WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 | 36 |   ...   | 42 |

Свяжем тангенсы угла наклона касательной (3.1.2.-3) и хорды (5.4.-4) cost + e cos0h + ecosh =, (1) - sint - sin0h Решаем (1) cost sin0h - (cos0h + ecosh )sint = - esin0h, 1 cos0h + ecosh - cost + sint =1. (2) e esin0h 1 cos0h + ecosh Отсюда = -, =, (3) e esin0h Глава 6. Диаметр 2. Формулы подстановки Мы продолжим использовать результаты, полученные для 1-й модели.

Сравним параметры, для 1-й модели (3.2.6.-2) и для 3-й (3). Параметр 1 cos = - остался при переходе к 3-й модели без изменения. В 1-й модели =, e esin cos0h + ecosh в 3-й - =. В силу этого, мы везде будем делать замены в esin0h формулах 1-й модели по следующей схеме cos k(cos0h + ecosh), sin k(sin0h), где k = const > 0. (4) Начнем подстановки с биссектрисы фокального угла (3.2.6.-5) ang(0,{-sin,cos}), sin > 0 = ang(0,{sin,-cos}), sin < 0 и отклонения от нее (3.2.6.-6а) = ang(0,{esin, cos2 + (1- e2)sin2 }).

Произведя замены, имеем ang(0,{-sin0h,cos0h + e cosh}) sin0h > 0 (5 -1) 0 = (5),-(cos0h + e cosh )}), sin0h < 0. (5 - 2) ang({0,{sin0h = ang(0,{esin0h, (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)sin2 0h }). (6) Заметим, что сопряженная хорда однозначно определяет диаметр. С другой стороны, в силу транзитивности ||, сопряженная хорда не единственная хорда, определяющая данный диаметр. Так, любая хорда, || сопряженной хорде, также определяет данный диаметр. (Напомним, что || прямые делятся в смысле ориентации на два класса: коллинеарные - и антипараллельные - ).

У всех сопряженных хорд при прямых различны величины нормального вектора pL. Однако эта величина не входит в (4) или (5), поэтому пара углов 0, диаметра определяется однозначно.

Для прямых, кроме различных значений вектора pL, мы имеем дело с изменением 0h 0h + (См.5, 6).

3. Декартовые координаты концевых точек диаметра и сопутствующие формулы Приведем формулу прототип (3.2.7.-4а) из 1-й модели Глава 6. Диаметр p{-esin2 ± cos cos2 + (1- e2)sin2, sin (ecos ± cos2 + (1- e2)sin2 } D1,2 =.

cos2 + (1- e2)sin2 ± ecos cos2 + (1- e2)sinТогда, после подстановки D1,2 = p = (cos0h + e cos h )2 + (1- e2)sin2 0h ± e(cos0h + e cos h ) (cos0h + e cos h )2 + (1- e2)sin2 0h {-esin20h ± (cos0h + ecosh) (cos0h + ecosh)2 + (1- e2)sin2 0h, e(cos0h + ecosh)sin0h ± (-sin0h ) (cos0h + ecosh)2 + (1- e2)sin2 0h }. (7) Упражнение 1. Докажите, что модели 2 и 3 переходят друг в друга при стремлении хорды к касательной, т.е. при h 0.

Упражнение 2. Доказать, что большая ось эллипса является сопряженной хордой для малой оси эллипса.

Доказательство. Т.к. для большой оси выполняется 0h =, h = 2 (большая ось является фокальной хордой), то из (5-1), (6) следует 0 = ang(0,{-1,0}) =, = ang(0,{-e,± 1- e2 }). (Ср. 3.5.1.-7) Упражнение 3. Доказать, что малая ось эллипса является сопряженной хордой для большой оси эллипса.

Упражнение 4. Доказать, что фокальная хорда, фокальной оси, является сопряженной хордой для большой оси эллипса и для действительной оси гиперболы.

Упражнение 5. Докажите, что - esin20h ± (cos0h + ecosh ) (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)sin2 0h cos1,2 =, (8) (cos0h + ecosh)2 + sin2 0h e(cos0h + ecosh)sin0h ± (-sin0h ) (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)sin2 0h sin1,2 =. (9) (cos0h + ecosh )2 + sin20h p Упражнение 6. Найти знаменатель полярного радиуса r = для 1+ ecos диаметра.

Решение.

- esin20h ± (cos0h + ecosh ) (cos0h + ecosh)2 + (1- e2)sin2 0h 1+ ecos = 1+ e = (cos0h + ecosh)2 + sin2 0h Глава 6. Диаметр (1- e2)sin2 0h + (cos0h + ecosh )2 ± e(cos0h + ecosh) (cos0h + ecosh)2 + (1- e2)sin2 0h = (cos0h + ecosh )2 + sin20h.

