WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 42 |

Вычислим синусы, в которые не входит угол sin(2 -1) = sin(0B + B - ) = sin((0B - ) + ), (4) 0 A 0 A B sin(1 -4) = sin(0 A - + ) = - sin((0B -0 A) - ). (5) 0B B B Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Вычислим угол 3, используя (5.11.-5) - формулу для точки пересечения x y двух хорд. При этом 3 = ang(F, N ) = ang(0,{, }). Докажем, что делитель в последней формуле в рассматриваемом случае можно отбросить.

Действительно, если > 0, то, в соответствии с (1.2.1.-9) x y 3 = ang(0,{, }) = ang(0,{x, y}).

Если же < 0, то, используя (1.2.1.-9а) 3 = ang(0,{x,y}) +. Т.к.

sin( + ) = -sin, то слагаемое изменит знак (см. (3)) и в числителе у sin(3 -4), и в знаменателе у sin(2 -3). Поэтому знак частного останется прежний.

Таким образом, с точностью до получаем 3 = ang(0,{x, }) = ang(0,{ sin0B cos - sin0 A cos, cos0 A cos - cos0B cos }).

y A B B A (6) Обратим внимание, что параметры 3 и 4 не нормированы. Поэтому, при вычислении выражения sin(3 +), где - некоторый угол, в соответствии с (1.2.3.-2а), (1.2.3.-3а) появляется нормирующий множитель 2 + 2y x y cos + x sin sin(3 +) = sin3 cos + cos3 sin =. (7) 2 + 2y x Т.к. угол 3 входит и в числитель и в знаменатель (3), то этот множитель войдет и в числитель, и в знаменатель (3). Поэтому его мы учитывать не будем.

При вычислении синусов, куда входит 3, мы будем использовать (5.10.-2а) - условие сопряжения двух хорд cos( -0A ) = cos cos.

0B A B Теперь, после всех предварительных упрощений, вычислим sin(2 -3) = sin2 cos3 - sin3 cos2 = (sin0B cos + sin cos0B ) B B (cos sin0B - sin0 A cos ) - (cos0 A cosB - cos0B cos ) A B A (cos0B cos - sin0B sinB ) = sin2 0B cos cos - sin0 A sin0B cos2 + B A B B + cos0B sin0B cos sin - sin0 A cos0B cos sin - cos0 A cos0B cos2 + A B B B B + cos0 A sin0B cos sin + cos2 0B cos cos - cos0B sin0B cos sin = B B A B A B = cosA cos - cos(0B -0 A)cos2 B + sin(0B -0 A)cos sin = cos(0B -0 A) B B B Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение cos(0B -0 A) + cos(0B -0 A + 2 ) B - cos(0B -0 A + )cosB = cos(0B -0 A) - = B 2(0B -0 A) + 2B sin B 2sin - cos(0B -0 A) - cos(0B -0 A + 2 ) 2 B = = - = 2 = sin(0B -0 A + )sin. (8) B B Т.к. sin(3 -4) вычисляется аналогично, то запишем преобразования с некоторыми сокращениями sin(3 -4) = cos(0B -0 A - )cos - cos cos = B B A B cos(0B -0 A - 2 ) - cos(0B -0 A) B = = sin(0B -0 A - )sin. (9) B B Подставив в (3) все вычисленные синусы (4), (5), (8) и (9) и, произведя сокращения, получим окончательно sin(2 -1) sin(3 -4) sin((0B -0 A) + B ) sin(0B -0 A -B ) sin B = = -1. (10) sin(1 -4) sin(2 -3) - sin((0B - ) - ) sin(0B -0 A + ) sin 0 A B B B Замечание. При стремлении N к одной из точек на дуге, отношение (1) сохраняется (докажите!).

l21 lУпражнение 1. Докажите, что =. (11) l14 lУпражнение 2. Докажите, что sin(2 -3)sin(3 -4) sin(1 -2)sin(1 -4) = (2 + 2y ). (12) x sinГлава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.17. Произведение частей секущих. Теорема Эйлера Читатель знаком из школьного курса геометрии с замечательной теоремой о свойствах отрезков секущей и окружности (см.рис.1): произведение длины секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной.

В данном разделе мы собираемся рассмотреть обобщение данной теоремы на любой тип коники, а затем докажем данную теорему как частный случай общей.

Теорема [26,стр.55-57]. Пусть из некоторой точки на плоскости (взятой внутри или вне коники) через данную кривую проведены две секущие.

