WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 || 37 | 38 |   ...   | 42 |

e2 -1 e2 -Угол между главной осью кривой и осью абсцисс - находится из соображений симметрии. Ось симметрии сопряженной гиперболы, расположенная внутри смежного угла асимптот, перпендикулярна горизонтальной оси основной гиперболы. Кроме того, очевидно, что вертикальная ось симметрии сопряженной гиперболы проходит через Глава 6. Диаметр центр симметрии гиперболы, т.е. через вершину угла, образованного асимптотами. Таким образом, =. (Заметим, что оси симметрии у основной и сопряженной гипербол меняются их назначением.) Нам остается найти еще координаты фокуса (или координаты 2-х фокусов), а также величину фокального параметра pS.

В силу симметрии, координаты фокуса сопряженной гиперболы должны лежать на вертикальной оси симметрии сопряженной гиперболы, которая играет ту же роль, что и горизонтальная ось симметрии для основной гиперболы. А чтобы асимптоты основной гиперболы служили бы асимптотами и сопряженной гиперболе, то расположим фокус сопряженной гиперболы на таком же расстоянии от общего центра симметрии, как и фокус основной pe pSeS гиперболы, или =. (6) e2 -1 eS - Обосновывая это решение, заметим, что положение фокуса основной гиперболы не зависит от величины фокального параметра или от эксцентриситета – эти параметры независимо входят в полярное уравнение Лаланда-Лапласа.

С другой стороны, для равнобочной гиперболы чертеж должен быть симметричен как для основной гиперболы, так и для сопряженной. В силу того, что положение фокусов сопряженной гиперболы не должно зависеть от своих величин фокального параметра и эксцентриситета (как это происходит у основной гиперболы - эти гиперболы “равноправны”), и, учитывая требования вертикальной симметрии, установим фокусы сопряженной гиперболы от центра симметрии на том же расстоянии, что и фокусы основной гиперболы.

p Упражнение 1. Из (5) и (6) доказать, что pS =. (7) (e2 -1)6.6.2.2. Классический подход к построению сопряженной гиперболы Приведем определение из [16,§116]: ”Две гиперболы, заданные x2 y2 x2 yуравнениями - =1 и - = -1 (1) a2 b2 a2 bГлава 6. Диаметр в одной и той же декартовой прямоугольной системе координат с одними и теми же значениями полуосей a и b, называются сопряженными.” В [18,§198] показывается, что сопряженная гипербола получается из исходной гиперболы:

1) при обмене в (1) осей абсцисс и ординат;

2) при обмене полуосей a и b.

Далее мы будем ставить нижний индекс возле сопряженных параметров.

s Таким образом, по определению as = b и bs = a.

В полярных координатах, в которых мы изучаем гиперболу, мы имеем не два изменения, а три:

1*) изменение параметров полярного уравнения:

pS = pS ( p,e), eS = eS ( p,e) ;

2*) нахождение координат сопряженного фокуса, из которого будет происходить построение сопряженной гиперболы;

3*) поворот фокальной оси гиперболы на угол 0 = относительно центра координат.

Найдем 1*). Сначала, используя (3.7.4.–17), сделаем обмен местами a и b a2 a2 + b pS =, eS =, а затем подставим значения a и b из (3.7.3.-2а), (3.7.4.-14) b b p2 p+ (e2 -1)2 (e2 -1) p2 e2 -1 p e2 -1 1+ e2 -1 e pS = =, eS = = =. (2) p (e2 -1)2 p e2 -e2 -(e2 -1)e2 -e Т.к. e > e2 -1, то eS = > 1. (3) e2 -Это означает, что сопряженная гипербола не выходит из семейства гипербол.

