WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 42 |

Следствие 3. Если секущая пересекает хорду A1A2 справа от центра хорды (см. рис. 3), то полюс PB в системе координат Кеплера будет лежать справа от кривой, если слева – то, соответственно, слева. Если секущая проходит через центр хорды, то она совпадает внутри кривой с диаметром (об этом более подробно в гл.6) и полюс PB лежит на ±. Во всех этих случаях точка полюса PB принадлежит продолжению хорды A1A2.

Упражнение 1. Пусть два полюса из следствия 2 расположены на разных ветвях гиперболы. Постройте рисунок, подобный рис. 3, и проанализируйте его.

5.11. Точка пересечения двух хорд Продолжим рассматривать систему из 3-полюсов PA, PB, PC, в которой два полюса PA, PC порождают третий полюс - PB (см. рис.1). Сразу заметим, что необходимым условием данной операции является то, что прямая, соединяющая эти два полюса, проходит через конику, т.е. является секущей к данной кривой.

Мы хотим найти полярные координаты PB.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Для этого запишем совместное уравнение двух хорд Ha, Hc (5.6.1.-2) (cos0A + ecos )x + sin0 A y = p cos, A A. (1) + e cosC )x + sin0C y = p cosC (cos0C Решим это уравнение методом Крамера cos0A + e cos sin0 A A определитель системы = = cos0 A sin0C + cos0C + ecosC sin0C + ecos sin0C - cos0C sin0 A - ecosC sin0 A = sin(0C -0 A) + e(sin0C cos A A - sin0 A cosC ), (2) cos sin0 A A определитель x = p = p(sin0C cos - sin0 A cosC ), (3) A cosC sin0C cos0A + ecos cos cos0A cos A A A определитель y = p = p = cos0C + ecosC cosC cos0C cosC = p(cos0 A cosC - cos0C cos ), (4) A координаты точки пересечения двух хорд x y p{sin0C cos - sin0 A cosC, cos0 A cosC - cos0C cos } A A PB = {, } =. (5) sin(0C -0 A) + e(sin0C cos - sin0 A cosC ) A В зависимости от взаимного расположения хорд, точка их пересечения может быть внутри кривой, на кривой, или вне кривой. Критерий этого положения мы получили, например, в 2.6. В этом разделе рассмотрим интерпретацию (5), когда точка пересечения является полюсом, т.е. находится вне кривой.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Если две хорды || друг другу (т.е. для задач на плоскости это равносильно их пересечению на ), то = 0 или sin(0C -0 A) + e(sin0C cos - sin0 A cosC ) = 0.

A Мы уже получали это соотношение (см. 5.6.1.-9а, 5.1.-5).

p{cos0B,sin0B} Из формулы полюса PB : (5.2.-2) и (5) получим полярные cosB + ecos0B координаты полюса, выраженные через полярные координаты хорд p r = B + e(sin0C cos - sin0 A cossin(kC -0 A)cos - sin0 cosC ), A cosC ) = (sin0C A 0B A, где k = const. (6) sin0B = k(cos0 A cosC - cos0C cos A), = k sin(0C -0 A).

cosB Представим, также, (6) с помощью определителей p r = B sin0C sin0 A sin(0C -0 A) + e cosC cos A sin0C sin0 A,, где k = const. (7) cos0B = k cosC cos A cos0 A cos0C sin = k cos cosC, 0B A = k sin(0C -0 A).

cosB Упражнение 1. Дополните рис.1 и докажите, что, вообще говоря, 0 A +0c 0B.

5.12. Точка пересечения диагоналей вписанного четырехугольника Теорема. Впишем выпуклый четырехугольник в конику и соединим противоположные углы диагоналями. Построим на двух противоположных сторонах четырехугольника полярные треугольники и соединим их полюса прямой. Докажем, что прямая, соединяющая эти полюса или ее продолжение проходит через точку пересечения диагоналей. (См. рис.1,2.) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Доказательство. Для того, чтобы три прямых пересекались в одной точке, A1 B1 Cнеобходимо и достаточно, чтобы A2 B2 C2 = 0, (*) A3 B3 Cгде Ai, Bi,Ci коэффициенты уравнения прямой в общем виде Aix + Bi y + Ci = [1,§114,6],[2,§60].

Запишем декартовы координаты конечных точек диагоналей p{cos1,sin1} p{cos2,sin2} p{cos3,sin3} p{cos4,sin4} T1 :, T2 : T3 : T4 :, а 1+ ecos1 1+ ecos2 1+ ecos3 1+ ecosтакже координаты полюсов 2 +1 2 +1 4 +3 4 +p{cos,sin } p{cos,sin } 2 2 2 P1 :, P2 :.

