WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |

Мы видим, что совпадение результатов не очень хорошее – ошибка идет уже в 6й значащей цифре. Это означает, что 12 узлов недостаточно, для вычисления площади полного эллипса, т.е. при -. Т.к. изменить количество узлов в программе дело достаточно хлопотное (после этого программу необходимо заново тщательно тестировать!), попробуем разбить наш интервал на две части и, пользуясь аддитивностью интеграла, представить его в виде суммы интегралов S = S + S. В этом случае S = 2454.3692565916, т.е. мы получили - - результат намного лучше – ошибка идет уже в 9-й значащей цифре.

Глава 8. Некоторые интегральные свойства 8.2.4. Площадь сектора, ограниченного дугой гиперболы dx Интеграл, где a = 1, b = e > 1, берем с помощью тех же a + b cos x x 2dt 1- t подстановок t = tg, x (-, ), x = 2arctgt, dx =, cos x =, как и в случае 2 1+ t2 1+ t эллипса.

dx 2dt dt = = 2 = a + b cos x 1- t2 a + at2 + b - bt(1+ t2)(a + b ) (1+ t2)( ) 1+ t2 1+ tdt = 2. (1) (a + b) - (b - a)tНо из-за того, что b > a, знаменатель в (1) записан в другом виде, чем в случае эллипса.

Интеграл (1) возьмем, следуя [25,стр.21,стр. 82]. Для краткости письма, dt 2dt заменим константы a + b = e2 и b - a = f. Тогда 2 =.

(a + b) - (b - a)t2 g2 - f tРазложим подинтегральное выражение на простые дроби 2 A B = +. Затем приведем правую часть к общему знаменателю и g2 - f t2 g - ft g + ft запишем уравнения для определения коэффициентов A, B A = B Af t1 - Bf = 0, f (A - B) = 0, A - B = 0, Ag + Aft + Bg - Bft = 2..

A = B = Ag + Bg = 2, g(A + B) = 2, 2Ag = 2, tg 2dt 1 dt 1 dt 1 dft 1 dft = + = - + = - ln g - ft 2 g2 - f t2 g g - ft e e + ft gf - g + ft gf g + ft gf x b + a + b - atg 1 1 g + ft + ln g + ft + + C = ln + C = ln + C. В ef gf g - ft b2 - a2 b + a - b - atg x [25,стр. 82] это выражение еще приводится и к другому виду x x b + a cos + b - a sin 2 ln = b2 - a2 b + a cos x - b - a sin x 2 Глава 8. Некоторые интегральные свойства x x x x ( b + a cos + b - a sin )( b + a cos + b - a sin ) 2 2 2 = ln = b2 - a2 ( b + a cos x - b - a sin x)( b + a cos x + b - a sin x) 2 2 2 x x ( b + a cos + b - a sin )2 = ln + C = b2 - a2 ( b + a cos x)2 - ( b - a sin x)2 x x x x (b + a)cos2 + 2 b2 - a2 sin cos + (b - a)sin2 2 2 = ln + C = x x b2 - a(b + a) cos2 - (b - a)sin2 x x x x b(cos2 + sin2 ) + a(cos2 - sin2 ) + b2 - a2 sin x 2 2 2 = ln + C = x x x x b2 - aa(cos2 + sin2 ) + b(cos2 - sin2 ) 2 2 2 1 b + a cos x + b2 - a2 sin x = ln + C. (2) a + b cos x b2 - aУчитывая, что a = 1, b = e, (8.2.-1), (8.2.2.-1) (2),соберем все компоненты в окончательную формулу площади сектора гиперболы p2 esin 1 e + cos + e2 -1sin x S = ( + ln )2. (3) (e2 -1)(1+ ecos) 1+ ecos x e2 -Предоставляем читателю доказать, что площадь гиперболы в системе Кеплера (углы временно не нормализуем) для p =1, 1 = -, 2 = - 2 e ln(2e2 -1+ 2e e2 -1) S = +. (4) e2 -2 e2 -П1. Формулы тригонометрии П1. Формулы тригонометрииП1.1. Формулы сложения и вычитания аргументов cos( ± ) = cos cos m sin sin, (1) sin( ± ) = sin cos ± sin cos, (2) tg ± tg tg( ± ) =. (3) 1m tgtg П1.2. Формулы приведения Функция Аргумент - + 2 - 3 - + - + 2 2 2 sin t cos cos sin - sin - cos - cos - sin cost sin - sin - cos - cos - sin sin cos tgt ctg - ctg - tg tg ctg - ctg - tg ctgt tg - tg - ctg ctg tg - tg - ctg Табл.П1.3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента cos2 + sin2 =1, (1) 1+ tg2 =, +n, n Z, (2) cos2 1+ ctg2 =, n, n Z, (3) sinsin tg =, (4) cos cos ctg =, (5) sin Гусев В.А. Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. Книга для учащихся.-2 –е изд.М.: Просвещение, 1990, - 416 стр. Стр.125-128.