Условие e0 = 2 (признак равносторонней гиперболы) является признаком и для сопряженной гиперболы: если 1< e < e0, то eS > e, иначе eS e (докажите!) Найдем 2*). В силу изменения ролей между a и b, расстояния между вершинами в сопряженной гиперболе будет не 2a, а 2b = 2aS. Центр симметрии гиперболы O остается центром симметрии и для сопряженной Глава 6. Диаметр гиперболы (см. упражнение 3 и (рис.1)), поэтому координаты сопряженных фокусов следующие pe - pe pe FS :{ae,- aSeS} = {, } = {1,-1}, (4) e2 -1 e2 -1 e2 -pe pe pe F2S :{ae,aSeS} = {, } = {1,1}. (5) e2 -1 e2 -1 e2 -Приведем полярное уравнение сопряженной гиперболы в переменных основной гиперболы ps p p rS = = =. (6) e (e2 -1)( e2 -1 + esin) 1+ eS cos( - ) (e2 -1)2 (1+ sin) (e2 -1)Упражнение 1. Докажите, что aSbS = ab. (7) ps pe Упражнение 2. Докажите, что aS + fS = aS + =. (8) 1+ eS e2 -pe pses Упражнение 3. Докажите, что {,0} = {,0}. (9) e2 -1 es -Упражнение 4. Докажите, что:

1) последовательно соединяя фокусы основной и сопряженной гипербол (например, обходя их против часовой стрелки), мы получим квадрат (постройте чертеж и вычислите сторону полученного квадрата);

2) через все фокусы основной и сопряженной гипербол можно провести окружность. Найти ее радиус (см. рис.2).

Глава 6. Диаметр Упражнение 5. Найти тангенс угла наклона касательной сопряженной гиперболы.

Решение. Мы воспользуемся тем, что фокальная ось сопряженной гиперболы составляет угол = с осью абсцисс. Из (2.7.-1) мы знаем, что cosS + ecos cosS e2 -1cosS kS = - = - = -. (10) sinS + eS sin sinS + eS e2 -1sinS + e = Упражнение 6. Найти уравнение в нормальном виде касательной сопряженной гиперболы. (В данном случае мы не связываем направления касательной сопряженной гиперболы и основного диаметра – это сделано в следующем разделе.) Решение. Запишем уравнение сопряженной касательной в приведенной форме y = kS x + bS. Подставив в это уравнение T :{x, y}- координаты точки касания, тангенс угла наклона kS (10), мы сможем найти свободный член - bS.

p bS = (e2 -1)( e2 -1 + esin) e2 -1cos sin - e e2 -1 - esin + (cos + e e2 -1 + esin). Отсюда e2 -1sin + e e2 -1cos p y = kS x + bS = - x + e2 -1sin + e (e2 -1)( e2 -1 + esin)( e2 -1sin + e) (( e2 -1sin + e)(sin - e e2 -1 - esin) + ( e2 -1cos)(cos + e e2 -1 + esin)).

Запишем уравнение сопряженной касательной в общем виде p ( e2 -1cos)x + ( e2 -1sin + e)y - (e2 -1)( e2 -1 + esin) (( e2 -1sin + e)(sin - e e2 -1 - esin) + ( e2 -1cos)(cos + e e2 -1 + esin))= 0.(11) Вычислим коэффициент нормирования A2 + B2 = (e2 -1) cos2 + (e2 -1)sin2 - 2e e2 -1sin + e2 = (e - e2 -1)2 = = e - e2 -1. Заметим, что для гиперболы всегда e - e2 -1 > 0.

Нормальное уравнение сопряженной касательной гиперболы Глава 6. Диаметр ( e2 -1cos)x ( e2 -1sin + e)y p + - (e - e2 -1) (e - e2 -1) (e - e2 -1)(e2 -1)( e2 -1 + esin) (( e2 -1sin + e)(sin - e e2 -1 - esin) + ( e2 -1cos)(cos + e e2 -1 + esin))= 0.

Упражнение 7. Найти точки пересечения касательной сопряженной гиперболы и осей координат.

Упражнение 8. Найти интервалы монотонности сопряженной гиперболы.

Решение.