2 -1 2 +1 4 -3 4 + cos + ecos cos + ecos 2 2 2 Прямая T1T sin3 sin1 sin3 - sin1 + esin(3 -1) A1 = y3 - y1 = p - = p, (1+ ecos1)(1+ ecos3) 1+ ecos3 1+ ecos cos1 cos3 cos1 - cos B1 = x1 - x3 = p - = p, (1+ ecos1)(1+ ecos3) 1+ ecos1 1+ ecossin1 cos3 - sin3 cos1 - sin(3 -1) C1 = y1x3 - y3x1 = p2 = p2.

(1+ ecos1)(1+ ecos3) (1+ ecos1)(1+ ecos3) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Сократим все полученные коэффициенты на общий 3 - 2 psin 1 +3 3 - множитель, получая A1 = cos + ecos, (1+ ecos1)(1+ ecos3) 2 1 +3 3 -1 i B1 = sin, C1 = - p cos. Введем, для краткости, половинные углы =.

i 2 2 Тогда A1 = cos(1 + ) + ecos( -1), B1 = sin(1 + ), C1 = - p cos(3 - 1). (1) 3 3 Прямая T2T A2 = cos( + ) + e cos( - ), B2 = sin( + ), C2 = - p cos( - ). (2) 2 4 4 2 2 4 4 Прямая P1P3 4 1 p sin + p sin + 2 2 2 A3 = - = 4 3 3 4 2 1 1 cos - - + ecos + cos + ecos + 2 2 2 2 2 2 2 = k(sin( + )cos( -1) - sin(1 + )cos( - ) + esin(( + ) - (1 + )), 3 4 2 2 4 3 3 4 p где k =, (cos( - ) + ecos( + ))(cos( -1) + ecos(1 + )) 4 3 4 3 2 1 2 3 p cos + p cos + 2 2 2 B3 = - = 2 1 1 2 4 3 3 cos - - + ecos + cos + ecos + 2 2 2 2 2 2 2 = k(cos(1 + )cos( - ) - cos( -1)cos( + )), 2 4 3 2 3 таким же образом C3 = - pk sin(( + 3) - (1 + )). (3) 4 Сократим все коэффициенты на k и сформируем определитель (*). В третьем столбце вынесем за знак определителя коэффициент - p. Затем умножим 3-й столбец на - e и сложим с 1-м столбцом. В этом случае члены с эксцентриситетом сократятся. Запишем получившийся определитель cos(1 + ) sin(1 + ) cos( -1) 3 3 D = cos( + ) sin( + ) cos( + ). (4) 2 4 2 4 4 sin( + ) cos( - ) cos(1 + ) cos( - 1) 3 4 4 3 2 sin(( + ) - (1 + )) 4 3 sin(1 + ) cos( -1) cos( + ) cos( - ) 2 2 3 4 4 Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Будем упрощать этот определитель. Для этого рассмотрим клетку, стоящую по адресу 3-я строка, 2 столбец определителя 3-го порядка. Ее занимает cos(1 + ) cos( -1) 2 определитель 2-го порядка, состоящий из элементов типа cos( + ) cos( - ) 3 4 4 cos( ± ) = cos cos m sin sin. Прибавим к 1-му столбцу 2-й столбец этого определителя, а затем эту сумму вычтем из второго столбца. Тем самым в 1-м столбце сократится выражение типа sin sin, а во 2-м - cos cos. В итоге cos1 cos sin 1 sin 2 получится более простой определитель - 4. (5) cos cos sin sin 3 4 3 Вернемся к определителю 3-го порядка и проделаем с ним аналогичную процедуру: прибавим к 1-му столбцу 3-й столбец этого определителя, а затем полученный 1-й столбец вычтем из 3-го столбца. Вынесем коэффициент 4 за знак определителя. Во 2-м столбце 3-я строка полученного ранее определителя преобразуем следующим образом (проверьте!) cos1 cos sin1 sin 2 = sin(1 + )sin( - ) + sin( + )sin( -1).

3 4 2 2 4 cos cos sin sin 3 4 3 После упрощений имеем cos1 cos sin(1 + ) sin1 sin 3 3 D = k cos cos sin( + ) sin sin.

2 4 2 4 2 cos1 cos sin( - ) + sin(1 + )sin( - ) + sin1 sin sin( - ) + 3 4 2 3 4 2 3 4 + cos cos sin( -1) sin( + )sin( -1) sin sin sin( -1) + 2 4 3 2 4 3 2 4 (6) (Мы записали в 3-ей строке выражения в скобках, чтобы можно было их записать в две строки из-за длины.) Легко проверить, что если 1-ю строку, умноженную на sin( - ) сложить со 4 2-й строкой, умноженной на sin( -1) и полученную сумму вычесть из 3-ей строки, то вся 3-я строка будет состоять из одних 0. Отсюда D = 0 и диагонали пересекаются с прямой, проходящей через полюса в одной точке - N.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Доказанная теорема фактически эквивалентна теореме Ньютона (Newton)1.

