WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 42 |

Упражнение 2. Найти длину действительной оси гиперболы.

Упражнение 3. Проверить (7) для большой оси эллипса.

Решение. В этом случае = 0, s = 1, 1- e2 > 0, =.Большая ось эллипса действительно составляет с осью абсцисс угол.

6.2. 2-я модель построения диаметра - две || касательные 1. Полярные координаты концевых точек диаметра В разделе (3.2.6.) мы нашли точки на кривой, в которых сопряженная прямая || касательной. Напомним, что мы брали сопряженную прямую в самом общем виде, т.е. произвольно расположенную относительно кривой.

Там же мы установили связь между тангенсами угла наклона сопряженной прямой и касательными. Один из выводов, который мы получили, был следующим:

если существует 2-е решение, определяющее 2-ю касательную, то хорда, соединяющая точки касания и называемая диаметром, проходит через центр симметрии кривой. Этот диаметр мы далее будем называть основным или диаметром.

Учитывая, что свойство || транзитивно, то найденные в (3.2.6.) свойства диаметра сохраняются во всех случаях расположения сопряженной прямой относительно касательной.

Глава 6. Диаметр В данном пункте рассмотрим 2-ю модель построения диаметра:

сопряженная прямая лежит на кривой, т.е. является 1-й касательной. Мы ищем условие, при котором 2-я касательная || 1-й. Другими словами: мы наделяем прямую общего вида, инициирующую диаметр, дополнительным свойством - быть касательной.

Несколько слов об обозначениях угловых параметров. В разделе (3.2.6.) для направления нормального вектора сопряженной прямой мы использовали переменную, а для концевых точек диаметра - переменную. Т.к. в рассматриваемом сейчас случае в точке касания угловые переменные и совпадают, то для сокращения количества уравнений мы сразу будем использовать переменную.

Итак, мы знаем полярный угол 1-й касательной - 1, а ищем полярный угол 2-й касательной - 2. Пользуясь тем же приемом, что и в (3.2.6.), приравняем тангенсы углов наклона касательных к оси абсцисс (3.1.2.-3) при двух различных cos1 + e cos2 + e углах к точкам касания =. (1) - sin1 - sinТогда sin2 cos1 + esin2 - sin1 cos2 - esin1 = sin(2 -1) - e(sin2 - sin1) = 2 -1 2 -1 2 -1 2 + = 2sin cos + 2esin cos = 2sin (cos + ecos0) = 0, (2) 2 2 2 1 + где 0 = является биссектрисой фокального угла между 2 -касательными, т.е. биссектрисой фокального угла диаметра, а = отклонением точек касания от биссектрисы или угловым отклонением диаметра.

(Справка. Фокальным углом диаметра мы называем угол из фокуса, под которым “виден” диаметр, или, другими словами, угол из фокуса, лучи которого проходят через концевые точки диаметра.) Приравнивая поочередно нулю множители из левой части (2), заметим, что 2 -1-й множитель дает только тривиальные решения sin = 0, = k, 2 = 1 + 2k, а 2-й множитель cos + ecos0 = 0 (3) Глава 6. Диаметр является необходимым условием того, что две касательные || друг другу. С другой стороны, мы пришли в (3) к уже известному нам условию (5.1.-5), при котором полюс находится на. Этот результат следовало ожидать, т.к. на плоскости эти два результата эквивалентны. К такому же выводу мы пришли в (5.1. вывод 2).

(Заметим, что в 3-х мерном и выше пространствах из факта не пересечения двух прямых, вообще говоря, не следует их || друг другу).

Покажем теперь, что (3) является и достаточным условием того, чтобы найти полярные координаты 2-й точки касания.

cos + ecos0 = Справедлива система уравнений, (4) 0 - = в которой известно 1. Мы хотим найти 2 = 0 +.

Преобразуем (4) 0 = 1 +, cos + ecos(1 + ) = 0, cos + ecos1 cos - esin1 sin = 0, cos (1+ ecos1) = esin1 sin. Разделим sin 1+ ecos1 cos esinпеременные =, =. Используя (1.2.5.3.), имеем cos esin1 sin 1+ ecos = ang(0,{esin1,1+ ecos1}). (5) 0 = 1 + = ang(0,{cos1,sin1}) + ang(0,{esin1,1+ ecos1}) = = ang(0,{ecos1 sin1 - sin1 - ecos1 sin, esin2 1 + cos1 + ecos2 1}) = = ang(0,{-sin1, cos1 + e}). (6) Из (6) и (3.2.1.-8) видно, что биссектриса фокального угла || сопряженной касательной.

