WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 42 |

Вот уже много лет с помощью этой функции мы можем легко конструировать различные векторные графические алгоритмы. В данной работе рассмотрены некоторые аналитические свойства этой функции.

Предисловие автора Оказалось, что функция направления заменяет все 4 обратные тригонометрические функции: arccos(x) ; arcsin(x) ; arctg(x) arcctg(x). Более того, работать с этой функцией существенно проще, чем с каждой из ее классических предшественниц. Поясним: не надо постоянно оглядываться на область определения функции, т.к. эта функция определена на целом круге произвольного радиуса и произвольно смещенного относительно центра координат.

В связи с этим, были пересмотрены в сторону значительного упрощения многочисленные классические методики решения тригонометрических уравнений, обычно изучаемые в средней школе. Вне всякого сомнения: внедрение этих методик существенно сократит изложение соответствующих разделов тригонометрии и повысит интерес у учащихся к курсу тригонометрии в целом. Для примера приведены решения нескольких задач, рассматриваемые обычно как задачи повышенной трудности.

Одним из интересных результатов этой работы явилось нахождение равных рядом расположенных углов. Поэтому слово “биссектриса”, пожалуй, наиболее употребляемый термин данной работы.

Проводя исследования в этом направлении, мы самостоятельно доказали теорему и провели анализ свойств по теме ”биссектриса фокального угла треугольника, образованного радиус-векторами” (см. верхний рис. на обложке).

Примерно через год, после напряженных поисков, выяснилось, что в 1685 г. эта теорема в неполном объеме была опубликована выдающимся французским естествоиспытателем Лагиром (Philippe de la Hire 1640-1718) в его знаменитой работе на латинском языке “Sectiones Conicae in Novem Libros Distributae”1. Эта теорема (следствия ни тогда, ни потом так и не были открыты) цитировалась в каждом серьезном учебнике по геометрии на протяжении порядка 2,5 столетий (в начале 4-й главы приведен из [22] список этих работ). Ввиду отсутствия в этих учебниках практических приложений по данному вопросу, интерес к этой важнейшей (с нашей точки зрения) теореме постепенно угас, и в современных Эта работа несколько раз цитируется И.Ньютоном в его “Математических принципах натуральной философии”. Далеко не каждый труд, доступный в то время Ньютону, удостаивался такой чести.

Ф.Лагир был учеником Дезарга (Desarques G. 1593-1662), основателя проективной геометрии, и, как замечает А.Н.Боголюбов, активно пропагандировал синтетические методы в противовес аналитическим.

Предисловие автора учебниках (как русских, так и иностранных) эта теорема вообще не приводится.

Или приводится в очень сжатом виде только для параболы [6,N648].

Для нас данная теорема - центральная. С ней, в той или иной мере, связаны основные (как новые, так и уже известные) результаты данной работы.

Объясним этот важный момент подробнее.

Во-первых, эти результаты проявляются только в полярных координатах.

Этим и объясняется, что они до сих пор не были получены. Во-вторых, нам удалось найти новые решения и новую интерпретацию “школьного” уравнения cos x + sin =1. Новые решения этого уравнения, функция направления, полярное уравнение, теорема Ф.Лагира и полярный координатный метод в сочетании с многослойным подходом вместе взятые, оказались той основой, на которой построена данная работа. Сама по себе (без приложений) теорема Ф.Лагира просто любопытна.

Интересным полученным результатом (кстати, очень простым по форме) явилась оптимизационная теорема ”свойство медианы полярного треугольника”.

Эта теорема (см. нижний рис. на обложке) позволяет элементарными методами и инструментами: карандашом, циркулем и неразмеченной односторонней линейкой точно предсказать точку максимального отклонения дуги эллипса, параболы или гиперболы от хорды, соединяющей концы этой дуги (другими словами в какой мере квадратичный процесс отличается от линейного).

