WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 35 | 36 || 38 | 39 |   ...   | 42 |

(e2 -1)2 e2 -1 e2 - Мы доказали теорему Аполлония: точка пересечения сопряженного диаметра и оси абсцисс всегда совпадает с точкой центра симметрии гиперболы.

CS Тангенс угла наклона диаметра сопряженной гиперболы kD =.

S (1- eS )SS (14) С помощью (10) найдем квадрат длины сопряженного диаметра 2 2 pS SS - 2 pSCS L2 = (x2 - x1)2 + ( y2 - y1)2 = B2 + A2 = + = DS 1 L2 LS (1- eS ) S 2 2 2 2 4 pS CS 2 4 p2(CS + (1- eS )2 SS ) = + SS =. (15) 2 2 2 2 LS (1- eS )2 (1- eS )2(CS + (1- eS )SS ) Построим, теперь, уравнение сопряженной касательной. Эта касательная проходит через одну из концевых точек диаметра и || основному диаметру. Как обычно в этой работе, для этого воспользуемся приведенным уравнением yS = kDxS + bS, где kD определяется (6.1.-5). Выберем, для определенности, 1-ю концевую точку сопряженного диаметра. Тогда pS (SS (eSCS + LS )) pS (-eSSS + CS LS ) pe pe x1 = +, y1 = -.

e2 -1 e2 -LS + eSCS LS LS + eSCS LS (1- e2)sin 2 2 Учитывая, что CS = (cos + e), SS = (e2 -1)sin, LS = CS + (1- eS )SS и kD = = cos - SS =, запишем уравнение для определения b CS pS (-eSSS + CS LS ) pS (SS (eSCS + LS )) pe - SS pe - = + + b. Сокращаем e2 -1 CS e2 -LS + eSCS LS LS + eSCS LS на одинаковые слагаемые в левой и правой частях, получим Глава 6. Диаметр 2 2 pS (CS + SS ) LS pe SS pS (CS + SS ) pe SS - CS -1, b = b = + +.

eCS (LS + eSCS LS ) -1 CS eCS ( LS + eSCS ) -1 CS Приведенное уравнение сопряженной касательной гиперболы 2 - SS pS (CS + SS ) pe SS -1.

y = x + + (16) CS eCS ( LS + eSCS ) -1 CS Уравнение общего вида сопряженной касательной гиперболы 2 pS (CS + SS ) pe SS x + CS y - - (SS - CS ) = 0. (17) e( LS + eSCS ) -Получим уравнение общего вида сопряженной касательной гиперболы в переменных обычной гиперболы p((cos + e)2 + (e2 -1)2 sin2 ) (e2 -1)sin x + (cos + e)y - - e (e2 -1)2 ( (cos + e)2 - sin2 + (cos + e)) e2 -pe - ((e2 -1)sin - (cos + e))= e2 -bУпражнение 1. Доказать [18,§245,(2)], что kDkD = (e2 -1) =, S aгде a,b - полуоси гиперболы. Упражнение 2. Доказать, что три прямых: асимптота, касательная и сопряженная касательная гиперболы (касательная сопряженной гиперболы) пересекаются в одной точке (см. рис.1).

Упражнение 3. Докажите что площадь параллелограмма ABCD (см.рис.1), описанного около гиперболы, равна 4ab (теорема Аполлония).

Упражнение 4. Построить параллелограмм из касательных (см. рис.1).

Решение. Строим первую касательную в выбранной точке 1-й ветви гиперболы, находим вторую касательную, параллельную первой (модель диаметра 2). Далее находим точки пересечения этих касательных с асимптотами.

Точки пересечения последовательно соединяем.

Упражнение 5. Доказать (см.рис.2), что:

2 pe а) P1P3 = FF2 = ;

e2 -б) прямоугольники P1P2P3P4 и FP1F2P3 равны;

в) = ang(0,{e -1, e2 -1}).

Глава 6. Диаметр 6.7. Свойство биссектрисы фокального угла сопряженного диаметра эллипса и гиперболы Теорема 1. Биссектриса фокального угла, опирающегося на сопряженный диаметр, || основному диаметру.

Глава 6. Диаметр Доказательство. Касательные сопряженного диаметра по определению || основному диаметру. Этим касательным, из (3.2.6.) || биссектриса сопряженного диаметра. (Напомним, что свойство параллельности транзитивно.) Теорема 2. Биссектриса фокального угла, в котором основанием является основной диаметр, || сопряженному диаметру.

Основной диаметр сопряжен сопряженному диаметру (6.6. теорема 1). Из этой теоремы и следует наше утверждение.

