x + ) = = tg x. Т.к. tg = 0 и учитывая (1.2.1.-6), 1- tg x tg y имеем tg(ang(0,{-x,-y}) = tg(ang(0,{x, y}) + ) =.

x Упражнение 3. Найти площадь параллелограмма (см.рис.1).

Решение1. Разделим параллелограмм диагональю, несовпадающей с началом координат, на 2 равных треугольника. Тогда искомая площадь параллелограмма равна удвоенной площади одного из этих треугольников 2 S = 2 a2 + b2 c2 + d sin = a2 + b2 c2 + d sin. (6) = ang(0,{c,d}) - ang(0,{a,b}) = ang(0,{ac + bd,ad - bc}). (7) ad - bc ad - bc Из (3а) sin = =. (8) (ac + bd)2 + (ad - bc)2 a2 + b2 c2 + d a b Подставляем sin в (6) и производим сокращения S = ad - bc =. (9) c d Рассмотрим исследуемый треугольник и пусть в его вершинах находятся точки {x1, y1}, {x2, y2}, {x3, y3} в такой последовательности, что a = x2 - x1, b = y2 - y1, c = x3 - x1, d = y3 - y1 (см. рис.1). Тогда x1 y1 a b x2 - x1 y2 - y S = = = x2 y2 1. (10) c d x3 - x1 y3 - yx3 y3 Другая последовательность точек может вызвать изменение знака (10) (объясните!).

Чтобы 3 точки {x1, y1}, {x2, y2}, {x3, y3} лежали на одной прямой (в любой x1 y1 последовательности), необходимо и достаточно S = x2 y2 1 = 0. (11) x3 y3 Упражнение 4. Докажите (10) и (11).

Рекомендация. Похожее доказательство можно найти в (1.4.5) или [16,§60].

См.также В.И.Арнольд. Цепные дроби. М., МЦНМО, 2001, стр.10.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1.2.4. Геометрическая интерпретация функции ang() Мы определили данную функцию, как отслеживающую некоторое направление. Поэтому при перемещении одной из точек или одновременно двух точек вдоль этой прямой, если они не меняются местами или не сближаются до нулевого расстояния между ними, функция сохраняет свое значение.

Доказательство. Возьмем на прямой, описываемой уравнением y = kx + b, две точки с абсциссами x1 и x2. Для определенности предполагаем, что x2 > x1.

Рассмотрим отношение аргументов функции ang() (см.1.2.1.-2) для этих точек Y y2 - y1 k(x2 + b) - (kx1 + b) = = = k.

X x2 - x1 x2 - x Теперь изменим абсциссы x1 = x1 + C1, x2 = x2 + C2, но так, чтобы по-прежнему было x2 > x1. Это ограничение вызвано тем, чтобы не изменились знаки у компонентов вектора {X, Y}. Тогда из (1.2.1.-1) и (1.2.1.-2) следует Y y2 - y1 (k(x2 + C2) + b) - (k(x1 + C1) + b) = = = k.

X x2 - x1 (x2 + C2) - (x1 + C1) (Варианты, соответствующие табл. 1, т.е. такие, в которых направление вдоль прямой || оси абсцисс или ординат, также рассматриваются без особого труда).

Упражнение 1. Докажите следующие утверждения.

Пусть точки A и B расположены на прямой y = kx + b, k таким образом, что Bx - Ax = x > 0. Тогда ang(A,B) = ang(1,k). (1) Если на этой же прямой выполнено Dx - Cx = x < 0, то ang(C,D) = ang(1,k) +. (2) Определение взаимного расположения 3-х точек A, B,C на прямой.

Среди задач на 3 точки выделим следующие 3 задачи с нарастанием сложности 1) лежат ли точки на одной прямой;

2) если ответ «да», то в какой последовательности они лежат;

3) если ответ на первый вопрос «да», то какое расстояние между точками, или в каком отношении одна из точек делит отрезок, если она лежит между двумя другими.

Займемся задачей 2).

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1. (Транзитивность.) Пусть = ang(A,B) и = ang(B,C). Тогда = ang(A,C). (3) и A, B,C лежат на одной прямой в порядке A, B,C.

Справка. Не вдаваясь в детали данного вопроса теории отношений, определим транзитивность так: если элемент a по отношению к элементу b обладает некоторым свойством, и элемент b по отношению к c обладает тем же свойством, то элемент a обладает этим свойством по отношению к элементу c.

Так, отношение подобия треугольников транзитивно. Отношение соседства углов треугольника транзитивно. А отношение соседства углов n -угольника при n > 3 - нет. Действительно, возьмем четырехугольник. Если угол A - сосед угла B, а угол B - сосед угла C, то уже угол A не является соседом угла C.

Вернемся к нашему доказательству. Действительно, (см. рис.1) из равенства двух значений функции ang() следует, как минимум, двух векторов A,B и B,C.

Но B является концом первого вектора и началом второго вектора. Таким образом, A, B,C лежат на одной прямой в порядке A, B,C.

К такому же порядку точек приводят соотношения = ang(A,B) и + = ang(B,C).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.