Мы считаем, что в такой постановке эта теорема может быть полезна каждому научному работнику, каждому исследователю. Хочется обратить внимание на этот результат специалистов по теории аппроксимации и по теории оптимизации. (Мы имеем положительный опыт применения данной теоремы в задачах дизайна и задачах авиапромышленности.) Пока не доказано, что все задачи о конических кривых, решаемые с помощью классических методов, имеют решение предлагаемым методом. С другой стороны, приведенные ниже решения достаточно большого числа классических задач, убеждают нас в правильности выбранного пути. Причем, как правило, наше решение короче классического, а также легче запоминается, в связи с тем, что полярные координаты неоднородны и каждая полярная координата “отвечает” за свой элемент преобразования: координаты фокуса за положение фигуры в пространстве, эксцентриситет – за степень сжатия, Предисловие автора фокальный параметр – за масштаб, и т.д. Объяснение простое - память человека легче запоминает разнородную информацию, чем такого же объема однородную.

Во втором случае нужно еще запомнить дополнительные отличия, например, порядковый номер элемента. Пример из аналитической геометрии: без достаточных усилий сложно запомнить, чему соответствует каждый элемент квадратичной формы. (Риторический вопрос: а нужны ли, вообще говоря, эти усилия) Пример из повседневной жизни: при встрече с близнецами возникает множество смешных коллизий.

Важно также, что полярное уравнение описывает только следующие кривые: эллипсы (частный случай - окружности), параболы и гиперболы. И ничего более.

Общее же уравнение кривой 2-го порядка описывает 9 аффинно независимых классов линий 2-го порядка. Кроме перечисленных выше, там есть:

мнимый эллипс, 2 мнимые пересекающиеся прямые, 2 действительные пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, 2 параллельные мнимые прямые, 2 совпадающие прямые [16,стр. 543]. Понятно, что такая 3-х кратная избыточность серьезно осложняет как исследование, так и преподавание данной темы.

Обратим внимание читателя, также, на поиски инвариантов системы.

Классическая методика достаточно сложна и конечные классические формулы громоздки.

Наш же подход к данному вопросу отличается простотой и доступен школьнику со средними математическими способностями. Известно, что классическая теория вычисляет ортогональные инварианты с точностью до некоторых коэффициентов [18,§260]. С другой стороны, нами определены и исследованы абсолютные ортогональные инварианты данной кривой. Как оказалось, новый подход уточняет классическую теорию инвариантов и дает у двух квадратичных форм, описывающих одну и ту же кривую, одинаковый результат. Кроме того, существенно упрощается интерпретация классических относительных инвариантов и приведение конических кривых к нормальной форме.

Особенно эффективным получилось исследование темы «Диаметр». Дано новое определение диаметра и установлена связь его конструкции с теоретикоПредисловие автора множественным отношением “эквивалентность”. Этими и вышеупомянутыми методами получено достаточно большое число новых полезных формул.

Несколько слов по поводу стиля работы. Работа специально выполнена самым простым стилем, с целью сделать изложение материала как можно более увлекательным и доступным самому широкому кругу читателей. Например, большая часть доказательств будет понятна школьникам старших классов, интересующихся математикой. С другой стороны, мы старались строго доказать все высказывания. Для полного понимания работы необходимо владение теорией определителей (правда, некоторые сложные теоремы здесь не применяются). Мы рекомендуем в этом плане будущим математикам прекрасный учебник А.Г.Куроша [14]. Кроме того, те свойства определителей, которые используются в данной работе, вынесены для справочных целей в дополнение.

На тему легкости чтения книги лучше всего говорит следующая цитата.

Александр Македонский, обращаясь по рекомендации философа Аристотеля к его другу, геометру Менехму, просил лично для себя указать самый легкий путь изучения геометрии. На что смелый геометр ответил: «О, царь! В каждой стране есть дороги для царей и дороги для обычных граждан, но в геометрии есть одна дорога для всех!» Тем самым мы хотим предупредить читателя: несмотря на максимально простой стиль и доступность освещаемых вопросов, потребуется немало времени и терпения, чтобы освоить всю книгу.

При выводе формул мы систематически переходим от общего к частному и сверяем новую формулу с ранее полученным результатом1. Тем самым мы проверяем себя еще раз, а также приучаем к этому хорошему стилю юного читателя. Поэтому, например, для данной работы типично упражнение: рассчитать длину большой и малой оси эллипса. Пусть читателя такая многократная просьба не смущает, т.к. каждый раз это нужно делать различными способами, но в рамках единого метода.

