WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 42 |

6.5.2. Пересечение между сопряженной хордой и диаметром Пусть некоторая хорда, || концевым касательным диаметра, пересекает этот диаметр. Найдем условие, при котором точка середины хорды принадлежит данному диаметру. Будем решать эту задачу в переменных C, S. Делая соответствующие подстановки в (5.6.1.-2) и (6.3.1.-11), найдем сначала точку пересечения диаметра и хорды в виде системы уравнений Cx + Sy = p cos, (1) - (1- e2)Sx + Cy = peS p(C cos - eS ) pS(eC + (1- e2) cos ) а затем и в виде решения {x, y} =,. (2) 2 C2 + (1- e2)S C2 + (1- e2)S Глава 6. Диаметр Такой же результат можно получить, подставив переменные C, S в формулу p(C cos - eS ) pS(eC + (1- e2)cos ) середины хорды (5.6.5.-1) M :{x, y} =,. (3) 2 C2 + (1- e2)S C2 + (1- e2)S 6.6. Сопряженный диаметр 6.6.1. Сопряженный диаметр эллипса 1. Определение В 3-й модели диаметра мы брали сопряженную хорду, || концевым касательным диаметра, который с этого раздела будет называться основной. При пересечении с основным диаметром сопряженная хорда составляла некоторый угол (например, у окружности этот угол всегда равняется (900)) ).

В данном разделе мы рассмотрим не все возможные варианты сопряженных хорд, а только тот вариант, при котором сопряженная хорда, в свою очередь, является диаметром.

Таким образом, рассматриваемая хорда обладает следующими свойствами 1) свойствами диаметра, т.е. концевые касательные || друг другу;

Глава 6. Диаметр 2) концевые касательные данной хорды || основному диаметру (см.рис.1) (кроме того, они, по определению диаметра, || между собой).

Диаметр, обладающий такими свойствами, называется сопряженный.

Еще раз обратим внимание, что сопряженный диаметр эллипса мы выбираем из множества диаметров эллипса. Если рассматривать конечные точки диаметра эллипса, то нахождение сопряженных конечных точек связано с отображением эллипса на себя. Можно, также интерпретировать это отображение как поворот на некоторый угол (для окружности этот угол всегда равен (900) ).

Ниже мы покажем, что такая постановка задачи для эллипса всегда имеет однозначное решение.

2. Полярные координаты концевых точек сопряженного диаметра Как и в (3.2.6.-1), свяжем тангенсы угла наклона касательной (3.1.2.-3) и cosS + e (1- e2)sin основного диаметра (6.1.-5) эллипса =, (1) - sinS cos где неизвестным будет S - полярный угол концов диаметра. Угол, как и в предыдущих разделах, является углом направления нормального вектора сопряженной прямой, || касательным основного диаметра.

Преобразуем (1) cos cosS + e cos = -(1- e2 )sin sinS, cos cosS + (1- e2)sin sinS = - ecos, 1 (1- e2)sin - cosS - sinS =1. (2) e ecos 1 - (1- e2)sin Отсюда = -, =. (3) e ecos Заметим, что сопряженный диаметр обладает всеми свойствами основного диаметра, за исключением того, что касательные на его концах || основному диаметру, а не исходной сопряженной прямой.

Рассмотрим основные элементы сопряженного диаметра, получаемые методом подстановки из соответствующих элементов основного диаметра.

Глава 6. Диаметр Биссектриса фокального угла 1 - (1- e2)sin S = ang(0,{, }) = ang(0,{-, }) = e ecos ang(0,{- cos,-(1- e2)sin}) cos =, (4) ang(0,{- cos,-(1- e2)sin}+ cos < Отклонение от биссектрисы 1 (1- e2)2 sin2 S = ang(0,{1, + -1}) = ang(0,{1, + -1}) = e2 e2 cos= ang(0,{e cos, (1- e2) cos2 + (1- e2)2 sin2 }) = ang(0,{e cos, (1- e2)(1- e2 sin2 )}).

(5) Мы знаем, что полное решение (см.1.2.5.4.-6) в полярных координатах 2 2 2 1,2 = 0 m = ang(0,{ ± + -1, m + -1}) с выбором последовательности углов решений и с выполнением правила обхода против часовой стрелки преобразуется при cos 1,2 = ang(0,{-ecos2 ± (1- e2)sin (1- e2)(1- e2 sin2 ), cos (e(1- e2)sin ± (1- e2)(1- e2 sin2 )}). (6) Для cos < 0 предоставляем получить формулу читателю.