1 способ Запишем полярный угол разрыва ветвей сопряженной гиперболы по аналогии с основной гиперболой (3.7.2.-2) e2 - e2 + S = ang(0,{-1, eS -1}) = ang(0,{-1, }) = ang(0,{- e2 -1,1}). (12) e2 - (В данном случае термин полярный угол разрыва рассматривается как критерий, который привязан к фокальной оси и, таким образом, не зависит от ориентации гиперболы).

Теперь учтем ориентацию сопряженной гиперболы – т.е. симметрию расположения углов разрыва S относительно поворота фокальной оси на угол. Для нижней ветви сопряженной гиперболы имеем следующие углы разрыва 1S = - ang(0,{- e2 -1,1}) = ang(0,{1,- e2 -1}) 2S = ang(0,{- e2 -1,1}) + = ang(0,{1, e2 -1}) +. (13) 2 способ Найдем углы, при которых знаменатель (10) равен нулю. Для этого решим e2 -уравнение e2 -1 + esin = 0. Преобразуем sin = -. Применяя (1.2.5.1.-2), e e2 -1 e2 -получим 1S,2S = ang(0,{± 1-,- }) = ang(0,{±1,- e2 -1}). Как мы видим, e2 e оба способа приводят к одинаковому результату.

3 Приведем примеры при e = 2 имеем = (1350), S = (1350), при e = 2 - 4 = (1200), S = (600).

3 Глава 6. Диаметр Как и для основных ветвей гиперболы, введем малое положительное число, чтобы обойти точку разрыва. Тогда интервалы монотонности для нижней ветви (14) ( + ang(0,{1,- e2 -1}),- + ang(0,{1, e2 -1}) + ).

Аналогично, интервалы монотонности для верхней ветви сопряженной гиперболы ( + ang(0,{1, e2 -1}) +,- + ang(0,{1,- e2 -1}) + 2 ). (15) Упражнение 9. Доказать, что углы между асимптотами равны либо 2, если асимптоты охватывают одну из основных ветвей гиперболы, либо равны 2S, если асимптоты охватывают одну из сопряженных ветвей гиперболы. В каком случае угол меньше и почему Доказать, что у равнобочной гиперболы асимптоты взаимно.

Докажем еще раз последнее утверждение. При e = 2 имеем 3 2 = (2700), 2S = (2700) (см. упражнение 8).

2 Упражнение 10. Доказать, что сумма углов разрыва основной и сопряженной гиперболы кратна.

Доказательство. Геометрически этот факт очевиден, т.к. сумма пар основного и сопряженного углов равна развернутому углу (см. предыдущее упражнение), а мы имеем дело с биссектрисой развернутого угла. Проверим это утверждение аналитически для биссектрисы. Учитывая (3.7.2.-2) и (12), имеем + S = ang(0,{-1, e2 -1}) + ang(0,{- e2 -1,1}) = ang(0,{0,2 e2 -1}) =. (16) Упражнение 11. Доказать, что одна и та же прямая является асимптотой для обычной и сопряженной гиперболы.

Упражнение 12. Для гиперболы и для сопряженной гиперболы по координатам двух фокусов найти уравнения двух директрис и построить их (ср.3.5.2.) 6.6.2.3. Сопряженный диаметр гиперболы Прежде чем получить формулы для сопряженного диаметра гиперболы в общем виде, решим частную задачу построения этого диаметра во 2-й модели.

Глава 6. Диаметр Пусть исходный полярный угол 1-й касательной 1 = (300). Мы хотим найти полярные углы 1S,2S, которые откладываются из 1-го сопряженного фокуса FS гиперболы (см. рис.1). Используя эти углы и применяя полярное уравнение, мы получим искомые точки сопряженного диаметра.