6.8. 5-я модель построения основного диаметра - диаметр, проходящий через точку основания медианы полярного треугольника Соединив две различные точки на основном диаметре или его продолжении, мы получим отрезок прямой, сопряженный сопряженному диаметру.

Например, с этой целью мы можем соединить две концевые точки диаметра, полюс и центр симметрии, точку основания медианы полярного треугольника и центр симметрии и т.д. При этом полученный отрезок будет || касательным сопряженного диаметра.

(Точку центра симметрии удобно брать второй из точек, т.к. она для всех диаметров находится на одном и том же месте.) Будем искать уравнение диаметра сначала в общем виде Ax + By + C = 0, где A = y2 - y1, B = x1 - x2, C = x2 y1 - x1y2. (1) Затем нормализуем уравнение диаметра в смысле Гессе Ax + By + C = 0, где s = ±1 и имеет знак, противоположный знаку C. (2) s A2 + BКонечные точки диаметра можно найти, например, решив численно Ax + By + C задачу пересечения коники и прямой = 0 (см.3.3.1.).

s A2 + BA Тангенс угла наклона диаметра kD = -. (3) B Найдем направляющие нормального вектора диаметра - A B cos = ; sin =, s A2 + B2 s A2 + Bs = +1, C где (6) s = -1, C > 0.

Глава 6. Диаметр Отсюда получим угол наклона диаметра к оси абсцисс = + = ang(0,{-sA, sB}) + = ang(0,{-sB,-sA}). (7) 2 Т.к. касательные сопряженного диаметра || основному диаметру, то построенный нами основной диаметр может служить сопряженной прямой для сопряженного диаметра. Т.е., чтобы построить сопряженный диаметр по основному диаметру, необходимо решить задачу построения основного диаметра (см.3.2.6.).

Приведем важную теорему.

Теорема 1. Свойство медианы полярного треугольника. Медиана полярного треугольника пересекает дугу коники в точке, наиболее удаленной от хорды.

Доказательство. Рассмотрим полярный треугольник T1T2P. Из свойства модели диаметра 5, медиана PM является частью диаметра. В точке пересечения диаметра и кривой, касательная K || сопряженной хорде T1T2. Следовательно, в силу малой теоремы Ферма [24,стр.223] следует, что K является точкой дуги, наиболее удаленной от хорды (точкой максимума)). Найдем отклонение dMAX, которое называется высотой сегмента. Для этого подставим в нормальное уравнение хорды (5.6.1.-3) (cos0h + ecosh )x + (sin0h ) y - p cosh = 0 координаты конечных точек диаметра s (cos0h + ecosh)2 + sin20h (модель 3) (6.3.1.-7) D1,2{x, y} = p = (cos0h + e cos h )2 + (1- e2)sin2 0h ± e(cos0h + e cos h ) (cos0h + e cos h )2 + (1- e2)sin2 0h {-esin20h ± (cos0h + ecosh) (cos0h + ecosh)2 + (1- e2)sin2 0h, sin0h (e(cos0h + e cosh ) ± (cos0h + e cosh )2 + (1- e2)sin2 0h )}.

Глава 6. Диаметр В связи с тем, что при подстановке получаются достаточно громоздкие выражения, введем следующие обозначения p K = (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)sin2 0h ± e(cos0h + ecosh) (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)sin2 0h, X = -esin20h ± (cos0h + ecosh ) (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)sin2 0h ;

Y = sin0h (e(cos0h + ecosh ) ± (cos0h + ecos h )2 + (1- e2)sin2 0h ).

(cos0h + ecosh )KX + (sin0h)KY - p cosh Тогда dMAX =. (8) (cos0h + ecosh )2 + sin20h (В переменных C, S имеем p K =, X = -eS2 ± C C2 + (1- e2)S, 2 C2 + (1- e2)S ± eC C2 + (1- e2)S K C X - K S Y - p cosh Y = S(-eC ± C2 + (1- e2)S ), dMAX =. (8а)) C2 + S Мы видим, что (8)/(8а) дают нам 2 решения, поскольку в данных формулах подставлены координаты от 2-х конечных точек диаметра. Получив 2 ответа, можно их сравнить и выбрать (в соответствии с конкретной постановкой задачи), например, наименьшее из 2-х dMAX.

Упражнение 1. Пусть в параболе хорда соединяет следующие точки, заданные полярными углами 1 = 0 ;2 =. Найти высоту сегмента, опирающегося на эту хорду.

Теорема 2. Пусть середины двух хорд, не проходящих через центр симметрии, соединены отрезком прямой, проходящем через центр симметрии (либо продолжение этого отрезка проходит через центр симметрии). Тогда эти хорды || друг другу.

Доказательство предоставляем читателю.