Т.к. у эллипса e < 1, то (6) выполняется для любого направления. Тем самым мы показали, что каждому диаметру эллипса можно однозначно поставить в соответствие сопряженный диаметр из множества диаметров данного эллипса.

3. Формулы подстановки сопряженного диаметра cos Сравним (3.2.6.-2) = для 1-й модели основного диаметра и (4) esin - (1- e2)sin = для той же модели сопряженного диаметра. Напомним, что в ecos переменных C, S для основного диаметра имеем C = cos, S = sin. С другой стороны, для сопряженного диаметра CS = -(1- e2)sin, SS = cos, (7) или CS = (1- e2)sin, SS = -cos. (7а) Из двух возможных вариантов мы выберем, для определенности, (7).

Глава 6. Диаметр Итак, чтобы получить формулы сопряженного диаметра в общем виде, необходимо в формулах основного диаметра общего вида (т.е. содержащих переменные C, S ) сделать подстановки C CS, S SS. (8) Если же мы хотим перейти, например, конкретно от формул 1-й модели основного диаметра к формулам 1-й модели сопряженного диаметра, то необходимо сделать следующие подстановки cos - (1- e2)sin, sin cos. (9) Как и ранее, при подстановке исходные формулы должны быть однородны (см. (6.2. 3 k - критерий).

Упражнение 1. Доказать формулы обратного перехода CS = -(1- e2)S, SS = C, (10) Упражнение 2. Доказать, что CSS = C, SSS = S.

Доказательство. Сначала заметим, что поскольку C, S однородны, то их всегда можно взаимно сократить на одну и ту же константу, причем знак константы значения не имеет. В силу этого CSS = -(1- e2)SS = -(1- e2)C, SSS = CS = -(1- e2)S.

4. Декартовые координаты концевых точек сопряженного диаметра Возьмем формулу концевых точек в общем виде (6.2.-14) (для всех вариантов моделей диаметра) в переменных C, S :

2 p{-eS2 ± C C2 + (1- e2)S, S(eC ± C2 + (1- e2)S } D1,2 = 2 C2 + (1- e2)S ± eC C2 + (1- e2)S и перепишем ее для сопряженного диаметра в переменных CS, SS 2 2 2 2 p{-eSS ± CS CS + (1- e2)SS, SS (eCS ± CS + (1- e2)SS } Ds1,s2 =. (12) 2 2 2 CS + (1- e2)SS ± eCS CS + (1- e2)SS В частности, концевые точки основного диаметра в декартовых координатах 1-й модели (3.2.7.-4а) p{-esin2 ± cos cos2 + (1- e2)sin2, sin (ecos ± cos2 + (1- e2)sin2 } D1,2 = cos2 + (1- e2)sin2 ± ecos cos2 + (1- e2)sinи концевые точки сопряженного диаметра (делаем подстановки (7)) в 1-й модели Глава 6. Диаметр Ds1,s2 = p = (1- e2)cos2 + (1- e2)2 cos2 m e(1- e2)sin (1- e2)cos2 + (1- e2)2 sin{-ecos2 m (1- e2)sin (1- e2)cos2 + (1- e2)2 sin2, cos (-e(1- e2)sin ± (1- e2)cos2 + (1- e2)2 sin2 }. (11) 5. Различные формулы сопряженного диаметра Приведем список важнейших формул по теме сопряженный диаметр в общем виде (т.е. в переменных CS, SS ):

- (1- e2)SS x + CS y - peSS - уравнение сопряженного диаметра = 0, s (1- e2)2 SS + CssS = +1, SS где ; (13) = -1, SS < sS - расстояние от фокуса F:{0,0} до сопряженного диаметра pe SS dFD = ; (14) 2 (1- e2)2 SS + CS - квадрат длины сопряженного диаметра 2 4 p2(CS + (1- e2)2 SS ) - L2 = ; (15) DS 2 (1- e2)2(CS + (1- e2)SS ) - тангенс угла наклона сопряженного диаметра (1- e2)SS - kD = ; (16) S CS - направляющие нормального вектора сопряженного диаметра sS = +1, SS - (1- e2)SS CS cos = ; sin =, где ; (17) 2 2 2 = -1, SS < sS (1- e2)2 SS + CS sS (1- e2)2 SS + CS sS - угол наклона сопряженного диаметра к оси абсцисс = ang(0,{-sSCS,-sS (1- e2)SS}). (18) Рассмотрим теперь 3-ю модель основного диаметра – модель с сопряженной хордой. Эта хорда по определению || концевым касательным основного диаметра, которые, в свою очередь, || сопряженному диаметру. В силу транзитивности || следует, что сопряженный диаметр всегда || любой хорде, Глава 6. Диаметр сопряженной с основным диаметром. С другой стороны, у сопряженного диаметра, по определению, концевые касательные || основному диаметру. Т.к.

