WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 42 |

Доказательство. Для того, чтобы три прямых пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы A1 B1 C A2 B2 C2 = 0, (1) A3 B3 Cгде Ai, Bi,Ci коэффициенты уравнения прямой в общем виде Aix + Bi y + Ci = [1,§114,6],[2,§60].

Напомним, что зная координаты двух точек {x1, y1}, {x2, y2}, мы можем вычислить эти коэффициенты по следующим формулам A = y2 - y1, B = x1 - x2, C = y1x2 - x1y2. Прямые между полюсами P1P4 обозначим для краткости (14), между полюсами P2P5 - (2,5), между полюсами P3P6 - (3,6). Т.к. координаты p{cos0i,sin0i} соответствующего полюса (5.2.-2) Pi =, то мы можем вычислить cosi + ecos0i коэффициенты Ai, Bi,Ci для первой прямой - (1,4), а для остальных двух прямых коэффициенты получим сменой индексов. Полу сумму и полу разность углов k + l будем (как и в 5.12) записывать с помощью новых переменных = +, k l k -l = -.

k l установлении общего принципа двойственности [см. «Математика XIX века» под редакцией А.Н.Колмогорова и А.П. Юшкевича, М., «Наука», 1981г., стр. 33-34], [1,стр. 427].

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Итак 3 4 1 p sin + p sin + 2 2 2 A(1,4) = - = 4 3 3 4 1 6 1 cos - - + ecos + cos + ecos + 2 2 2 2 2 2 2 = k(1,4)(sin( + )cos(1 - ) - sin(1 + )cos( - ) + esin(( + ) - (1 + )), (2) 3 4 6 6 4 3 3 4 p где k1.4 =, (cos( - ) + ecos( + ))(cos(1 - ) + ecos(1 + )) 4 3 4 3 6 1 6 3 p cos + p cos + 2 2 2 B(1,4) = - = 1 6 1 6 4 3 3 cos - - + ecos + cos + ecos + 2 2 2 2 2 2 2 = k(1,4)(cos(1 + )cos( - ) - cos(1 - )cos( + )), (3) 6 4 3 6 3 таким же образом C(14) = pk(1,4) sin((1 + ) - ( + )). (4) 6 3 Вынесем за знак определителя постоянные множители и отбросим их, e умножим 3-й столбец на и сложим с 1-м столбцом. В этом случае члены с p эксцентриситетом сократятся. Запишем определитель D, перед которым в качестве комментария укажем номера пересекающихся прямых sin( + ) cos( - ) cos(1 + ) cos(1 - ) sin((1 + ) - ( + )) 3 4 4 3 6 6 6 3 (1,4) :

sin( + 1) cos(1 - ) cos( + ) cos( - ) 6 6 3 4 4 sin( + ) cos( - ) cos(1 + ) cos( -1) sin(1 + ) - ( + )) 4 5 5 4 2 2 2 4 (2,5) :D = sin(1 + ) cos( - 1) cos( + ) cos( - ) 2 2 4 5 5 sin( + ) cos( - ) cos( + ) cos( - ) sin( + ) - ( + )) 5 6 6 5 2 3 3 2 2 3 5 (3,6) :

sin( + ) cos( - ) cos( + ) cos( - ) 2 3 3 2 5 6 6 (4) Пользуясь той же логикой рассуждений, что и при доказательстве теоремы Паскаля, мы устанавливаем, что определитель D = 0. Упражнение 1. Напишите программу расчета координат Q.

Указание. Используйте (5.11.-5), (5.11.-6), (2), (3), (4).

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.15. Принцип двойственности (взаимности, корреляции) Основатель классической теории корреляции немецкий ученый Ю.Плюккер (Julius Plcker (1801-1868).) Приведем из [1, стр.427] принцип двойственности: для всех предложений, относящихся к полюсу, хорде и ее продолжению (в оригинале поляра), касательной, можно получить «взаимное» предложение, заменяя слово «точки, принадлежащие линии» словами «касательные к линии», слово «полюс» словом «хорда». Можно выполнять и обратные замены. Этот принцип позволяет в два раза сократить количество доказываемых теорем.

