WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 42 |

Аналогично, ang({-x1,- y1},{-x2,- y2}) = ang({x1, y1},{x2, y2}) +. (6) Действительно ang({-x1,- y1},{-x2,- y2}) = ang(0,{-x2 - (-x1),- y2 - (- y1)}) = = ang(0,{x1 - x2, y1 - y2}) = ang({x2, y2},{x1, y1}) = ang({x1, y1},{x2, y2}) +.

Для неполной функции ang(), учитывая (6), при изменении всех знаков получим ang(0,{-x,- y}) = ang(0,{x,y}) + (7) и ang(0,{x,- y}) = ang(0,{-x,y}) +. (7а) 6. Условия неизменности функции ang(P1, P2) Это условие можно понимать, так же, как условие равенства двух углов.

Очевидно, что оно выполняется в том, и только в том случае, если сохраняются Y знаки компонентов вектора {X, Y} и отношение, X 0 постоянно.

X Если же X = 0, то необходимо и достаточно сохранение только знака Y (см. табл.1). Аналогично, если Y = 0, то необходимо и достаточно сохранение только знака X (см. табл.1).

Приступим теперь к рассмотрению частных случаев. Из (1) и (2) следует, что при k > Глава 1. Общие вопросы, функции и методы ang({kx1 + C1, ky1 + C2},{kx2 + C1, ky2 + C2}) = ang({x1, y1},{x2, y2}). (8) Выражение (8) говорит о том, что одновременный параллельный перенос и масштабирование длин одним положительным коэффициентом по обеим осям всех 4-х аргументов не меняет значение функции ang().

Приведем другие частные случаи, сводящиеся к виду x1 = kx2, y1 = ky2, k > 0 k < ang(0,{kx, ky}) = ang(0,{x, y}) (9) ang(0,{kx,ky}) = ang(0,{x, y}) m (9а) ang({kx, ky},0) = ang({x, y},0) (10) ang({kx,ky},0) = ang({x, y},0) m (10а) y y ang(0,{x, }) = ang(0,{kx, y}) (11) ang(0,{x, }) = ang(0,{kx, y}) m (11а) k k Табл.3.

P2 y - P1y P4 y - P3 y Таким образом, если ang(P1, P2) = ang(P3, P4), то =, и P2x - P1x P4x - P3x P2 y - P1y P4 y - P3 y обратно, если =, то ang(P1, P2) = ang(P3, P4) + n.

P2x - P1x P4x - P3x 7. Угол и точка на единичной окружности Формулы (9) и (9а) для неполной функции говорят о том, что каждому углу можно с точностью до постоянного положительного коэффициента k поставить в соответствии пару чисел x, y, одновременно не равных 0. С учетом этой оговорки, заметим, что любую пару действительных чисел можно интерпретировать как x y {x, y} = x2 + y2{, } = k{cos,sin}, где k = x2 + y2 - коэффициент x2 + y2 x2 + yнормирования.

8. Тригонометрическое представление функции ang() Пусть cos > 0. Используя (9) и (2) имеем Глава 1. Общие вопросы, функции и методы sin = ang(0,{cos,sin}) = ang(0,{1, }) = ang(0,{1,tg}) =. Отсюда = cos и = ang(0,{cos,sin}). (12) Мы предлагаем читателю убедиться в справедливости этого свойства и для остальных квадрантов единичной окружности, отложив на ней различные векторы {cos,sin}.

(В некотором смысле мы получили действительный аналог известной формулы Эйлера для комплексной плоскости ei = cos + i sin. Однако, как мы уже говорили, только специальные исследования на эту тему могут установить степень подобия/различия этих формул.) В тригонометрическом представлении функция ang() является возрастающей функцией от аргумента на интервале [0,2 ). Т.е., если > 0, 0 0 + < 2, то ang(0,{cos0,sin0}) < ang(0,{cos(0 + ),sin(0 + )}). (12*) (На языке анализа суперпозиции функции от функций называются сложными [24, стр.115].) Пойдем дальше. Применим (9) = ang(0,{R cos, Rsin}), R > 0. (13) Пример. Пользуясь (13), мы можем решать, например, следующий тип уравнений дано и третий параметр x1 в выражении = ang(0,{x1, y1}). Найти четвертый параметр y1.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы x1 x1 x Решение. R =, cos =, y1 = Rsin = sR 1-, cos R R где s > 0 при 0 < и s < 0 при < < 2.