Упражнение 2. Доказать теорему Аполлония: если диаметр делит пополам хорду, то касательные в концевых точках диаметра || этой хорде II5, II6 [21, стр.57].

Глава 6. Диаметр 6.9. Вписанный параллелограмм. Теоремы сохранения Аполлония 6.9.1. Вспомогательные утверждения Напомним читателю некоторые утверждения элементарной геометрии.

(Буквой S здесь мы будем обозначать площадь фигур.) Пусть ABCD - параллелограмм. Тогда 1) В точке пересечения диагоналей O диагонали делятся пополам: OC = OA, OB = OD ;

2) SOBC = SOAB = OC OB sin,т.к.sin = sin( -) ;

3) SABCD = 4SOBC sin = AC BD sin - площадь параллелограмма равна произведению диагоналей на синус угла между ними, причем угол между диагоналями можно брать и смежный;

2 2 2 2 2 4) AC + BD = AB + BC + CD + DA - сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма.

Упражнение 1. Докажите 4).

Рекомендация. Используйте теорему косинусов, 1) и cos( -) = -cos.

6.9.2. Квадраты основного и сопряженного диаметров Теорема. Сумма квадратов основного и сопряженного диаметров есть величина постоянная и равна сумме квадратов осей (Аполлоний VII12 [21, стр.71], [18,§251].) Нужно доказать (см. рис.1), что D1D2 + DS DS = const = 4(a2 + b2). (оси a, b - 1 на рис. 1 не показаны).

Будем работать в общем виде для всех моделей диаметра (т.е. в переменных C, S ). Из (6.1.-2а), (6.6.1.-22), (3.5.1.-11) получаем Глава 6. Диаметр 2 4 p2(C2 + (1- e2)2 S ) 4 p2(C2 + S ) L2 + L2 = + D DS 2 (1- e2)2(C2 + (1- e2)S ) (1- e2)(C2 + (1- e2)S ) 2 4 p2 C2 + (1- e2)2 S (1- e2)C2 + (1- e2)S = + = 2 (1- e2)2 C2 + (1- e2)S C2 + (1- e2)S 2 4 p2 (2 - e2)C2 + (2 - 3e2 + e4)S 4 p2(2 - e2) C2 + (1- e2)S 4 p2(2 - e2) = = =. (1) 2 (1- e2)2 C2 + (1- e2)S (1- e2)2 C2 + (1- e2)S (1- e2) Сумма квадратов полуосей дает, естественно, результат в 4 раза меньше (см. 3.5.1.-11), чем сумма квадратов осей.

Упражнение 1. Доказать, что сумма квадратов сторон вписанного параллелограмма в эллипс, построенного на двух сопряженных диаметрах, 4 p2(2 - e2) равна.

(1- e2)(2) Упражнение 2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей описанного параллелограмма в эллипс, построенного на двух сопряженных диаметрах, 8 p2(2 - e2) равна = 8(a2 + b2). (3) (1- e2)Упражнение 3. Найти отношение квадратов длин основного и сопряженного диаметра. Проверить выведенную формулу для отношения квадратов большой и малой оси эллипса.

L2 (C2 + (1- e2)2 S ) D Ответ. =. (4) L2 (1- e2)(C2 + S ) DS a2 Для большой оси эллипса S = 0, C =1. Отсюда =.

b2 1- eГлава 6. Диаметр 6.9.3. Площадь вписанного на диаметрах параллелограмма Теорема. Площадь вписанного параллелограмма, построенного на двух сопряженных диаметрах, есть величина постоянная и равна площади прямоугольника, построенного на осях (см. рис.1) (Аполлоний VII31[21, стр. 72], [18,§251]).

Из (3.5.1.-2), (3.5.1.-8) найдем площадь прямоугольника, построенного на 2 p 2 p 4 pосях 2a 2b = =. (1) (1- e2) (1- e2) (1- e2)Будем вычислять площадь вписанного параллелограмма SABCD = LDLS sin(0 -0 S ). (2) Для этого сначала вычислим произведение длины основного диаметра на сопряженный. Из (6.2.-2а), (6.6.1.-22) Глава 6. Диаметр 2 4 p2(C2 + (1- e2)2 S ) 4 p2(C2 + S ) LD LD = = 2 S (1- e2)2(C2 + (1- e2)S )2 (1- e2)(C2 + (1- e2)S ) 2 4 p2 (C2 + (1- e2)2 S )(C2 + S ) =. (3) 3 (C2 + (1- e2)S )(1- e2)Синус угла между основным и сопряженным диаметром можно найти двумя способами.