Ниже мы дадим общее, независимое от вида представления эллипса, параболы или гиперболы, геометрическое истолкование связи между прямой и точкой, разделенными этой кривой.

Мы выяснили (5.2.-2), что каждой хорде однозначно соответствует свой полюс. Выберем некоторую точку на этой хорде. Проводя другие хорды через выбранную точку, получим новые координаты полюсов, соответствующие этим хордам.

Теорема. Геометрическое место полюсов, образованных данным образом, описывают прямую линию.

Доказательство. Пусть теперь две хорды пересекаются внутри коники (критерий внутреннего пересечения указан в (2.6)). Запишем условие, при котором третья хорда проходит через точку пересечения первых двух хорд cos01 + ecos1 sin01 - p coscos02 + ecos2 sin02 - p cos2 = 0. Вынесем общий множитель - p за знак cos03 + ecos3 sin03 - p cosопределителя и сложим 1-й столбец с 3-м, умноженным на - e. Тогда наше cos01 sin01 cosусловие запишется так cos02 sin02 cos2 = 0. (1) cos03 sin03 cosРасположим теперь эти хорды так, что точки 3-х полюсов, соответствующие данным хордам лежат на одной прямой. О том, что такое возможно, говорит Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение теорема Паскаля. Выведем необходимое и достаточное условие принадлежности p cos01 p sincos1 + ecos01 cos1 + ecosp cos02 p sinодной прямой 1 = 0. (2) cos2 + ecos02 cos2 + ecosp cos03 p sincos3 + ecos03 cos3 + ecosПосле простейших преобразований мы опять возвращаемся к условию (1). Тем самым мы доказали следующее пучку хорд, проходящих через одну точку внутри эллипса, параболы или гиперболы соответствует геометрическое место полюсов, лежащих на одной прямой.

С другой стороны, если рассматривать прямую, проходящую вне эллипса, параболы или гиперболы, как геометрическое место полюсов, то хорды, соответствующие выбранным точкам на прямой, пересекаются внутри нашей кривой в одной точке.

В более общем виде, мы можем сказать следующее: соответствующие прямая и точка, разделенные эллипсом, параболой или гиперболой, находятся во взаимно однозначном соответствии.

Поставим себе целью найти это соответствие. Сначала найдем уравнение прямой, являющееся геометрическим местом полюсов. Для этого возьмем p{cos01,sin01} p{cos02,sin02} координаты двух полюсов Q1 :, Q2 : и построим cos1 + ecos01 cos2 + ecosчерез них прямую. Вычислим коэффициенты этой прямой в общем виде psin02 p sinA = y2 - y1 = - = cos2 + ecos02 cos1 + ecosp(sin02 cos1 - sin01 cos2 + esin(02 -01)) =, (cos1 + ecos01)(cos2 + ecos02) p cos01 p cos01 p(cos01 cos2 - sin02 cos1) B = x1 - x2 = - =, cos1 + ecos12 cos2 + ecos02 (cos1 + ecos01)(cos2 + ecos02) - p2 sin(02 -01) C = y1x2 - y2x1 =.

(cos1 + ecos01)(cos2 + ecos02) Произведя упрощения, получим Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение (sin02 cos1 - sin01 cos2 + esin(02 -01))x + (cos01 cos2 - sin02 cos1) y - p sin(02 -01) = 0. (3) Этой прямой соответствует точка пересечения двух хорд (5.13.-5) p{sin02 cos1 - sin01 cos2, cos01 cos2 - cos02 cos1} N :. (4) sin(02 -01) + e(sin02 cos1 - sin01 cos2) Уравнения (3) и (4) не очень удобны для практической работы. Поэтому займемся их дальнейшим упрощением. Итак, вернемся к 1-й задаче: пусть дана точка пересечения двух хорд внутри коники с полярными координатами N : r0{cos,sin}. Найти взаимную прямую g (см.рис.1).

Построение. Можно построить сколько угодно пар хорд, пересекающихся в данной точке. Геометрически этот факт очевиден, а аналитически это следует из того, что в системе уравнений (5.11.-1) для данной задачи на 2 уравнения с известными x = r0 cos0, y = r0 sin0 четыре неизвестных угла 01,1,02,2.