П1. Формулы тригонометрии n tg ctg =1, n Z. (6) П1.4. Формулы двойного угла cos 2 = cos2 - sin2 = 2cos2 -1 =1- 2sin2, (1) sin 2 = 2sin cos, (2) 2tg tg2 = 1- tg. (3) П1.5. Формулы половинного угла cos = cos2 - sin2 = 2cos2 - -1 =1- sin2, (1) 2 2 sin = 2sin cos, (2) 2 2tg tg =. (3) 1- tgП1.6. Формулы понижения степени 1+ cos cos2 =, (1) 1- cos sin2 =. (2) П1.7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение + - cos + cos = 2cos cos, (1) 2 + - cos - cos = -2sin sin, (2) 2 + - sin + sin = 2sin cos, (3) 2 П1. Формулы тригонометрии - + sin - sin = 2sin cos, (4) 2 sin( ± ) tg + tg =. (5) cos cos П1.8. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму cos( - ) + cos( + ) cos cos =, (1) sin( - ) + sin( + ) sin cos =, (2) cos( - ) - cos( + ) sin sin =. (3) П2. Квадратурная формула Гаусса П2. Квадратурная формула Гаусса [9, стр. 277], [1, стр. 684 и стр. 710] // интегрируется любая функция на интервале [nA,nB], представимая в виде // cFun=y(x). Ее имя - cFun - передается в программу FUNCTION intrg(cFun,nA,nB) // вычисление интеграла методом Гаусса //******************** Объявление локальных переменных ************************** //****количество узлов n=12 взято из [1, стр. 710] ***** LOCAL aX:={0.125233408511469, 0.367831498998180, 0.587317954286617,;

0.769902674194305, 0.904117256370475, 0.981560634246719} LOCAL aW:={0.249147045813403, 0.233492536538355, 0.203167426723066,;

0.160078328543346, 0.106939325995318, 0.047175336386512} LOCAL i,j,nSum:=0,nBam,nBap,aSi:={-1,1} LOCAL nY //******************************************************************************************** SET DECIMALS TO 15 // установить число десятичных разрядов nBam:=(nB-nA)/2 // размер полуинтервала, на котором берется интеграл nBap:=(nB+nA)/2 // среднее число на интервале FOR i=1 TO LEN(aX) // цикл, зависящий от количества узлов FOR j=1 TO nY:=aSi[j]*nBam*aX[i]+nBap // расчет абсциссы функции nSum:=nSum+aW[i]*&cFun(nY) // суммирование ординаты функции, умножен- // ной на весовой коэффициент NEXT NEXT SET DECIMALS TO 10 // установить число десятичных разрядов RETURN nBam*nSum // возвращаемое значение П3.Некоторые свойства определителей П3. Некоторые свойства определителей 1°.Некоторые свойства определителей a11 a12... a1n a a22... a2n Определителем квадратной матрицы называется............

a an2... ann nчисло, равное алгебраической сумме всевозможных произведений по n элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах.

Как правило, с помощью данного определения определители не вычисляются (на практике для этого применяют приведенные ниже свойства). В силу этого, мы не даем относительно сложное правило по вычислению знака перед каждым слагаемым данной суммы [см. 14,§4].

Применяются несколько вариантов формы записи определителя:

a11 a12... a1n a11 a12... a1n a21 a22... a2n a21 a22... a2n det = = aik.