Искомый угол 2 = 0 + = ang(0,{-sin1, cos1 + e}) + + ang(0,{esin1,1+ ecos1}) = ang(0,{-esin2 1 - cos1 - ecos2 1 - e - e2 cos1, ecos1 sin1 + e2 sin1 - sin1 - ecos1 sin1}) = ang(0,{-(1+ e2)cos1 - 2e, - sin1(1- e2)}).

(7) Проверим, что решение (7) удовлетворяет (1). Для этого выразим тангенс cos2 + e угла наклона 2-й касательной через угол 1. Используя - sinx y cos(ang(0,{x, y})) = (1.2.3.-2а) и sin(ang(0,{x,y})) = (1.2.3.-3а), x2 + y2 x2 + yx + e x2 + yполучим выражение типа, (8) - y Глава 6. Диаметр где x = -(1+ e2)cos1 - 2e, y = -sin1(1- e2).

Вычислим x2 + y2 (-(1+ e2) cos1 - 2e)2 + (-sin1(1- e2))2 = (1+ e2)2 cos2 1 + + 4e(1+ e2)cos1 + 4e2 + (1- cos2 1)(1- 2e + e4) = cos2 1 + 2e2 cos2 1 + e4 cos2 1 + + 4ecos1 - 4e3 cos1 + 4e2 + 1- 2e2 + e4 - cos2 1 + 2e2 cos2 1 - e4 cos2 1 = = 4e2 cos2 1 + + 4e(1+ e2)cos1 + (1+ e2)2 = (2ecos1 + (1+ e2))2. (9) Вычислим числитель (8) -(1+ e2)cos1 - 2e + 2e2 cos1 + e + e3 = - (1- e2)(cos1 + e).

Сокращая числитель и знаменатель (8) на множитель(1- e2), получим cos1 + e тангенс угла наклона 1-й касательной (что и требовалось доказать). - sinУпражнение 1. Доказать, что 2-е решение (3.2.6.-7) 2 = ang(0,{-esin2 - cos 1- e2 sin2, sin (ecos - 1- e2 sin2 }) модели эквивалентно решению (7).

cos1 + e Доказательство. Из (3.2.1.-4) мы знаем cos =, 1+ 2ecos1 + e1+ 2ecos1 + e2 - e2 sin2 sinsin =. Вычислим 1- e2 sin2 = = 1+ 2ecos1 + e2 1+ 2ecos1 + e1+ ecos= (мы взяли в числителе при извлечении корня только знак ' + ', 1+ 2ecos1 + eт.к. перед радикалом уже стоит знак ' - ' ).

Сокращаем 3-й и 4-й параметр ang() на положительный множитель и окончательно получаем 2 = ang(0,{-esin2 1 - (cos1 + e) ( 1+ 2ecos1 + e2) (1+ ecos1), (e(cos1 + e) - (1+ e cos1)sin1}) = ang(0,{-(1+ e2)cos1 - 2e, - (1- e2)sin1}).

Упражнение 2. Найти полярные координаты большой оси эллипса и угол направления биссектрисы ее фокального угла (см.рис.1).

Решение. Сразу заметим, что большая ось эллипса является диаметром, т.к. касательные на ее концах ||. Рассмотрим 2 варианта решения, в зависимости от того, какую из касательных выбрать первой, а какую второй.

1 вариант Глава 6. Диаметр Проведем в A1 - 1-ю касательную. Тогда 1 = 0. Используем (7) 2 = ang(0,{-(1+ e2)cos1 - 2e, - sin1(1- e2)}) = ang(0,{-(1+ e2) - 2e,0}) =. Из (6) получим угол направления биссектрисы 0 = ang(0,{-sin1, cos1 + e}) = = ang(0,{0,1+ e}) =.

2 вариант Проведем в A2 - 1-ю касательную. Тогда 1 =. Используем (7) 2 = ang(0,{-(1+ e2)cos1 - 2e, - sin1(1- e2)}) = ang(0,{(1+ e2) - 2e,0}) = 0. (В последнем выражении мы применили 1+ e2 > 2e ).

0 = ang(0,{-sin1, cos1 + e}) = ang(0,{0,-1+ e}) =. (В последнем равенстве мы использовали, что для эллипса e < 1) Упражнение 3. Найти 1, 2,0 для малой оси эллипса.

Решение.

1 вариант Рассмотрим рис.2. Из (3.2.5.-1) 1 = ang(0,{-e, 1- e2 }), cos1 = -e, sin1 = 1- e2, 2 = ang(0,{-(1+ e2)cos1 - 2e, - sin1(1- e2)}) = ang(0,{-e,- 1- e2 }).

0 = ang(0,{- 1- e2,e - e}) = ang(0,{- 1- e2,0}) =.

2 вариант (вывод 1, 0 из 2 ) предоставляем проверить читателю.

Упражнение 4. Пусть у эллипса 1 = (см.рис.3). Найти 2,0.