Используя свободу в задании пары хорд, построим их таким образом, чтобы значительно упростить преобразования (3). Для этого проведем 1-ю хорду - Hчерез N так, чтобы биссектриса фокального угла также проходила бы через N.

Докажем, что это всегда возможно. В самом деле, тогда 01 =. Подставляя координаты N : r0{cos,sin} в 1-е уравнение (5.11.-1), получим (cos + ecos1)r0 cos + sin r0 sin = p cos1. Отсюда r0 + er0 cos cos1 = p cos1, rr0 = cos1( p - er0 cos), cos1 =. (5) p - er0 cos Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Предельный случай, когда N лежит на кривой, соответствует радиус-вектору в p данном направлении r0 =, что после подстановки в (5) дает 1+ ecos cos1 = 1, 1 = 0 (проверьте!). В этом случае взаимная прямая является касательной.

Итак, определена первая пара неизвестных углов 01,1. 2-ю хорду - H2 проведем таким образом, чтобы она совпала с биссектрисой фокального угла 1-й хорды, которая по построению проходит через N. Отсюда следует:

- 2-я хорда проходит через начало координат (в системе Кеплера - фокус);

- cos2 = 0 ; (см.5.4.-2) - биссектриса 2-й хорды биссектрисе 1-й хорды (см. 5.10. следствие 1).

Из двух возможных углов 02 = 01 ±, для определенности, выберем 02 = 01 + = +. (6) 2 Подставим найденные углы в (3) и после простейших преобразований (проведите их!) получим уравнение взаимности между внутренней точкой и взаимной прямой, с помощью которого по координатам этой точки находим уравнение взаимной прямой r0 cos r0 sin + ex + y - p = 0. (7) p - er0 cos p - er0 cos Переходя к декартовым координатам N :{x0, y0} внутренней точки, получим x0 y + ex + y - p = 0. (7а) p - ex0 p - ex Упражнение 1. Т.к. касательные взаимны с точками касания, через которые они проходят, то проверьте это утверждение для точек с полярными углами = и =.

Решим теперь обратную задачу: по уравнению прямой, заданной в общем виде Ax + By + C = 0, найти координаты взаимной точки. Заметим, что коэффициенты A,B,C могут быть заданы с точностью до некоторого постоянного коэффициента k. Кроме этого, координаты искомой точки N будем искать в Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение декартовой системе координат, заменяя в (7) выражения {r0 cos,r0 sin} на {x0, y0}.

x + e = kA, p - ex yТогда = kB, (8) p - ex = kC.

- p Предлагаем читателю решить эту систему относительно неизвестных x0, y0,k.

p( pA + eC) x = - p epA + C(e2 -1) Ответ. k =, координаты взаимной точки. (9) C y = - p2B epA + C(e2 -1) Упражнение 2. Доказать, что фокус и директриса являются взаимными по отношению друг к другу.

p Указание. Использовать уравнение директрисы x =.

e Упражнение 3. Доказать, что левый фокус эллипса и соответствующая ему директриса являются взаимными по отношению друг к другу.

5.16. Гармоническое соотношение В этом разделе мы продолжим изучать соотношения, возникающие при взаимодействии двух полярных треугольников, у которых продолжение хорды одного треугольника, проходит через полюс другого треугольника (см. рис.1.).

Рассмотрим отрезок секущей PAB1, которому, для определенности, придадим направление от PA к B1.

Далее, с целью избежания сложных индексов, присвоим точкам этого отрезка натуральные числа (перенумеруем точки) PA 1, B2 2, N 3, B1 4.

В соответствии с этой нумерацией ведем следующие радиус-векторы FPA = r1, FB2 =r, FN = r3, FB1 = r4, а также их полярные углы 1,2,3,4.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Нам понадобятся также следующие векторы B2PA = r2 - r1 = l21 ;

NB1 = r3 - r4 = l34, PAB1 = r1 - r4 = l14, B2 N = r2 - r3 = l23. Векторный характер этих отрезков мы понимаем так если направление отрезка совпадает с выбранным направлением исследуемой продолжения хорды, то длину отрезка мы берем со знаком “ + ”, при несовпадении направлений выбираем знак “ - ”. Напомним, что векторы, расположенные вдоль некоторой прямой и перемещающиеся только вдоль этой прямой, называются скользящими [1,§5], [2,§7].