Возьмем произведение длин отрезков между этой точкой и двумя точками пересечения первой секущей и кривой и разделим на аналогичное произведение длин двух других отрезков к соответствующим точкам пересечения второй секущей и кривой. Пусть, далее, из некоторой другой точки на плоскости через данную конику проведена другая пара секущих, но так, что секущие второй пары ||, соответственно, секущим первой пары.

Тогда отношение произведения длин отрезков первой пары секущих будет равно отношению произведения длин отрезков второй пары секущих.

Доказательство. Сохраним обозначения (5.16) с той лишь разницей, что в данном разделе рассматриваются неориентированные отрезки и площади треугольников. Кроме того, на (рис.2) изобразим только 1 секущую. Этого достаточно для доказательства.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Итак, как и ранее, для упрощения записи перенумеруем точки PA 1, B2 2, B1 4. Нам понадобятся также следующие векторы B2PA = r2 - r1 = l21 ;

PAB1 = r1 - r4 = l14.

Рассмотрим произведение длин отрезков одной из секущих, например PaB2B1. Свяжем, как и в (5.16), длины отрезков с соответствующими площадями треугольников S12, S14. Тогда S12 S14 r1r2 sin(1 -2) r1r4 sin(1 -4) r12r2rl12 l14 = = = sin(1 -2)sin(1 -4), (1) h2 h2 hгде h - высота треугольников F12 и F14 (одинаковая для двух треугольников), опущенная из F (фокус) на прямую PaB2B1 (124), - разности углов 1 -2 - 1F2, 1 -4 - 1F4.

Вычисляем p p r2r4 = = 1+ ecos(0B + B ) 1+ ecos(0B -B ) p= = 1+ e(cos(0B + B ) + cos(0B -B )) + e2 cos(0B + B )cos(0B -B ) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение p2 p= =. (2) (cos(20B ) + cos(2B )) (cos0B + ecosB )2 + (1- e2)sin2 0B 1+ 2ecos0B cosB + eРасстояние от фокуса до прямой PaB2B1 (5.6.3.-1) p2 cos2 B h2 =.

(cos0B + ecosB )2 + sin2 0B При вычислении синусов мы будем использовать (5.10.-2а) - условие сопряжения двух хорд cos( -0A ) = cos cos. Напомним, что это условие 0B A B эквивалентно тому, что три точки Pa, B2, B1 (1, 2, 4) находятся на одной прямой PaB2B1. Итак sin(1 -2) = - sin((0B -0 A) + B ) = -sin(0B -0 A) cosB - cos(0B -0 A)sinB = = -sin(0B -0 A)cosB - cos cos2 B, A sin(1 -4) = - sin((0B -0 A) -B ) = -sin(0B -0 A)cosB + cos(0B -0 A)sinB = = -sin(0B -0 A) cosB + cos cos2 B, A sin(1 -2) sin(1 -4) = - (cos2 cos4 B - sin2(0B -0 A)cos2 B ) = A = -(cos2 cos4 B - (1- cos2(0B -0 A))cos2 B ) = A - (cos2 cos4 B - (1- cos2 cos2 B )cos2 B ) = sin2 cos2 B. (3) A A A Собираем все части формулы произведения длин отрезков секущих r12r2rl12 l14 = sin(1 -2)sin(1 -4) = hr12 p2((cos0B + ecosB )2 + sin2 0B)sin2 A cos2 B = cos2 B((cos0B + ecosB )2 + (1- e2)sin2 0B)pr12 sin2 ((cos0B + ecosB )2 + sin2 0B).

A = (4) ((cos0B + ecosB)2 + (1- e2)sin2 0B) Исследуем (4). Сомножители r12 sin2, зависящие от выбора PA на A плоскости, сократятся при делении на аналогичное произведение длин отрезков второй секущей. Возьмем новую секущую – третью, но так, чтобы она была || первой секущей. Тогда для этих секущих выполняется равенство тангенсов углов наклона (5.6.1.-8) (cos0B + ecosB ) (ki )(Si ) =, (5) sin0B (ki )(Ci ) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение где нижний индекс i - номер секущей.

(Заметим, что появление (ki ) вызвано тем, что мы можем не сокращать на общие множители (Si ) и (Ci ) - это дает нам дополнительную свободу действий.) Отсюда и из (4) имеем отношение длин отрезков 2-х секущих, проведенных из одной точки, (l1)12 (l1)14 (S1)2 + (C1)2 (S2)2 + (1- e2)(C2) =. (6) (l1)12 (l1)14 (S1)2 + (1- e2)(C1)2 (S2)2 + (C2)Если мы возьмем вторую пару длин отрезков секущих, проведенных из другой точки, но так, что каждый из новых отрезков секущих второй пары будет ||, соответственно, одному из отрезков первой пары секущих, то, у новой пары секущих будут соответствующие тангенсы углов наклона равны тангенсам углов (Si ) (ki )(Si ) наклона первой пары =.