(10) 4. Уравнение диаметра Возьмем формулу прототип (3.2.8.-4) для нормированного уравнения диаметра s = +1, sin > - (1- e2)sin x + cos y - pesin = 0 и выполним s = -1, sin < s cos2 + (1- e2)2 sinподстановки (4) s = 1 sin0h - (1- e2)sin0h x + (cos0h + ecosh) y - pesin0h = 0, где. (11) s (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)2 sin2 0h s = -1 sin0h < Упражнение 7. Найти полярные и декартовые координаты концевых точек диаметра и построить нормальное уравнение диаметра, если сопряженная хорда к нему имеет 0h = (300), h = (300) (см. рис. 3,4). Рассмотреть отличия 6 построения чертежа для эллипса и гиперболы.

Упражнение 8. Найти полярные и декартовые координаты концевых точек диаметра и построить нормальное уравнение диаметра, если сопряженная хорда к нему одним концом опирается на конец большой оси эллипса, а другим концом на конец малой оси эллипса (см.рис.5).

Глава 6. Диаметр 5. Различные формулы Название Формула прототип из 1-й Формула в 3-й модели модели расстояние dFD = dFD = от фокуса pesin pesin0h = = F:{0,0} до cos2 + (1- e2)2 sin2 (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)2 sin2 0h диаметра (1) квадрат L2 = L2 = D D длины 4 p2(cos2 + (1- e2)2 sin2 ) 4 p2((cos0h + ecosh)2 + (1- e2)2 sin2 0h ) диаметра = = (1- e2)2(cos2 + (1- e2)sin2 ) (1- e2)2((cos0h + ecosh)2 + (1- e2)sin2 0h) (2) тангенс (1- e2)sin (1- e2)sin0h kD = kD = (3) угла cos cos0h + ecosh наклона диаметра Угол = ang(0,{-s(cos0h + ecos ), = ang(0,{-s cos,-s(1- e2)sin}) наклона s = +1, sin где - s(1- e2)sin0h}) (4) s = -1, sin < 0.

диаметра к оси s = +1, sin0h где.

абсцисс s = -1, sin0h < Глава 6. Диаметр С cos cos0h + ecos (5а) S sin sin0h (5б) Табл.6.3.2. Сохранения элементов секущих (По материалам работы Л.Эйлера [26]).

Докажем 1-е, несколько измененное, утверждение Л.Эйлера.

Геометрическое место точек, равное покоординатной сумме точек пересечения || хорд с дугой коники, есть прямая линия, || диаметру, сопряженному с этими хордами.

Доказательство. В (3.2.8.) доказано, что середина хорды, сопряженная с данным диаметром, принадлежит этому диаметру. Т.е.

x1 + x2 y1 + y2 {xO, yO} = {, } = {x1 + x2, y1 + y2}. Рассмотрим множество || 2 2 секущих, получаемые при помощи изменения значения pL (вариации). Эти секущие образуют при пересечении с дугой || хорды Hi1H (см.рис.1). У каждой из iэтих хорд есть середина D0i. Таким образом, точки середины || хорд есть геометрическое место точек, через которые проходит определенный диаметр.

Глава 6. Диаметр Меняя вышеприведенный коэффициент с на 1 (т.е. увеличивая его в 2 раза), мы подвергнем наше множество середин хорд гомотетичному преобразованию и получим новые точки, также лежащие на одной прямой. Соединяя эти новые точки, мы получим новую прямую, гомотетичную исходной секущей (см.1.5.4.).

Кроме того, новая прямая || диаметру, проходящему через середины хорд, с коэффициентом гомотетии 2. Расстояние между новой прямой и диаметром будет в соответствие с (6.3.-11) и (1.5.4-4) pesin0h pL k 2 -1 (2 2 -1) d = =. (1) k (cos0h + ecosh )2 + (1- e2)2 sin2 0h 2 (На рис.1 выбранные две точки пересечения хорд и диаметра D01 и D02 образуют среднюю линию FA1A2.) Дадим еще одну (нашу) интерпретацию 1-й теоремы Эйлера.

Пусть || хорды пересекают коническую кривую в точках Hi1, Hi2 (рис.2).

Соединим середины этих хорд прямой линией и продолжим ее по обе стороны до пересечения с кривой, тем самым делая построение диаметра, Глава 6. Диаметр сопряженного данным хордам. Проведем прямую AB || построенному диаметру через произвольно выбранную точку и продолжим хорды до пересечения с этой прямой (см.рис.2). Обозначим точки пересечения хорд с прямой A1A2 как Ai.