Диагонали описанного четырехугольника и прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон его, пересекаются в одной точке.

Замечание. Четырехугольник может быть невыпуклым (см.рис.2).

Упражнение 1 [10, гл. IX, упр.3.]. Обосновать следующий способ построения касательных к конике из произвольной PA (рис.3). Прямые 1 и 2 проводятся произвольно, остальные прямые в порядке следования номеров.

5.13. Теорема Паскаля Теорема. Точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в часть эллипса, параболы или нераспадающуюся часть гиперболы, лежат на одной прямой. Cр.

[1,§214],[2,стр.681].

Доказательство. Мы предполагаем, что в нашем шестиугольнике нет || сторон, хотя можно доказать эту теорему и в общем случае.

Д.Ефремовъ. Новая геометрiя треугольника. Одесса. Типографiя Бланкоиздательства М.

Шпенцера, Ямская д. N64, 1902, стр. 37.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Перенумеруем хорды для краткости числами 1..6. Поэтому название хорд(поляр) (T6T1, T3T4), участвующих в пересечении продолжений будем записывать как (1,4), а точку их пересечения назовем Q1. Аналогично, для других хорд (T1T2, T4T5) (2,5) и Q2, (T2T3, T5T6) (3,6) и Q3.

С вершинами шестиугольника свяжем полярные углы, как и ранее в данной работе P1 1, P2 2,…, P6 6.

Подготовим к расчету углы отклонений i, где i =1,6, в которых для простоты произведем замену переменных (см.5.12) 1 -6 1 6 2 -1 3 -1 = = - = 1 -, 2 = = -1, 3 = = -, 6 2 3 2 2 2 2 4 -3 5 -4 6 -4 = = -, 5 = = -, 6 = = -. (1) 4 3 5 4 6 2 2 Аналогично для направления биссектрис 0i, где i =1,Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 1 +6 1 6 2 +1 3 +01 = = + = 1 +, 02 = = + 1, 03 = = +, 6 2 3 2 2 2 2 4 -3 5 -4 6 -4 = = -, 5 = = -, 6 = = -. (2) 4 3 5 4 6 2 2 Из (5.11.-6), представленной с помощью определителей, получим sin( + ) sin(1 + ) cos(1 + ) cos( + ) 6 6 3 p 3 cos( - ) cos(1 - ), cos(1 - ) cos( - ) p{cos0Q,sin0Q } 4 3 6 6 4 1 Q1 : =, sin( + ) sin(1 + ) cosQ + ecos0Q 3 4 1 sin((1 + ) - ( + )) + e 6 3 cos( - ) cos(1 - ) 4 3 sin( + ) sin(1 + ) cos(1 + ) cos( + ) 2 2 4 p 4 cos( - ) cos( -1), cos( -1) cos( - ) p{cos0Q,sin0Q } 5 4 2 2 5 2 Q2 : =, sin( + ) sin(1 + ) cosQ + ecos0Q 4 5 2 sin(1 + ) - ( + )) + e 2 4 cos( - ) cos( -1) 5 4 sin( + ) sin( + ) cos( + ) cos( + ) 2 3 2 3 5 p 5 6, cos( - ) cos( - ) cos( - ) cos( - ) 6 5 3 2 3 2 6 p{cos0Q,sin0Q } 3 Q3 :. (3) sin( + ) sin( + ) cosQ + e cos0Q 5 6 2 3 sin( + ) - ( + )) + e 2 3 5 cos( - ) cos( - ) 6 5 3 Пусть 3 точки {x1, y1}, {x2, y2}, {x3, y3} лежат на одной прямой. Тогда x1 y1 x2 y2 1 = 0. (4) x3 y3 Подставим координаты Q1, Q2, Q3 на соответствующие места в определитель (4), который мы назовем полным. С другой стороны, внутренние элементы 1-го и 2-го столбца в свою очередь будут состоять из определителей 2го порядка. Такая структура в теории матриц носит название клеточной.

Приведем к общему знаменателю элементы во всех строках и вынесем pобщие множители ki. j = за (cos( - ) + ecos( + ))(cos( - ) + ecos( + )) i j i j l k l k знак определителя. Т.к. мы предположили, что в нашем шестиугольнике нет || сторон, то и Q1, Q2, Q3 находятся не на. В силу этого 0 < ki. j < и все коэффициента можно опустить, т.к. для проверки: равен ли определитель нулю, конечные, не равные нулю, коэффициенты роли не играют.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Умножим 1-й столбец на - e и сложим с третьим столбцом. В этом случае члены с эксцентриситетом сократятся. Запишем определитель D, перед которым в качестве комментария в круглых скобках укажем номера пересекающихся хорд sin( + ) cos( - ) cos(1 + ) cos(1 - ) sin((1 + ) - ( + )) 3 4 4 3 6 6 6 3 (1,4) :

sin( + 1) cos(1 - ) cos( + ) cos( - ) 6 6 3 4 4 sin( + ) cos( - ) cos(1 + ) cos( - 1) sin(1 + ) - ( + )) 4 5 5 4 2 2 2 4 (2,5) :D = sin(1 + ) cos( -1) cos( + ) cos( - ).