свойство || является коммутативным (если прямая p || прямой q, то прямая q || прямой p ), поэтому основной диаметр || касательным, проведенным из концевых точек сопряженного диаметра. Тем самым мы доказали, что оба этих диаметра (основной и сопряженный) взаимно сопряжены.

У эллипса касательные, построенные из концевых точек основного и сопряженного диаметра образуют параллелограмм, т.к. одна пара касательных || основному диаметру, а вторая || - сопряженному (см. рис.2).

(Забегая вперед заметим, что подобная ситуация происходит и у гиперболы.) Найдем абсолютную величину разности углов между основным и сопряженным диаметрами, причем из двух смежных углов, которые получаются при пересечении двух прямых, будем брать наименьший угол. Т.к. мы умеем находить угол между соответствующим диаметром и осью абсцисс, то для наших целей воспользуемся (1.2.1.-29), (6.1.-7) и (18) = min - = min ang(0,{-sC,-s(1- e2)S}) - ang(0,{-sSCS,-sS (1- e2)SS}) = S = ang(0,{s sS (C CS + (1- e2)2 S SS ), s sS ((1- e2)S CS - (1- e2)SS C }).

Глава 6. Диаметр Т.к. a b = a b, то = ang(0,{s sS (C CS + (1- e2)2 S SS ), s sS ((1- e2)S CS - (1- e2)SS C}) = = ang(0,{(C CS + (1- e2)2 S SS ), (1- e2)S CS - (1- e2)SS C}).

Преобразуем последнее выражение к переменным основного диаметра C CS = -(1- e2)C S, S SS = CS, S CS = -(1- e2)S, SSC = C2. Следовательно = ang(0,{CS - (1- e2) + (1- e2)2), - (1- e2)2 S -(1- e2) C2 }) = = ang(0,{CS e2, C2 + (1- e2)S }). (19) Выясним теперь, когда основной и сопряженный диаметры друг другу. Необходимым и достаточным условием для этого будет (см. 1.2.1.-18) CS e2 = 0. (20) Приравняем по очереди 0 сомножители (17). Рассмотрим, сначала, 1-й множитель в 1-й модели. Тогда C S = cos sin = sin 2. Уравнение sin 2 = 0 имеет следующие корни в единичном круге (1.2.5.1.-2) 1 = 0, 2 =, 3 =, 4 =.

2 Рассмотрим эллипс. Корни 1 = 0, 3 = соответствуют случаю, когда основным диаметром является малая ось эллипса, а сопряженным диаметром – большая. Как известно, эти оси взаимно. Другая пара корней 2 =, 4 = 2 соответствуют случаю, когда основным диаметром является большая ось эллипса, а сопряженным диаметром – малая.

Отсюда мы делаем вывод из всех пар основного и сопряженного диаметров у эллипса являются только его оси.

Равенство нулю 2-го сомножителя говорит о том, что у окружности основной и сопряженный диаметры всегда.

bУпражнение 3. Доказать [18,§244,(2)], что kDkD = -(1- e2) = -, (21) S aгде a,b - полуоси эллипса.

Упражнение 4. Найти квадрат длины сопряженного диаметра в переменных C, S.

Глава 6. Диаметр Решение. Делаем подстановки в (15) 2 2 2 4 p2(CS + (1- e2)2 SS ) 4 p2((1- e2)2 S + (1- e2)2C2) 4 p2(C2 + S ) L2 = = =.

DS 2 2 2 (1- e2)2(CS + (1- e2)SS ) (1- e2)2((1- e2)2C2 + (1- e2)S ) (1- e2)(C2 + (1- e2)S ) (22) Упражнение 5. Доказать, что угол между нормальными векторами основного и сопряженного диаметров совпадает с (19).

Упражнение 6. Доказать[6,N482], что стороны прямоугольника, вписанного в эллипс, || его осям.