1 способ В силу || биссектрис фокальных углов соответствующим диаметрам, разность между направлением биссектрис равна углу между диаметрами. Найдем, применяя (3.2.6.-2), эту разность углов C CS C = 0 -0S = ang(0,{-1, }) - ang(0,{-1, }) = ang(0,{-1, }) - S SS S - (1- e2)S C (1- e2)S - ang(0,{-1, }) = ang(0,{1- (1- e2),- - }) = C S C - C2 - (1- e2)S = ang(0,{e2, }). (4) CS Т.к. нам нужно абсолютное значение разности углов, то - C2 - (1- e2)S = ang(0,{e2, }) = ang(0,{e2 CS, C2 + (1- e2)S }). (5) CS Глава 6. Диаметр C2 + (1- e2)S sin( ) =. (6) 2 e4C2S + (C2 + (1- e2)S )2 способ Мы уже находили минимальный угол между основным и сопряженным диаметрами в (6.6.1.-19).

sin( ) находится, как и в способе 1-м. Преобразуем подкоренное выражение знаменателя (6):

2 2 2 e4C2S + (C2 + (1- e2)S )2 = (C2 + (1- e2)2 S )(C2 + S ). Сокращаем общие сомножители в (3), (6) и получим инвариант 4 pSABCD = LDLD sin =. (7) S (1- e)Упражнение 1. Доказать, что площадь описанного вокруг эллипса 8 pпараллелограмма (см.рис.2) SPQRS =. (8) (1- e)Упражнение 2. Пусть D1D2 - основной диаметр, а DS1DS 2 - сопряженный (см.рис.3). Доказать, что площадь описанного вокруг эллипса параллелограмма равна 2a 2b = 2DS1DS 2 D1Q = 2D1D2 DS1QS. (9) [ср.19, стр.327, (11)].

Упражнение 3. Найти длины сторон вписанного параллелограмма, построенного на двух сопряженных диаметрах эллипса.

Глава 6. Диаметр Решение. Воспользуемся теоремой косинусов, (5) и (6.9.2.-1). Обозначим квадрат одной стороны параллелограмма - L1, а другой - L2. Напомним, что 1 = -2 (как смежные углы). С другой стороны, нас и в этом случае интересует абсолютное значение угла (в данном случае неважно, какая сторона угла считается первой, а какая второй). Т.к. cos( ±) = -cos, то e2CS cos1,2 = ±. Кроме того, в применяемых формулах 2 (C2 + (1- e2)2 S )(C2 + S ) необходимо брать половинки диаметров, а не целые. Тогда L2 + L2 2LD LD cos 1,2 p2(2 - e2) D DS S L1,2 = - = m 4 4 (1- e2)2 2 p2 (C2 + (1- e2)2 S )(C2 + S ) e2CS p2(2 - e2) m = m 3 2 (C2 + (1- e2)S )2 (1- e2)(C2 + (1- e2)2 S )(C2 + S ) (1- e2)2 p2 e2CS m. (10) 3 C2 + (1- e2)S (1- e2)Проверим (10) для осей эллипса. В силу (6.6.1.-20) e2CS = 0, т.к. оси взаимно. Отсюда L1 = L2. Следовательно, квадрат расстояния между верхней точкой малой оси и точкой перигея (постройте чертеж!) по теореме Пифагора - pe p p 1- e2 p2(2 - e2) L2 = + =.

- 1- e2 (1- e2)1- e2 1+ e Используя (10), мы можем еще раз доказать теорему Аполлония о сумме квадратов сторон вписанного параллелограмма (см. 6.9.2.-1). Т.к. 2-е слагаемое из (10) входит в сумму с разными знаками, то в итоге оно сокращается. Поэтому 4 p2(2 - e2) =.

Li (1- e2)i=6.9.4. Произведение частей диаметра. Теорема Аполлония Теорема. Пусть основной диаметр делится сопряженной хордой в некоторой точке M на две части. Тогда отношение произведения длин этих отрезков диаметра к квадрату половины длины сопряженной хорды равно отношению квадратов длин основного и сопряженного диаметров Глава 6. Диаметр LD M LD M L1 2 D =. (1) Lh 2 L DS Доказательство. Данная теорема является следствием теоремы Л.Эйлера о произведении частей секущих.

Первая пара секущих (см.рис.1) – основной диаметр и сопряженная к нему хорда, пересекающиеся в произвольной точке на основном диаметре. Вторая пара секущих – тот же основной диаметр и сопряженный диаметр, пересекающиеся в центре симметрии коники. Основной диаметр || сам себе (свойство рефлексивности параллельности), сопряженная хорда || сопряженному диаметру (свойство транзитивности параллельности). Условие теоремы Л.Эйлера выполнено.

Pages:     | 1 |   ...   | 35 | 36 || 38 | 39 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.