Справедливо следующее утверждение для неориентированных длин отрезков AiHi1 + AiHi2 = const. (2) Заметим, что (Hi1 + Hi2 ) / 2 = D0i, где D0i - точки пересечения хорд с диаметром. (2) следует из равенства противоположных сторон параллелограмма, образованного хордами и их продолжениями. Введем положительное направление от H1i к H2i и воспользуемся системой скользящих векторов. Векторы, расположенные вдоль некоторой прямой и перемещающиеся только вдоль этой прямой, называются скользящими [18,§5], [16,§7]. Введем временную ориентацию секущей от Hi1 к Hi2, которая, вообще говоря, может и не совпадать с ее постоянной ориентацией в смысле Гессе.

Запишем очевидное векторное равенство AiH + L = AiHi2. (3) i((см. рис.2) Другими словами (см.3.3.2.-4), 2 p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL AiH2i - AiHi1 = = L( pL, ) (4) (1- e2 sin2 ) Таким образом, разность скользящих векторов от произвольно выбранной точки на секущей до точек пересечения секущей с дугой, равна ориентированной длине хорды. (Ориентация хорды совпадает с выбранным направлением скользящих векторов.) Упражнение 1. Постройте рисунки, аналогичные 1, 2 для гиперболы.

Упражнение 2. Пусть в кривую 2-го прядка (эллипс или гиперболу) вписан параллелограмм ABCD (см.рис.3). Хорда P1P4 || AD. Доказать, что P1P2 = P3P4.

(Л.Эйлер) [26,стр. 56, п.96].

Глава 6. Диаметр 6.4. 4-я модель построения диаметра - построение с помощью внешней точки Раскроем геометрический смысл задачи (см.рис.1, 2) (Замечание. Как и в предыдущих разделах, векторы биссектрис и векторы, противоположно направленные векторам к правой ветви гиперболы, построены только с учетом направления и без масштаба).

Глава 6. Диаметр Построим хорду между точками касания H1, H2 двух касательных, пересекающимися в полюсе P. Эта хорда || двум другим касательным, касающимся кривой в D1, D2.

Вначале рассмотрим вариант НПСК. Из (5.3.-2) мы имеем 0h = ang(0,{F, P}), p а cosh = - ecos0. Подставим это выражение в (6.3.1.-5) LFP ang(0,{-sin0,cos0h + ecosh}) sin0h > 0 = =,-(cos0h + ecosh )}), sin0 < ang({0,{sin0h pe ang(0,{-sin,(1- e2)cos0h + }) 0h sin0h 0 (1-1) LFP =. (1) pe sin0h < 0 (1- 2) ang({0,{sin0h,-((1- e2)cos0h + )}), LFP Упражнение 1. Найти полярные и декартовые координаты концевых точек диаметра и построить нормальное уравнение диаметра, если сопряженная хорда имеет 1 = 0, 2 = (см. рис.3,4).

1. Формулы подстановки Запишем формулы подстановки перехода от 1-й модели к 4-й pe cos (1- e2)cos0 +, sin sin0. (2) LFP Глава 6. Диаметр 2. Декартовые координаты концевых точек диаметра Приведем формулу прототип (3.2.7.-4а) p{-esin2 ± cos cos2 + (1- e2)sin2, sin (ecos ± cos2 + (1- e2)sin2 } D1,2 =.

cos2 + (1- e2)sin2 ± ecos cos2 + (1- e2)sinДелаем подстановки (2) pe pe p {-esin2 ± e2)cos0 + L, sin (e(1- e2)cos0 + ± L} (1LFP LFP D1,2 =, pe L ± e((1- e2)cos0 + ) L LFP pe где L = e2)cos0 + + (1- e2)sin2. (3) (1LFP 3. Уравнение диаметра Возьмем формулу прототип (3.2.8.-4) для нормированного уравнения диаметра s = +1, sin > - (1- e2)sin x + cos y - pesin = 0 и выполним s = -1, sin < s cos2 + (1- e2)2 sinподстановки (2) pe - (1- e2)sin0 x + e2)cos0 + y - pesin(1s = +1, sin0 > LFP = 0. (4) s = -1, sin0 < pe s e2) cos0 + + (1- e2)2 sin2 (1LFP 4. Различные формулы Название Формула прототип из 1-й Формула в 4-й модели модели расстояние dFD = dFD = от фокуса pesin pesin= = F:{0,0} до (1- e2)2 sin2 + cos pe диаметра (1- e2)cos0 + LFP + (1- e2)2 sin2 (5) Глава 6. Диаметр квадрат L2 = L2 = D D длины 4 p2(cos2 + (1- e2)2 sin2 ) pe диаметра = 4 p2(1- e2) cos0 + + (1- e2)2 sin2 (1- e2)2(cos2 + (1- e2)sin2 ) LFP = pe (1- e2)2(1- e2)cos0 + + (1- e2)sin2 LFP (6) тангенс (1- e2)sin (1- e2)sinkD = угла kD = (7) cos pe (1- e2)cos0 + наклона LFP диаметра угол = ang(0,{-s cos,-s(1- e2)sin pe = ang(0,{-s(1- e2)cos0 + наклона s = +1, sin LFP, где s = -1, sin < диаметра к s = +1, sin0 оси - s(1- e2)sin0}), где (8) абсцисс s = -1, sin0 < С cos pe cos0h + cos (5а) LFP S sin sin0h (5б) Табл.1.