(Ci ) (ki )(Ci ) i=1, Очевидно, что отношение (6) у второй пары будет таким же, как и у первой пары отрезков секущих, т.к. (6) относительно коэффициента ki однородно и данный коэффициент сокращается. (Можно было и числитель, и знаменатель (6) разделить на (S1)2 (S2)2 (выразить (6) через тангенсы углов наклона). Но тогда нужно отдельно разобрать случаи, когда соответствующие тангенсы бесконечны.) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Отсюда следует, что отношение длин отрезков второй пары секущих (см.рис.3), ||, соответственно, отрезкам первой пары секущих, не зависит от PAB2 PAB1 ND2 NDвыбора точки PA на плоскости и сохраняется =.

PAC2 PAC1 NE2 NEПрименяя (4), найдем длину касательной коники (ср.5.8.-2). Нам известно:

1) произведение длин отрезков секущих равно квадрату длины касательной (отрезки секущих в данном случае равны между собой);

2) у касательной B = 0 и, следовательно, cosB = 1;

3) точка касания видна из фокуса под углом 0B = 0 m ;

p 4) расстояние от фокуса до полюса r1 = ;

cos + ecos5) ((cos0B + ecosB )2 + sin2 0B) = (1+ 2ecos(0 m ) + e2) 6) ((cos0B + ecosB )2 + (1- e2)sin2 0B) = (1+ ecos(0 m ))2 ;

Собираем все вместе, извлекаем корень и получаем длину касательной p sin 1+ 2ecos(0 m ) + eконики. (7) (cos + ecos0)(1+ ecos(0 m )) Докажем с помощью выведенных формул приведенную в этом разделе выше теорему о свойствах отрезков секущей и окружности (см.рис.1).

Доказательство. Заметим, что в системе координат Кеплера совмещен фокус (в данном случае центр окружности) и центр координат. Кроме того, для окружности ( e = 0 ).

1-й вариант В силу этого (4) преобразуется в r12 sin2 (проверьте!), т.е. зависит только A от положения выбранной PA на плоскости. Это означает, что отношение произведения длин 2-х отрезков различных секущих окружности, проведенных из одной точки под любым углом (лишь бы они пересекали окружность в двух или одной точках) равны 1. Отсюда следует (транзитивность равенства), что Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение произведение длин отрезков любой секущей равно, также, и квадрату длины касательной, проведенной из той же точки, что и секущие.

Напомним, что касательная является предельным положением секущих, а квадрат длины касательной для окружности равен r12 sin2 (докажите!).

A 2-й вариант Подставляем в (6) и (7) e = 0. Дальнейшее очевидно.

5.18. Разные задачи В этом разделе мы укажем еще 2 способа расчета координат точки пересечения диагоналей четырехугольника фокус-полюс (см. 5.6.4.) 4 способ Т.к. N (см. рис.1) гармонически сопряжена с P (полюс) относительно точек пересечения P0 и Q, то эти точки образуют гармоническую четверку (P0QPN) = -1.

P0P P0 N P0 P NQ Раскроем скобки : = = -1. (1) PQ NQ PQ P0 N Введем неизвестное S - расстояние от F до N. Тогда p p p P0 P = -, NQ = - (S + ), cos + ecos0 1+ ecos0 1- ecosГлава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение p p PQ = -(QF + FP) = -( + ) ( в первом слагаемом 1- ecos0 cos + ecosp полярный угол = 0 +, тогда cos = cos(0 + ) = - cos0 ), P0 N = - + S.

1+ ecosПодставим эти выражения в (5) p p p ( - )(-1)(S + ) cos + ecos0 1+ ecos0 1- ecos0 (1- cos )(S(1- ecos0) + p) = -1, = -1, p p p (1+ cos )(S(1+ ecos0) - p) - ( + )(- + S) 1- ecos0 cos + ecos0 1+ ecosS(1- ecos0 - cos + ecos cos0) + p(1- cos ) = - S(1+ ecos0 + cos + ecos cos0) + p + p(1+ cos ), S(2 + 2ecos0 cos ) = 2 p cos, S =. Заметим, что 1+ ecos0 cos окончательный результат совпадает с (5.6.4.-4).