........................

an1 an2... ann an1 an2... ann Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании (т.е. при вращении относительно главной диагонали, когда строки и столбцы меняются местами). Таким образом, некоторое свойство, доказанное для строк, годится для столбцов и наоборот.

0 2 6 0 3 2 3 2 1 = = = 2 4 -13 = 5, 2 = 3 -1 7 = 2 -1 5.

1 4 3 4 5 10 6 7 Свойство 2. Если одна из строк (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель равен 0.

Свойство 3. При перестановке строк (столбцов) определитель меняет знак.

2 3 1 = = -.

1 4 2 Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца) равен 0.

П3.Некоторые свойства определителей 1 2 6 1 1 2 3 2 1 = = 0, 2 = = 0, 1 2 6 = 0, 3 3 7 = 0.

2 3 1 3 6 8 5 5 Свойство 5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен 1 2 = 3 3 7 = 0.

3 6 Свойство 6. Если все элементы i -й строки (i -го столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых aij = bij + cij, то определитель равен сумме двух определителей, причем в первом определителе суммы в i -й строке (i -м столбце) стоит первое слагаемое bij, а во втором определителе суммы в этом месте стоит cij 1+ 4 2 + 7 6 + 5 1 2 6 4 7 = 3 3 7 = 3 3 7 + 3 3 7.

6 5 9 6 5 9 6 5 Свойство 7. Если одна из строк (столбец) определителя есть линейная комбинация его других строк (столбцов), то определитель равен 3 + 6 3 + 5 7 + = 3 3 7 = 0.

6 5 Свойство 8. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на одно и то же число (положительное или отрицательное) 0 2 6 0 2 = 3 8 7 = 3 + 0 8 + 2 4 7 + 6 4.

7 5 10 7 5 Свойство 9. Алгебраическое дополнение каждого элемента aij получается вычислением определителя n -1 порядка со знаком (определение ниже), путем вычеркивания i строки и j столбца, на котором стоит элемент aij.

Знак алгебраического дополнения берут '+ ' (т.е. оставляют без изменения знак определителя n -1 порядка), если сумма чисел номер строки + П3.Некоторые свойства определителей номер столбца – четная. Иначе берут знак '- ' (сумма чисел номер строки + номер столбца – нечетная), т.е. умножают значение определителя n -1 порядка на -1.

Определитель можно разложить по элементам некоторой строки (столбца). Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения = ai1Ai1 + ai2 Ai2 +... + ain Ain.

Чтобы количество действий при вычислении определителя было минимальным, выбирают для разложения строку (столбец), в которых нули занимают большее, чем в других строках число мест 0 2 -1 7 3 7 3 - = 3 -1 7 = 0 - 2 + 6 = 0 - 2(30 - 28) + 6(15 + 4) = 112.

5 10 4 10 4 4 5 (В данном случае мы раскладываем определитель по элементам первой строки.

Знак '- ' перед числом 2 взят потому, что сумма чисел 1+2 – (строка + столбец) – нечетна.) Свойство 10. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц aij bij = cij, где cij = ai1bj1 + ai2bj2 +...ainbjn 2°.Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b a x1 + a22x2 +... + a2nxn = b. (1)...............................

an1x1 + an2x2 +... + annxn = bn a11 a12... a1n a21 a22... a2n Определителем системы называется число =. (2)............

an1 an2... ann П3.Некоторые свойства определителей Рассмотрим, также, n определителей, в которых, соответственно, i bbстолбец определителя при i =1, n заменен на столбец свободных членов...

bn b1 a12... a1n a11 b1... a1n a11 a12... bb2 a22... a2n a21 b2... a2n a21 a22... b1 =, 2 =, … n =....................................

bn an2... ann an1 bn... ann an1 an2... bn Правило Крамера. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными не равен нулю, то данная система обладает единственным решением 1 2 n x1 =, x2 =,....., xn =. (3) 4x1 + 5x2 - 3x3 = Пример 3x1 + 2x2 + 4x3 = 13.