Покажем наиболее общий вариант тригонометрического представления нашей функции (см.рис.4) = ang({Cx,Cy},{R cos + Cx,R sin + Cy}). (14) 9. Сумма (разность) поворотов относительно центра координат Найдем сумму углов = 1 +2. Тогда = ang(0,{cos(1 + 2),sin(1 + 2)}) = = ang(0, {cos1 cos2 - sin1 sin2,sin1 cos2 + cos1 sin2}) = = ang(0, {R1 cos1R2 cos2 - R1 sin1R2 sin2, R1 sin1R2 cos2 + R1 cos1R2 sin2}).

Сделаем замену (R cosi xi, R sini yi ). Теперь i i i=1, = ang(0,{x1x2 - y1y2, x2 y1 + x1y2}) (15) (ср. [16,§40,(1)-(3)]).

Аналогично для разности углов = 1 - = ang(0,{x1x2 + y1y2, x2 y1 - x1y2}). (16) Замечание: у параметров 3 и 4 есть общий множитель R1R2.

Абсолютную разность двух углов найдем, с учетом (4) 1 -2 = ang(0,{x1x2 + y1y2, x2 y1 - x1y2 }). (17) Упражнение 6. Пусть вершина угла находится в начале координат P2 :{0,0}, а две другие точки на лучах находятся, соответственно, в P1 :{1,0} и P3 :{1,1}.

Постройте чертеж и найдите P3P2P1.

Решение. Вначале найдем компоненты векторов разностей x32 =1, =1, x12 =1, y12 = 0. Теперь находим искомый угол y = ang(P2, P3) - ang(P2, P1) = ang(0,{x32, }) - ang(0,{x12,y12}) = y= ang(0,{x32x12 + y32y12, y32x12 - x32y12}) = ang(0,{11+1 0,11-1 0}) = = ang(0,{1,1}) =.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 10. Повороты на углы ± Пусть 1 = ang(0,{x1, y1}). Найдем 2 = 1 +.

Используя (13) 2 = ang(0,{x1, y1}) + ang(0,{0,1}) = ang(0,{- y1, x1}) Упражнение 7. Пусть 1 = ang(0,{x1, y1}). Найти 2 = 1 -.

Ответ. 2 = ang(0,{y1, x1}) + = ang(0,{y1,-x1}) Упражнение 8. Доказать, что если скалярное произведение двух векторов равно 0, то эти векторы. И обратно, если векторы, то их скалярное произведение равно 0.

Доказательство. Достаточность. Нам дано {x1, y1}, {x2, y2} и x1x2 + y1y2 = 0.

Отсюда 1 = ang(0,{x1, y1}), 2 = ang(0,{x2, y2}). Используя (16) имеем 1 -2 =, x2 y1 - x1y2 > = ang(0,{x1x2 + y1y2, x2 y1 - x1y2}) = ang(0,{0,x2 y1 - x1y2}) =. (18), x2 y1 - x1y2 < Предоставляем необходимость доказать читателю.

Упражнение 9. Доказать, что если 1) 1 = ang(0,{x, y}), 2 = ang(0,{y, x}), то 1 +2 =. (19) Доказательство. = 1 + 2 = ang(0,{xy - xy, x2 + y2}) = ang(0,{0, x2 + y2}). Мы получили x = 0, y > 0, что соответствует 2-й колонке табл.1 - углу =. Следствие. Из (19) следует ang(0,{x, y}) = - ang(0,{y, x}). (19а) Пример. = ang(0,{ 3,1}), = ang(0,{1, 3}), = - или 600 = 900 - 300.