5 способ Воспользуемся (5.11.-5) для нахождения точки пересечения двух хорд p{sin02 cos1 - sin01 cos2, cos01 cos2 - cos02 cos1} (общий случай). Т.к. 2-я sin(02 -01) + e(sin02 cos1 - sin01 cos2) хорда проходит через фокус, то cos2 = 0 (см.5.1.-4). Кроме того, cos1 = cos, 02 -01 = (см.5.18. описание рис.1), sin(02 -01) = sin =1, 2 sin02 = cos0, cos02 = -sin0. Собираем все в одну формулу, получаем снова так, p cos как и в (5.6.4.-3) {cos0,sin0}. 1+ ecos0 cos 1 1 Упражнение 1. Доказать соотношение - =, (6) y x sL h 4sin2 ((cos0 + ecos )2 + sin2 0) где (см.5.6.2.-1а) L2 = p2, h ((cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 0)а s = 1 для эллипса и параболы. Если хорда соединяет две точки какой-нибудь одной ветви гиперболы, то s = 1, если соединяются разные ветви гиперболы, то s = -1.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Доказательство. Выберем положительное направление секущей вдоль QP.

- x sLh - y Тогда = -1, sLhx - xy = sLh y + xy, sLh(x-y) = 2xy. (7) sLh + x y Делим обе части равенства на sLhxy, откуда получаем (6). Значение знака s предлагаем читателю разобрать самостоятельно.

Упражнение 2. Примените теорему для окружности: квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть для доказательства (6) или (7).

Упражнение 3. Проверьте равенство (6) для эллипса и гиперболы, если обе хорды являются фокальными, но одна фокальной оси, а 2-я || фокальной оси.

Упражнение 4. Сравните x и y.

Решение.

1 вариант ( s = 1) 1 2 Из (6) получаем, что = +. Исследуем это выражение.

y L x 1 1) Пусть 0 < L < и x, y > 0 Тогда > и x > y. (8) y x L Частный случай этого неравенства, когда полюс и вместе с ним x, а y.

1 2) Рассмотрим случаи равенства =, откуда следует равенство x = y : (9) y x а) при L = (асимптотическое направление параболы), б) при стремлении x, y 0 (полюс находится на кривой).

2 вариант ( s = -1) 1 1 Из (6) следует, что = -. Откуда x < y. (10) y x Lh Глава 6. Диаметр 6. Диаметр 6.1. Различные формулы 1-й модели диаметра Продолжим исследования свойств диаметра эллипса и гиперболы, начатые в (3.2.8.).

Из (3.2.8.-4) найдем расстояние от фокуса F:{0,0} до диаметра pesin dFD =. (1) cos2 + (1- e2)2 sin С помощью (3.2.8.-2) найдем квадрат длины диаметра 2 2 p cos 2 p sin L2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = B2 + A2 = + = D 1 2 Lt (1- e2) Lt 4 p2 cos2 4 p2(cos2 + (1- e2)2 sin2 ) = + sin2 =, (2) L (1- e2)2 (1- e2)2(1- e2 sin2 )2) 4 p2(cos2 + (1- e2)2 sin2 ) или L2 =. (2а) D (1- e2)2(cos2 + (1- e2)sin2 ) Уравнение диаметра в общем виде - (1- e2)sin x + cos y - pesin = 0. (3) Нормальное уравнение диаметра s = +1, sin > - (1- e2)sin x + cos y - pesin = 0. (4) s = -1, sin < 0. s cos2 + (1- e2)2 sin(1- e2)sin Тангенс угла наклона диаметра kD =. (5) cos Найдем направляющие нормального вектора диаметра - (1- e2)sin cos cos =, sin =, s cos2 + (1- e2)2 sin2 s cos2 + (1- e2)2 sins = +1, sin где (6) s = -1, sin < 0.

Отсюда получим угол наклона диаметра к оси абсцисс = + = ang(0,{-s(1- e2)sin, s cos}) + = ang(0,{-s cos,-s(1- e2)sin}). (7) 2 s = +1, sin где s = -1, sin < 0. (Мы использовали (1.2.1.-15)) Глава 6. Диаметр Упражнение 1. Найти длины большой и малой оси эллипса (расчеты вести в 1-й модели).

Решение.

Большая ось. Возьмем в качестве сопряженной любую прямую, оси абсцисс. Пусть = 0 (вариант = дает тот же результат). Тогда данная сопряженная прямая будет || касательным, расположенным на концах большой 2 p оси. Из (2) LD = (ср.3.5.1.-2, 5.6.2.-7).

1- e Малая ось. Возьмем для сопряженной прямой =. Эта прямая || оси 2 p абсцисс (вариант = - дает тот же результат – проверьте!). Тогда LD = 1- e(ср.3.5.1.-8).

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.