2 2 4 5 5 sin( + ) cos( - ) cos( + ) cos( - ) sin( + ) - ( + )) 5 6 6 5 2 3 3 2 2 3 5 (3,6) :

sin( + ) cos( - ) cos( + ) cos( - ) 2 3 3 2 5 6 6 (5) Возьмем пример из (5.12), где мы преобразовывали аналогичные определители 2 порядка по следующей схеме sin( + ) cos( - ) cos1 cos sin( - ) + 3 4 4 3 3 4 = 4. Воспользуемся данным sin(1 + ) cos( - 1) cos cos sin( - 1) 2 2 + 2 4 преобразованием, как прототипом, и только будем ставить соответствующие индексы в каждом случае.

Для 1-й строки нашего определителя подстановка [10,§3] индексов будет 3 4 2 следующей 3 4 1 6. Это означает, что индексы 3, 4 останутся без изменения, индекс 2 переходит в индекс 1, а 1 в 6. Далее, аналогично для 2-й 3 4 2 1 3 4 1 строки - 4 5 2 1, для 3-й строки - 6 2 3.

Таким образом, соберем весь преобразованный определитель cos cos sin( -1) + sin( + )sin( -1) + sin sin sin( -1) + 6 3 4 6 3 4 6 3 + cos1 cos sin( - ) sin(1 + )sin( - ) sin1 sin sin( - ) + 4 3 6 4 3 6 4 3 cos1 cos sin( - ) + sin(1 + )sin( - ) + sin1 sin sin( - ) + 4 5 2 4 5 2 4 5 + + sin sin sin( -1).

D = k cos cos sin( - 1) sin( + )sin( -1) 2 5 4 2 5 4 2 5 cos cos sin( - ) + sin( + )sin( - ) + sin sin sin( - ) + 2 5 6 3 2 5 6 3 2 5 6 + cos cos sin( - ) sin( + )sin( - ) sin sin sin( - ) + 3 6 5 2 3 6 5 2 3 6 5 Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение (6) Т.к. каждая строка определителя состоит из суммы элементов, то данный определитель можно представить в виде суммы из 2 2 2 = 8 определителей [10,§4, свойство 7]. Но только у двух слагаемых из восьми не повторяются строки.

Следовательно, только они не равны нулю. Выпишем их cos cos sin( + ) sin sin 6 3 6 3 6 cos1 cos sin(1 + ) sin1 sin 4 4 D1 = k sin( - 1)sin( - )sin( - ), (7) 4 5 2 6 cos cos sin( + ) sin sin 2 5 2 5 2 cos1 cos sin(1 + ) sin1 sin 4 4 cos cos sin( + ) sin sin 2 5 2 5 2 D2 = k sin( - )sin( -1)sin( - ). (8) 3 6 4 5 cos cos sin( + ) sin sin 3 6 3 6 3 Определители (без учета коэффициентов), стоящие в формулах (7) и (8) равны, т.к. 1-й переходит во 2-й при помощи 2-х перестановок строк. Но из-за того, что sin( - ) = -sin( - ) и, следовательно, коэффициенты перед определителем 6 3 3 разных знаков, то D1 + D2 = 0, откуда D = 0. Отсюда следует, что Q1, Q2, Q3 лежат на одной прямой.

5.14. Теорема Брианшона Теорема. Прямые, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, описанного около действительной невырождающейся коники, проходят через одну точку1 (рис.1).

Шарль Жюльен Брианшон (Charles Julien Brianchon (1785-1864)), капитан артиллерии, впоследствии профессор артиллерийской школы в мемуаре «О кривых поверхностях второго порядка» (Sur les surfaces courlbes du second ordre.- J.Ec.Polyt.,1806) опубликовал теорему об описанном шестиугольнике вокруг коники - двойственную теореме Паскаля. Это был первый шаг в Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Мы предполагаем, что в нашем шестиугольнике нет полюсов, которые бы были удалены на, но мы предлагаем читателю впоследствии доказать эту теорему и в общем случае.

Доказательство теоремы Брианшона, которое мы сейчас проведем, практически аналогично доказательству теоремы Паскаля. В частности, мы получим для анализа точно такой же определитель, как и в (5.13.-5).

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.