6 3 3 2 11. Формулы угла n-кратных аргументов (n=2,3,4) Найти 1 = 2.

Решение. Из (13) 1 = 2ang(0,{x,y}) = ang(0,{cos2 - sin2, 2cos sin}) = = ang(0,{x2 - y2,2xy}). (20) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Замечание. Обратим внимание, что параметры в (20) однородны, т.е если подставить вместо cos k cos, sin k sin, то (20) будет также справедливо.

Найти 1 = 3.

Решение. Из cos3 = 4cos3 - 3cos, sin 3 = 3sin - 4sin3 получаем 1 = ang(0,{sin 3, cos3}) = ang(0,{4cos3 - 3cos, 3sin - 4sin3 }). (21) Замечание. В данном случае 3-й и 4-й параметры ang() неоднородны 1(cos,sin) 1(k cos, k sin) и перед вычислением эти параметры необходимо нормировать cos2 3 + sin2 3 = cos2 + sin2 =1.

Найти 1 = 4.

Решение. Аналогично предыдущей формуле cos 4 = 8cos4 - 8cos2 +1, sin 4 = 8cos3 sin - 4cos sin. Таким образом, 4 = ang(0,{8cos4 - 8cos2 +1, 8cos3 sin - 4cos sin}). (22) Замечание. И в данном случае 3-й и 4-й параметры ang() неоднородны и их также необходимо нормировать (см. предыдущее замечание).

12. Формула угла половинного аргумента Пусть 0 = ang(0,{x0,y0}). Найти 1 = 0. Предположим, что искомый угол будет 1 = ang(0,{x,y}). Тогда из (20) и, используя однородность данной формулы, получаем 0 = ang(0,{x2 - y2, 2xy}) = ang(0,{x0,y0}). Запишем систему уравнений 2 - y2 = xxy0 y0 y и решаем ее x =, x2 =, - y2 = x0, 4y4 + 4x0 y2 - y0 = 0.

2y 4y2 4y2xy = yМы получили биквадратное уравнение. Сделаем замену y = t2 и продолжим 1 2 2 2 2 решение 4t2 + 4x0t - y0 = 0, t1,2 = (-2x0 ± 4x0 + 4y0 ) = (-x0 ± x0 + y0 ).

4 Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 2 Т.к. x0 + y0 x0, то перед корнем берем только знак "+". Отсюда ± y0 2 x =, y = ± (-x0 + x0 + y0 ). Применяя (9), умножаем x, y на 2 2( (-x0 + x0 + y0 )) 2 положительный коэффициент k = (-x0 + x0 + y0 ).

За счет знаков ± получено 4 варианта решений. Но, нужно следить за тем, чтобы знак у произведения xy всегда совпадал со знаком y0. Если нет других условий (например, искомый угол находится в определенном квадранте), то мы оставляем ниже только 2 возможных решения из 2 1,2 = ang(0,{± y0,±(- x0 + x0 + y0 )}). (23) Справедливо, также 2 = 1 + и 22 = 21 + 2 = 0.

2 Докажите, что - x0 + x0 + y0 > 0. Пример. Найдем представление угла (150) через функцию ang(0,{x,y}).

3 Для этого возьмем x0 = cos300 =, y0 = sin 300 =. Тогда (150) = 2 2 1 3 3 +1 1 = 1 = ang0,,- + = ang0,,- +1 = ang(0,{1, 2 - 3}).

2 2 4 2 Решим этот пример другим способом. Т.к. 450 - 300 =150, то 150 = 2 3 2 1 2 3 1 = ang(0,{cos(450 - 300),sin(450 - 300)}) = ang(0,{ +, - }) = 2 2 2 2 2 2 2 = ang(0,{ 6 + 2, 6 - 2}) = ang(0,{ 3 +1, 3 -1}) = ang(0,{2, 3 - 2 3 +1}) = = ang(0,{1, 2 - 3}).