Используя определение сопряженного диаметра (оно универсально и годится как для эллипса, так и для гиперболы), приравняем тангенс угла наклона касательной сопряженной гиперболы (6.6.2.2.-10) и тангенс угла наклона основного диаметра (6.2.-24) (мы сделаем, для примера, вывод формул во 2-й модели диаметра) cosS (1- e2)sin =. (1) - sinS - eS cos + e Решаем (1) относительно неизвестного угла S cosS (cos + e) = - (1- e2)sinS sin - (1- e2)sin eS, cosS (cos + e) sinS (cos + e) - =1, S =, S = -. (2) (e2 -1)eS sin eS (e2 -1)eS sin eS e (cos + e) e2 -1 e2 -Т.к. (6.6.2.2.-3) eS =, то S =, S = -. (3) (e2 -1)esin e e2 -Глава 6. Диаметр Искомый угол(углы) находим из (1.2.5.4.-6) 2 2 2 (4) S1,S 2 = ang (0,{ m + - 1, ± + - 1}).

S S S S S S S S (Мы, таким образом, подобрали последовательность знаков “ m, ± ”. Этот выбор знаков влияет на последовательность углов S1,2, что, вообще говоря, весьма условно.) 2 S m S S + S -x cosS1,S 2 = =, (4) 2 S + S x2 + y2 S1,S 2 S ±S S + S -y sinS1,S 2 = =. (5) 2 S + S x2 + y2 S1,S Сведем, далее, данную задачу к переменным CS = (cos + e); SS = (e2 -1)sin (выбор обозначений, естественно, произволен. Мы ввели такие обозначения, чтобы результаты работы были максимально похожи на аналогичные результаты в других разделах этой работы. С другой стороны, полной идентичности формул добиться нельзя. Это связано с поворотом системы координат на 900 ). Таким CS образом, следует S =, S =. Подставим значения переменных S, S в eSSS - eS (4) и (5). Имеем 2 CS 1 CS ± + -2 2 eSSS eS eSSS eS eSCSSS ± SS CS + (1- eS )SS cosS1,S 2 = = = 2 2 2 CS + SS CS + eSSS eS 2 2 SS (eSCS ± CS + (1- eS )SS ) =, (6) 2 CS + SS 2 1 CS CS ± + -2 2 2 - eS eSSS eSSS eS - eS SS ± CS CS + (1- eS )SS sinS1,S 2 = =. (7) 2 2 2 CS + SS CS + eSSS eS Декартовы координаты концевых точек сопряженного диаметра гиперболы pS{cosS1,S 2,sinS1,S 2} pS{cosS1,S 2,sinS1,S 2} pe DS1,S 2 = + r0 = `+ {1,-1} = 1+ eS cos(S1,S 2 -) 1+ eS sinS1,S 2 e2 -Глава 6. Диаметр 2 2 2 2 2 2 pS{SS (eSCS ± CS + (1- eS )SS ), - eSSS ± CS CS + (1- eS )SS } pe = + {1,-1}. (8) 2 2 2 2 2 e2 -CS + (1- eS )SS ± eSCS CS + (1- eS )SS 2 2 Введем, также, следующее сокращение LS = CS + (1- eS )SS (в (8) оно встречается 4 раза).

Запишем декартовы координаты концевых точек сопряженного диаметра гиперболы в компонентах pS (SS (eSCS + LS )) pS (SS (eSCS - LS )) pe pe x1 = +, x2 = +, e2 -1 e2 -LS + eSCS LS LS - eSCS LS 2 pS (-eSSS + CS LS ) pS (-eSSS - CS LS ) pe pe y1 = -, y2 = -. (9) e2 -1 e2 -LS + eSCS LS LS - eSCS LS Найдем координаты концевых точек сопряженного диаметра гиперболы при полярных углах 0,,,.