6.6.2. Сопряженная гипербола и сопряженный диаметр гиперболы 6.6.2.1. Сопряженная гипербола Вначале выясним, чем задача построения сопряженного диаметра у гиперболы отличается от аналогичной задачи у эллипса. Дело в том, что единичный вектор направления касательных у эллипса принимает все направления от [0,2 ] (докажите!). Отсюда следует, что для эллипса каждому направлению диаметра можно подобрать два (!) единичных направления вектора касательной.

У гиперболы это обстоит иначе. С одной стороны, радиус-вектор действительно пробегает направления [0,2 ], и при этом конец данного радиусвектора движется вдоль гиперболы. Но, с другой стороны, направления единичного вектора касательной ограничены асимптотами, причем существуют направления диаметра (например, || оси абсцисс), для которых отсутствует такое же направление касательной (подчеркнем!) у основной гиперболы.

Возникает вопрос можно ли построить геометрическую конструкцию, на базе которой можно было бы провести сопряженные касательные, || основному диаметру, а затем, соединив точки касания прямой, построить сопряженный диаметр для гиперболы Предположим, что существует положительный ответ на данный вопрос.

Заметим, что тогда эту конструкцию можно || перемещать самой себе сколь угодно далеко, при этом свойство || сохраняется.

С другой стороны, существует свободное место, смежное по отношению к уже занятому основной гиперболой, и которое находится тоже между асимптотами (но по другую сторону от основной гиперболы). В этом месте могла бы Глава 6. Диаметр поместиться другая гипербола, на основе которой мы могли бы решать задачу нахождения сопряженных касательных, || диаметрам основной гиперболы.

Ниже мы хотим доказать, что наши предположения верны. Подкрепим рассуждения расчетами. В разделе (3.7.4.), посвященному асимптотам, мы нашли угол между асимптотами (3.7.4.-36) = ang(0,{2 - e2,2 e2 -1). С другой стороны, угол, на который поворачивается нормальный вектор касательной = ang({0,{e2 - 2,2 e2 -1}), является дополнительным до углу между асимптотами. (Мы хотим напомнить, что если имеем углы с взаимно сторонами и совпадающей ориентацией, то эти углы равны, а если ориентация углов противоположна, то эти углы являются дополнительными до.) Теперь найдем угол (ср.3.7.4.-37), на который поворачивается нормальный вектор основного диаметра гиперболы. При этом мы воспользуемся тем, что для этого достаточно половины одной ветви гиперболы, которая построена между асимптотами, т.е. построена внутри интервала между углом 0 и углом разрыва 1 = ang(0,{1,0}), 2 = ang(0,{-1, e2 -1}). Следовательно, Глава 6. Диаметр -1 -cos1 = 1, cos2 = =, e 1+ e2 -e2 -1 e2 -sin1 = 0, sin2 = =. (1) e 1+ e2 -Угол наклона нормального вектора основного диаметра во 2-й модели равен (6.2.-21) = ang(0,{-(1- e2)sin, cos + e,}). (2) S Подставляем (1) в (2) и упрощаем e2 -1 - = ang(0,{0,1}), = ang(0,{-(1- e2), + e}) = ang(0,{ e2 -1,1}). (3) S1 S e e Таким образом, используя (1.2.1.-9), (1.2.1.-16), (1.2.1.-20) и (3), имеем = 2(ang(0,{0,1}) - ang(0,{ e2 -1,1}) = 2(ang(0,{1, e2 -1}) = S = ang(0,{2 - e2,2 e2 -1}). (4) Сравнивая (37) и (36), мы получим геометрически очевидный результат угол поворота нормального вектора диаметра является дополнительным до по отношению к смежному углу между асимптотами. Это означает, что “угол раствора” нормального вектора сопряженных касательных, || основному диаметру гиперболы, будет также дополнительным до смежному углу между асимптотами.

Докажем теперь, что в смежный угол между асимптотами может быть e “вписана гипербола” с сопряженным эксцентриситетом eS =. (5) e2 -Тогда этот смежный угол становится дополнительным до к основному углу между асимптотами.

e2 e2 Доказательство. = ang(0,{2 - eS, 2 eS -1}) = ang(0,{2 -, 2 -1}) = S e2 -1 e2 -e2 - 2 e2 -= ang(0,{,2 }) = ang(0,{e2 - 2,2 e2 -1}).

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.