Рассмотрим задачу: найти все углы, которые при умножении на n давали бы исходный угол. Т.к. задается с точностью до 2, то мы можем + i 2 + i,sin сразу написать ответ i = ang(0,cos ), i = 0,1,...,n -1. Отсюда n n следует, что данная задача имеет n решений. Опытный читатель обратил внимание, что приведенная формула похожа на формулу извлечения корня n степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Автор Глава 1. Общие вопросы, функции и методы формулы для комплексных чисел – английский математик Муавр (Abraham de Moivre (1667-1754)), родившийся во Франции.

Замечание. Использование (21) с целью вычисления меньшего угла по известному большему углу (делению угла на 3 равных угла - трисекция угла) приводит к кубическому уравнению. Этот путь мало эффективный, т.к. даже для получения действительных корней часто приходится извлекать радикалы из комплексных выражений [14,стр.234-238]. Интересно, что эта задача имеет очень древнюю историю - разделением угла на 3 части при помощи только циркуля и односторонней линейки занимались Архимед, Аполлоний и др. Полностью разрешить проблему (что можно построить такими простыми средствами, а что нельзя) удалось только юному К.Ф.Гауссу в 1796 г. за месяц до своего 19-летия, о чем он сделал запись в своем дневнике.. Подробности прекрасно изложены в [13, глава III], [3, глава VII].

13.Часто используемые углы Град. Рад. ang() Град. Рад. ang() 0 ang(0,{1,0}) 0o o 30o ang(0,{ 3,1}) ang(0,{- 3,-1}) ang(0,{1,1}) 5 ang(0,{-1,-1}) 45o 225o 4 60o 240o ang(0,{1, 3}) ang(0,{-1,- 3}) ang(0,{0,1}) ang(0,{0,-1}) 90o 270o 2 2 120o 300o ang(0,{-1, 3}) ang(0,{1,- 3}) 3 ang(0,{-1,1}) ang(0,{1,-1}) 3 135o 315o 4 5 150o 330o ang(0,{- 3,1}) ang(0,{ 3,-1}) 6 ang(0,{-1,0}) 2 ang(0,{1,0}) 180o 360o Табл. 4.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Упражнение 10. Дано 1 =, R1 = 1, 2 =, R2 = 2. Найти = 1 +2.

3 1 3 1 Решение cos =, sin =, cos = 0, sin =1, x1 =, y1 =, x2 = 0, 3 2 3 2 2 2 2 1 3 3 1 3 y2 = 2, = 1 +2 = ang(0,{ 0 - 2, 0 + 2}) = ang(0,{- 2, 2}) = 2 2 2 2 2 3 1 = ang(0,{-, }) =.

2 2 Упражнение 11. Дано 1 =, R1 = 3, 2 = -, R2 = 2. Найти = 1 +2.

6 3 1 1 3 3 3 Решение cos =,sin =, cos(- ) =,sin(- ) = -, x1 =, y1 =, 6 2 6 2 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 x2 = 1, y2 = - 3, = ang(0,{ 1+, 1- }) = ang(0,{3 3, - 3}) = 2 2 2 = ang(0,{ 3, -1}) = (или - ).

6 Упражнение 12. Доказать, что = - ang(0,{x, y}) = ang(0,{-x, y}). (24) 1 вариант Доказательство. Из (3а), (7) = - ang(0,{x, y}) = + ang(0,{x,-y}) = ang(0,{-x, y}).

2 вариант Доказательство. Из (3а), (15) = - ang(0,{x, y}) = + ang(0,{x,-y}) = ang(0,{cos,sin}) + ang(0,{x,-y}) = = ang(0,{x cos + y sin,-y cos + xsin}) = ang(0,{-x, y}). Упражнение 13. Убедиться в правильности формулы двойного аргумента для = -.

1 Решение. Действительно 2(- ) = 2 ang(0,{,- }) = 3 2 1 3 1 3 = ang(0,{( )2 - ( )2,2 (- )}) = ang(0,{-1,- 3}) = - 2 2 2 2 Упражнение 14. Выразить через функцию ang(0,{x,y}) угол (750).