2 Декартовые координаты концевых точек удовлетворяют векторному уравнению p pe DS : = {0,1}+ {1,-1}, =e2 -(e2 -1)( e2 -1 + e) p pe DS : = {0,-1}+ {1,1}, = e2 -(e2 -1)( e2 -1 + e) p DS : = {e e2 -1 - e, 1- e e2 -1 - e} = {r0x, r0 y + fS}, (e= -1)( e2 -1 + e) p DS : = {e e2 -1 + e,-1 - e e2 -1 + e} = {pS + r0x, - r0 y - fS}, (e=3 -1)( e2 -1 - e) Выведем уравнение сопряженного диаметра гиперболы. Поступим, для этого, аналогично, (3.2.8), т.е. будем искать уравнение прямой сначала в общем виде Ax + By + C = 0, где A = y2 - y1, B = x1 - x2, C = x2 y1 - x1y2.

2 pS (-eSSS - CS LS ) pS (-eSSS + CS LS ) pS A = y2 - y1 = - = 2 L2 - eSCS LS LS - eSCS LS LS + eSCS LS S Глава 6. Диаметр 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 (-eSSS LS - eSSSCS L2 - CS L2 - eSCS LS + eSSS LS - eS SSCS L2 - CS L2 + eSCS LS ) = S S 1 2 pS 2 - 2 pSCS L2 (CS + SS ) - 2 pSCS 2 2 S = (-2eSSSCS L2 - 2CS LS ) = =, S 2 2 2 2 2 L2 - eSCS LS LS (1- eS )(CS + SS ) S LS (1- eS ) pS (SS (eSCS + LS )) pS (SS (eSCS - LS )) pSSS B = x1 - x2 = - = 2 L2 - eSCS LS LS + eSCS LS LS - eSCS LS S 1 3 1 pSSS 2 2 2 (eSCS LS - eSCS L2 + L2 - eSCS LS - eSCS LS - eSCS L2 + L2 + eSCS LS ) = S S S S 2 2 LS (1- eS )(CS + SS ) 1 2 2 2 pSSS L2 (1- eS )(CS + SS ) 2 pS SS 2 S (-2 eSCS L2 + 2L2 ) = =. (10) S S 2 2 2 LS (1- eS )(CS + SS ) LS Прежде, чем вычислить значение свободного члена C, используем тот pe факт, что по абсолютной величине слагаемое у координат x1, x2, y1, y2 одно и e2 -pe то же. Введем обозначение =.

e2 - Отсюда C = x2 y1 - x1y2 = (x +)(y1 -) - (x +)(y2 -) = x y1 -x2 + a y1 - - 2 1 - x y2 +x2 - a y1 + = x y1 - x y2 + ((x1 - x ) - ( y2 - y1)) = C +(B - A). (11) 1 2 1 pS (SS (eSCS - LS )) pS (-eSSS + CS LS ) pS (SS (eSCS + LS )) C = x2 y1 - x1y2 = LS - eSCS LS LS + eSCS LS LS + eSCS LS 2 1 pS (-eSSS - CS LS ) pSSS 2 2 2 = (-eSCSSS + eSCS L2 + eSSS L2 - CS LS + S S 2 2 (1- eS )LS (CS + SS ) LS - eSCS LS 1 2 pSeS SS 2 2 2 + eSCSSS + eSCS L2 + eSSS L2 + CS LS ) =. (12) S S (1- eS )LS 2 pSeS Сокращаем коэффициенты A, B, C на множитель. Получаем (1- eS )LS уравнение общего вида сопряженного диаметра для гиперболы или (что, то же самое) уравнение общего вида диаметра сопряженной гиперболы pe 2 - CS x + (1- eS )SS y + pSeSSS + (CS + (1- eS )SS )= 0. (13) (e2 -1) Глава 6. Диаметр pe Докажем, что центр симметрии O :{,0} принадлежит найденному e2 -диаметру. Действительно 2 pe pe(1- eS )SS pe pe(1- eS ) - CS + pSeSSS + + CS = 0, pSeS + = 0, e2 -1 (e2 -1) e2 -1 e2 -pe pe e+ (1- ) = 0. (Последнее равенство эквивалентно (6.6.2.2. –9)).

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 || 37 | 38 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.