Теорема. Для ориентированных отрезков секущей PAB1 выполняется гармоническое соотношениеl21l= -1. (1) l14l[См.1, §220].

Замечание. В том случае, если мы берем неориентированные отрезки, получим l21l=1. (1а) l14l Двойные отношения (данное отношение является частным случаем двойных отношений) были определены М.Шалем (Chasles, Michel (1793-1880) при изучении сообщений Папа о “Поризмах“ Евклида [11,стр. 83].

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Это легко объяснить, т.к. длины отрезков являются положительными числами, и их отношение, естественно, равно положительному числу.

Доказательство. Для упрощения вывода (1), преобразуем цель доказательства.

Рассмотрим ориентированные по основанию треугольники. Под данным термином здесь мы понимаем, что два треугольника имеют одинаковую ориентацию, если скользящие векторы их оснований коллинеарны, и противоположную, если они направлены в разные стороны. Докажем, что общая вершина этих треугольников может лежать в любой точке на плоскости и при этом отношение (1) не изменяется.

В самом деле, в этом случае у всех 4-х треугольников одинаковая высота h, которая равна расстоянию от выбранной точки до прямой PAB1, поэтому отношение ориентированных оснований равно отношению соответствующих ориентированных площадей (l21h)(l34h) S21S= = -1. (2) (l14h)(l23h) S14SЕсли исследуемый отрезок PAB1 проходит через фокус (фокальная хорда), то h = 0. Это приводит к неопределенности, и данный случай мы рассмотрим ниже.

Т.к. выбор общей вершины для рассматриваемых 4-х треугольников произволен, то возьмем эту вершину в центре координат - фокусе, поскольку к данному моменту мы знаем углы из фокуса к трем из четырех исследуемых точек 1,2,3,4.

С другой стороны, как известно, площадь любого треугольника равна произведению смежных сторон на синус угла между ними S = absin. В векторном виде площадь записывается с помощью векторного произведения S = [ab] = ab sin. (3) Объясним (3) подробнее. Возьмем в качестве смежных сторон a,b длины (т.е. скалярные величины) соответствующих радиус-векторов ri, которые впоследствии уйдут после сокращений общих множителей между числителем и Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение знаменателем. За векторный характер площади отвечает sin. Если sin > 0, то ориентация отрезка и продолжения хорды совпадают (они коллинеарны), и значение площади положительно. Если sin < 0, то, естественно, что площадь отрицательна. Ниже показано, что случай sin = 0 исключен.

Угол будем вычислять как разность углов между углом, который составляет с полярной осью сторона a и углом с полярной осью, который составляет сторона b. Заметим, что при изменении порядка вычисления углов в силу нечетности синуса знак у площади меняется на противоположный. Таким образом, ориентация основания треугольника напрямую связана с последовательностью вычисления углов при вершине треугольника. Отсюда (r2r1 sin(2 -1))(r4r3 sin(3 -4)) sin(2 -1) sin(3 -4) = = -1. (3) (r1r4 sin(1 -4))(r2r3 sin(2 -3)) sin(1 -4) sin(2 -3) Получена цепь эквивалентных соотношений: (1) (2) (3). Доказав (3), мы докажем, тем самым, справедливость (1) и (2).

Вернемся к случаю прохождения продолжения хорды через фокус. И числитель, и знаменатель (3) отличны от нуля, поскольку как минимум три точки из четырех находятся не на фокусе, а отсюда для всех -k 0. (В системе j координат Кеплера только внутренняя точка N пересечения хорд может находиться на фокусе.) Рассмотрим углы, используемые в (3). Первый угол 1 = 0A нам известен, углы 2 = 0B +, 4 = 0B - известны также. Как может убедиться читатель, B B можно изменить только знак у B - при этом значение (3) не изменится. Это означает, что последовательность рассмотрения углов 2,4 можно изменить на 4,2. Отсюда следует, что последовательность рассмотрения точек B1, Bзначения не имеет.

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.