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Ответ. (750) = ang(0,{2 - 3,1) Указание. Воспользуйтесь (150) = ang(0,{1, 2 - 3}) и (15а).

Упражнение 15. Используя формулы n-кратных аргументов, доказать, что = 3.

2 Упражнение 16. Используя формулы n-кратных аргументов доказать, что = 4.

3 Упражнение 17. Доказать, что:

1) для любых справедливо 0 ang(0,{cos, sin }) ; (25) 2) два угла ang(0,{x, y}) и ang(0,{-x, y}) дополнительны до ; (26) 3) угол дополнения до 2 2 - ang(0,{cos,sin}) = ang(0,{cos,-sin}). (27) Упражнение 18. Свойство || векторов. Доказать, что если 1 = ang(0,{x1, y1}), 2 = ang(0,{x2, y2}) и x1y2 - x2 y1 = 0, то либо 1 = 2, либо 2 - 1 = ±. (28) Упражнение 19. Найти абсолютную величину разности углов между двумя векторами, причем из двух смежных углов, которые получаются при этом, взять наименьший угол.

Решение. Пусть 1 = ang(0,{x1, y1}), 2 = ang(0,{x2, y2}). Мы сначала ищем угол, не зависящий от порядка расположения прямых, и поэтому пользуемся (17).

Если x1x2 + y1y2 0, то = 1 -2 = ang(0,{x1x2 + y1y2, x2 y1 - x1y2 }) и мы нашли искомый угол. Иначе, если x1x2 + y1y2 < 0, то мы найдем смежный угол >. Для того, чтобы в этом случае вычислить искомый угол, необходимо '= - = ang(0,{x1x2 + y1y2, x2 y1 - x1y2 }) = + ang(0,{x1x2 + y1y2, - x2 y1 - x1y2 }) = = ang(0,{-(x1x2 + y1y2), x2 y1 - x1y2 }).

Окончательно min(1 -2)= ang(0,{ x1x2 + y1y2, x2 y1 - x1y2 }). (29) (Ср. [11, (2.3-5)]).

Очевидно, что ang(0,{kx, ky}) = ang(0,{ x, y}) при любом знаке k и если k 0. (30) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Формулу (29) нужно применять только в том случае, если из внешних условий известно, что исследуемый угол острый.

Упражнение 20. Доказать теорему (известную из школьного курса геометрии): вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см.рис.5).

(Мы предполагаем, что читатель понимает смысл глагола “ измеряется”.) Доказательство. Возьмем на окружности несовпадающие точки A, B, C. Пусть B будет вершиной угла, а на противоположной стороне окружности по отношению к B находится AC, на которую опирается ABC. Нам нужно доказать, что располагая B произвольно на ABC, :

1) вписанный B не изменяется;

2) он измеряется AC.

Для начала нормируем интервал (1,2) (см.1.2.1.3.2), чтобы всегда 1 < 2. Определим координаты точек A:r{cos1,sin1}, B:r{cos,sin}, C:r{cos2,sin2}. Имеем B = ang(B, A) - ang(B,C) = ang(0,{cos2 - cos,sin2 - sin}) - ang(0,{cos1 - cos,sin1 - sin}) = 2 + 2 - 2 - 2 + = ang(0,{-sin sin,sin cos }) 2 2 2 1 + 1 - 1 - 1 + - ang(0,{-sin sin,sin cos }) = 2 2 2 1 - 2 - 1 + 2 + 1 + 2 + = ang(0,sin sin {sin sin + cos cos, 2 2 2 2 2 1 + 2 + 2 + 1 + sin cos - sin cos } = 2 2 2 1 - 2 - 2 -1 2 -= ang(0,sin sin, sin. (*) cos 2 2 2 В последнем преобразовании использовано (16). Упростим (*). Поскольку B находится вне интервала (A, C) и, следовательно, (1,2), то < 1 или > 2.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.