6.5. Основные точки, принадлежащие диаметру и его продолжению 6.5.1. Основные точки (Формулы данного раздела мы даем, для примера, в 3-й модели диаметра.

С другой стороны, это не принципиально.) 1. Концевые точки диаметра Мы повторим здесь формулу (6.3.1.-7) для полноты данного раздела D1,2 = p = (cos0h + ecos)2 + (1- e2)sin2 0h + ±e(cos0h + ecos) (cos0h + ecos)2 + (1- e2)sin2 0h {-esin20h ± (cos0h + ecos ) (cos0h + e cos )2 + (1- e2)sin2 0h, Глава 6. Диаметр e(cos0h + e cos )sin0h ± (-sin0h ) (cos0h + ecos )2 + (1- e2)sin2 0h }. (1) 2. Точка центра симметрии pe В (3.5) мы показали, что центр вертикальной симметрии O :{-,0} 1- eпринадлежит диаметру. Рассмотрим еще один вариант доказательства. Для этого подставим координаты O в левую часть уравнения диаметра (6.3.1.-11) - (1- e2)sin0hx + (cos0h + ecos )y - pesin0h (2) - (cos0h + ecos )2 + (1- e2)2 sin0h и покажем, что полученное расстояние равно 0. При подстановке заметим, что нам необходимо и достаточно доказать равенство 0 только числителя дроби из (2). В самом деле pe - (1- e2)sin0h)(- ) - pesin0h = (sin0h)( pe - pe) = 0.

1- e3. Точка полюса Аналогично пункту 1, докажем, что точка полюса также принадлежит продолжению диаметра. Подставляя координаты точки полюса (4.3.-2) p {cos0h,sin0h} в левую часть уравнения (6.5.-9) диаметра имеем cos + ecos0h - (1- e2)sin0h + (cos0h + ecos ) y - pesin0h. (3) - (cos0h + ecos )2 + (1- e2)2 sin2 0h Рассмотрим числитель и докажем, что он равен 0.

Как и в предыдущем пункте, нам необходимо и достаточно доказать (1- e2)sin0h p cos0h равенство 0 только числителя дроби из (3) + cos + ecos0h (cos0h + ecos )(- p)sin0h psin0h + - pe(-sin0h) = cos + ecos0h cos + ecos0h ((1- e2)cos0h - (cos0h + ecos ) + e(cos + ecos0h ) ). (4) Рассмотрим теперь 2-й сомножитель из (1), и докажем, что он всегда равен 0. В самом деле cos0h - e2 cos0h - cos0h - ecos + ecos + e2 cos0h = 0. Глава 6. Диаметр 4. Точка основания медианы Докажем, что точка основания медианы полярного треугольника принадлежит диаметру. Для этого поступаем аналогично предыдущим пунктам – подставляем координаты из (5.6.5.-1) p {cos (cos0h + ecos ) - esin2 0h, (cos0h + ecos)2 + (1- e2)sin2 0h sin0h (cos + ecos0h)} в левую часть уравнения (6.3.1.-11), получая расстояние от точки до прямой. Но перед этим, как и ранее, приведем выражение к общему знаменателю и отбросим его вместе с общим коэффициентом - p. Таким образом - (1- e2)sin0h (cos (cos0h + ecos ) - esin2 0h) + (cos0h + ecos ) sin0(cos + ecos0) + - esin0h ((cos0h + ecos)2 + (1- e2)sin2 0h ) = - sin0h ((1- e2) (cos (cos0h + ecos ) - esin2 0h) - (cos0h + ecos ) (cos + ecos0h) + + e((cos0h + ecos)2 + (1- e2)sin2 0h)) = 0.

Нам необходимо и достаточно доказать, что 2-й сомножитель (числитель) тождественно равен 0. Действительно, раскрывая скобки, получим cos0h cos + ecos2 - esin2 0h - e2 cos0h cos - e3 cos2 + e3 sin2 0h - cos0h cos - ecos2 0h - ecos2 - e2 cos0h cos + ecos20h + 2e2 cos0h cos + e2 cos2 + esin20h - - e3sin20h = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 | 36 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.