0x +1x2 + 3x3 = 4 5 - 2 4 5 - Решение. = - 3 2 4 = 4 + 3 = 4 2 + 318 = 62, 1 3 1 0 1 5 5 - 2 4 5 - 3 5 - 1 = 13 2 4 = 5 -13 +11 = 5 2 -1318 +11 26 = 62, 1 3 1 3 2 11 1 4 5 - 13 4 5 - 2 = - 3 13 4 = 4 + 3 = 4 (-5) + 3 48 =124, 11 3 11 0 11 4 5 2 13 5 3 = - 3 2 13 = 4 + 3 = 4 9 + 350 = 186, 1 11 1 0 1 1 62 2 124 3 x1 = = =1, x2 = = = 2, x3 = = = 3.

62 62 Правило Крамера незаменимо при теоретических исследованиях системы линейных алгебраических уравнений. С другой стороны, при численном решении той же системы оно мало эффективно (большое число П3.Некоторые свойства определителей алгебраических операций) и значительно уступает, например, методу исключения (элиминации) Гаусса.

П4. Ф.Лагир (Philippe de La Hire) П4. Ф.Лагир (Philippe de La Hire)В данной работе мы скажем лишь несколько слов об этом великом человеке. Он родился в Париже 18 Марта 1640 г. Начинал Филипп как художник под руководством отца – профессора Академии живописи и скульптуры. Позже Филипп едет в Италию для совершенствования мастерства. Впоследствии это мастерство проявилось на качестве рисунков и чертежей, помещенных в его многочисленных публикациях. Отец Филиппа был дружен с известным геометром Ж.Дезаргом, основателем проективной геометрии. Это знакомство и природное желание изучать все глубоко, в частности законы перспективы, привели юношу в математику, которую он изучил самостоятельно.

В 1673 г. он публиковал свою первую работу по геометрии, основанную на проективных методах. В 1679 г. он издал свою вторую работу по геометрии. А в 1685 г. вышел в свет фундаментальный труд ученого о конических сечениях (копия титульного листа и несколько страниц из этого труда на латыни см. ниже.

Источники информации: Интернет, собственные исследования, А.Н.Боголюбов «Математики механики», библиографический справочник, КИЕВ, «НАУКОВА ДУМКА», 1963г., -640 стр., А.И.Бородин, А.С.Бугай «Выдающиеся математики», Биогр.слов.-справ. Киев, Рад.шк.,1987г..-стр.

П4. Ф.Лагир (Philippe de La Hire) Мы поместили эти страницы для того, чтобы читатель смог ознакомиться с образцами 1685 г. работ по геометрии.) Эта работа принесла ученому мировую известность и поставила его в первые ряды выдающихся математиков.

Достаточно сказать, что на этот труд неоднократно ссылался И.Ньютон [19] и известные математики следующих поколений. Эту работу обсуждали такие серьезные историки математики, как М.Кантор, Г.Вилейтнер, А.П.Юшкевич и др..

Ф.Лагир оригинально доказал более 300 (!) теорем Аполлония, т.е. почти все.

Кроме этого, он привел доказательства новых теорем (одна из них – “теорема о биссектрисе фокального угла” положена в основу данной работы).

Ф.Лагир один из первых понял невозможность построения “вечного двигателя” и в 1678 направил во французскую Академию Наук соответствующий мемуар.

В том же году ученого избрали в члены французской Академии Наук в секцию математики, а через 4 года он занимает в этой Академии еще один пост в секции архитектуры.

С 1683 г. он профессор математики Коллеж де Франс.

В 1693 г. он издал наследие Френикля де-Бюсси по теории чисел – магическим квадратам 42, которых де-Бюсси построил 880 штук.

Ф.Лагир изучал кривые – эпициклоиду, конхоиду, рулетты. В 1694 г. он выпустил «Мемуар об эпициклоидах», в котором выяснял возможность применения эпициклоид для зубьев зубчатых колес.

В 1708 г. он вычислил длину кардиоиды.

Ф.Лагир ввел термин “начало координат” и обозначил его буквой O, обобщил метод координат, рассматривал полюсы и поляры.

Количество выпущенных ученым работ по астрономии, математике, физике, геодезии впечатляет. В частности, для астрономии он изучал движение Солнца, Луны и планет. Им спроектировано несколько инструментов для Парижской Обсерватории. Много внимания Ф.Лагир уделял изготовлению карт территории Франции.

Умер Ф.Лагир в Париже 21 апреля 1718 г.

Его именем назван кратер на видимой стороне Луны.

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.