Глава 6. Диаметр Упражнение 5. Пусть у гиперболы ( e = 2 ) 1 = (300) (см.рис.4). Найти 2,0.

3 (1- e2) Ответ. 2 = ang(0,{-(1+ e2) - 2e, - }) = 2,96 (169,790), 2 0 = ang(0,{-1, 3 + 2e}) =1,74 (99,900).

Упражнение 6. Докажите, что у окружности || касательные и соединяющий их диаметр им.

Упражнение 7. Пусть D1D2 диаметр эллипса (см.рис.3) или гиперболы (см.рис.4). Доказать, что отрезки FD1, F2D2 || и равны.

Упражнение 8. Доказать, что 1 = ang(0,{-(1+ e2)cos2 - 2e, - sin2(1- e2)}), где 2 удовлетворяет (7).

Указание. Воспользоваться (9) и тем, что 2ecos1 + (1+ e2) 0.

2. Декартовые координаты концевых точек диаметра Первая конечная точка D1 находится из угла 1 при помощи полярного p{cos1,sin1} уравнения D1 =. (10) 1+ ecosДля нахождения 2-й конечной точки диаметра D2 воспользуемся (8) и (9) - (1+ e2) cos1 - 2e - sin1(1- e2) cos2 =, sin2 =.

2ecos1 + (1+ e2) 2ecos1 + (1+ e2) Глава 6. Диаметр Подставляем эти значения в полярное уравнение p{cos2,sin2} p{-(1+ e2)cos1 - 2e, - sin1(1- e2)} D2 = = = 1+ ecos2 2ecos1 + (1+ e2) - e(1+ e2)cos1 - 2ep{-(1+ e2)cos1 - 2e, - sin1(1- e2)} =. (11) (1- e2)(1+ ecos1) Упражнение 9. Вычислите с помощью (10) и (11) координаты концевых точек большой и малой оси эллипса.

3. Метод подстановки Убедимся, сначала, что для концевых точек диаметра 2-й модели выполняется уравнение cos + sin = 1. Действительно, если = -, e cos1 + e cos1 (cos1 + e) =, то - + sin1 =1. Учитывая (1), данное уравнение esin1 e esinсправедливо и для.

Мы хотим максимально использовать результаты, полученные для 1-й модели, во 2-й и последующих моделях и тем самым сократить достаточно трудоемкий вывод формул. В этой связи предлагается следующий механизм, основанный на формулах (1.2.5.4.-9,10). Сравним параметры, для 1-й модели (3.2.6.-2) и для 2-й. Параметр = - остался при переходе к 2-й модели без e cos cos1 + e изменения. В 1-й модели =, во 2-й - =.

esin esinC Представим теперь в общем виде для всех моделей =. Переходя eS от 1-й модели к очередной модели, мы будем везде делать замены (подстановки) в формулах прототипов 1-й модели. В частности, для 2-й модели применяем следующие замены cos k(cos1 + e), sin k(sin1), где k = const 0. (12) C Замечание ( k -критерий). Т.к. выражение = однородно относительно eS C kC переменных C, S (т.е. = = ), то формулы прототипы перед заменой eS ekS переменных также должны быть однородны. Другими словами, нужно, чтобы Глава 6. Диаметр после замены переменных типа C kC, S kS, k отсутствовало после всех возможных сокращений.

Приведем пример. Выражения = ang(0,{esin, (1- e2)sin2 + cos2 }) и = ang(0,{esin, 1- e2 sin2 }) дают один и тот же результат при одинаковых значениях переменных. Однако, если 1-е выражение однородно и после подстановокC kC, S kS и всех сокращений имеет прежний вид = ang(0,{e S, (1- e2)S + C2 }), то 2-е выражение после подстановки имеет вид 2 = ang(0,{e kS, 1- e2k S }), где k не сократилось.

Приведем список важнейших формул по теме диаметр в переменных C, S - углы, под которыми видны из фокуса конечные точки диаметра 1 C 1 C2 C 1 1 C1,2 = ang(0,{- ± + -1, m + -1}) = 2 e eS e2 e2S eS e e2 e2S 2 = ang(0,{-eS2 ± C C2 + (1- e2)S, S(eC ± C2 + (1- e2)S }), (13) - концевые точки в декартовых координатах 2 2 2 2 p{-eS ± C C + (1 - e2 )S, S(eC ± C + (1 - e2 )S } D1,2 =, (14) 2 2 2 C + (1 - e2 )S ± eC C + (1 - e2 )S s = +1, S - (1- e2)S x + C y - peS - уравнение диаметра = 0, где s = -1, S < 0, (15) s C2 + (1- e2)2 S pe S - расстояние от фокуса F:{0,0} до диаметра dFD =, (16) C2 + (1- e2)2 S 4 p2(C2 + (1- e2)2 S ) - квадрат длины диаметра L2 =, (17) D (1- e2)2(C2 + (1- e2)S ) (1- e2)S - тангенс угла наклона диаметра kD =, (18) C - направляющие нормального вектора диаметра s = +1, S - (1- e2)S C cos =, sin =, где s = -1, S < 0, (19) 2 s C2 + (1- e2)2 S s C2 + (1- e2)2 S - угол наклона диаметра к оси абсцисс Глава 6. Диаметр = ang(0,{-sC,-s(1- e2)S}). (20) 4. Уравнение диаметра Получим уравнение диаметра во 2-й модели. Делаем подстановку (12). В качестве прототипа используем или нормальное уравнение диаметра 1-й модели s = +1, sin > - (1- e2)sin x + cos y - pesin (3.2.8.-4) = 0, где s = -1, sin < 0, или s cos2 + (1- e2)2 sinаналогичное ему уравнение в общем виде (14) в переменных C, S. После подстановки получаем нормальное уравнение диаметра 2-й модели s = 1 sin1 -(1- e2)sin1 x + (cos1 + e)y - pesin= 0, где. (21) s = -1 sin1 < s (cos1 + e) +(1- e2) sin2 5. Различные формулы Покажем теперь, как перейти к остальным формулам 2-й модели. В данном случае формулы прототипы будем брать не в общем виде с переменными C, S, а используем соответствующие формулы 1-й модели (читатель может самостоятельно убедиться в равносильности этих приемов).

Название Формула прототип из 1-й Формула во 2-й модели модели расстояние dFD = dFD = от фокуса pesin pesin= = F:{0,0} до cos2 + (1- e2)2 sin2 (cos1 + e)2 + (1- e2)2 sin2 диаметра (22) квадрат L2 = L2 = D D длины 4 p2(cos2 + (1- e2)2 sin2 ) 4 p2((cos1 + e)2 + (1- e2)2 sin2 1) диаметра = = (23) (1- e2)2(cos2 + (1- e2)sin2 ) (1- e2)2((cos1 + e)2 + (1- e2)sin2 1) тангенс (1- e2)sin (1- e2)sinkD = kD = (24) угла cos cos1 + e наклона диаметра Глава 6. Диаметр угол = ang(0,{-s cos,-s(1- e2)sin}) = ang(0,{-s(cos1 + e), - s(1- e2)sin1}) наклона s = +1, sin s = 1 sin1 где s = -1, sin < диаметра к где (25) s = -1 sin1 < оси абсцисс С cos cos1 + e (26а) S sin sin1 (26б) Табл.Упражнение 10. Доказать, что для параболы удвоенный угол нормального вектора к касательной совпадает с 1 (3.2.6.-8).

Доказательство. Нам нужно доказать, что 2 =. Используя (3.2.1.-5) и (1.2.1.-20), e = 1, имеем 2 = 2ang(0,{1+ cos,sin}) = ang(0,{1+ 2cos + cos2 - sin2, 2(1+ cos)sin}) = = ang(0,{cos,sin}). При получении последнего равенства мы сократили на положительный множитель 2(1+ cos). Таким образом, декартовые координаты “конечной точки диаметра” для p{cos1,sin1} параболы совпадают с точкой касания касательной D1 =.

1+ ecos6.3. 3-я модель построения диаметра - хорда || касательным 6.3.1. Координаты концевых точек диаметра 1. Полярные координаты концевых точек диаметра В данном пункте мы рассмотрим еще один способ получения полярных координат концевых точек диаметра, когда отрезок сопряженной прямой является хордой исследуемой кривой, т.е. расположен внутри нашей кривой. На рис.1,2 это хорда H1H2. Таким образом, мы исследуем взаимодействие диаметра с элементами полярного треугольника, хорда в основание которого является сопряженной для двух || касательных, между которыми находится диаметр.

Глава 6. Диаметр Как и ранее, мы можем установить однозначное соответствие между хордой с одной стороны, отрезками касательных и полюсом с другой стороны, причем даже в том случае, если полюс находится на бесконечности.

Таким образом, любая хорда является основанием соответствующего полярного треугольника.

Напомним, что для отрезков прямых, выступающих за границу кривой мы используем термин продолжением хорды. Если нам потребуется прямая, у которой хорда является ее подмножеством (т.е. частью этой прямой), то мы будем использовать термин прямая, образованная хордой. (В литературе данную прямую называют поляра.) Таким же образом, продолжение хорды, которая обладает свойствами диаметра, мы будем называть продолжением диаметра.

Обозначим полярные углы сопряженной хорды как 0h,h, касательной - t, диаметра, как и ранее, - 0'.

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.