Одна из целей, которую мы ставили перед собой, было создание полного справочника по представлению элементов эллипсов, парабол и гипербол в полярных координатах. В силу этого, количество рассмотренных элементов в данной работе уже действительно большое. Однако абсолютной полноты пока, к сожалению, нет. Несмотря на достаточно большой объем работы, пропущены Особенно замечательно пользовался этим приемом Л.Эйлер.

Предисловие автора несколько важных теорем Аполлония, а также известные результаты других авторов: Ф.Лагира, Хуго Гамильтона (Hugh Hamilton 1729-1805) и др.. Причины здесь следующие.

Во-первых, в математике и в астрономии на сегодняшний день накоплено очень большое число результатов по данной теме, во-вторых, нас интересует реакция читателей на уже сделанную часть работы, а в-третьих, мы надеемся в будущих изданиях существенно расширить перечень изучаемых вопросов данным методом. Подготовка к этому уже начата.

Отметим также, что мы, насколько это было возможно, воздерживались от введения новых понятий или переопределения существующих. Но многозначность в современной математической литературе (в особенности, в русской ее части) таких базовых для этой темы понятий, как “полюс” или “полярная ось”, привело к тому, что пришлось уточнить некоторые определения. А некоторые ввести. Но мы старались это сделать аккуратно, с оглядкой на многотысячелетнюю историю предмета. Насколько это удалось – судить читателю.

Подводя черту, скажем: мы будем очень благодарны всем, кто выскажет обоснованное мнение, пусть даже очень критическое, по поводу данной работы.

Хочется поблагодарить сотрудников 2-х университетских библиотек Ганновера (ФРГ) и центральной библиотеки земли Нижняя Саксония, 2-х университетских библиотек Геттингена (ФРГ), сотрудников библиотеки Московского Государственного Университета (РФ), сотрудников Российской национальной библиотеки Петербурга (РФ), сотрудников университетской библиотеки Харькова и сотрудников библиотеки-кабинета мехмата Харьковского Университета (Украина) за помощь и участие в проделанной работе.

Глубокую благодарность хочется высказать профессорам Орешко Н.И. и Солунскому В.И. за ряд ценных замечаний и конкретную помощь.

То содействие работе, которое оказано редакцией МЦМНО (Москва, РФ), особенно ценно.

А теперь продолжим изучение вечно прекрасных и загадочных форм эллипсов, парабол и гипербол.

M.Shpigelman@freenet.de Тел. (049) (0511) 47 333 M.Shpigelman, Remarqueweg 8, 30455 Hannover, BRD Термины, соглашения, сокращения, структура работы Термины, соглашения, сокращения, структура работы Мы используем “()” для внутренних ссылок: для нумерации формул и рисунков, которые мы начинаем с 1 в каждом разделе.

“[]” применяем для ссылок на используемую литературу, “{}” для обозначения векторных величин.

Внутренние ссылки внутри одного раздела мы обозначаем (NN), где NN – номер формулы, на который указывает ссылка. Если ссылка формулы идет на другой раздел, то мы пишем полный адрес ссылаемой формулы: (G.MM.KK.LL.NN), где G – номер главы (1-уровень), MM – номер раздела – 2 уровень, KK – номер подраздела – 3 уровень и т.д. В конце ссылки, после знака минус “ - ” мы пишем номер ссылаемой формулы. Почти идентично построены ссылки в прекрасном американском справочнике по математике Г.Корн, Т.Корн [11], который мы взяли в этом плане за основу. Это построение позволило нам отказаться от архаичной линейной нумерации в виде §NN и собирать излагаемый материал в блоки более сложной структуры. С одной стороны, такое объединение материала более удобно для читателя, с другой стороны, автору проще осуществлять операции вставки/удаления разделов (следующее за этим изменение в нумерации ссылок затрагивает только самый нижний уровень разделов).

Одноразовые ссылки на используемую литературу мы располагаем в виде сноски внизу той страницы, на которой они использовалась. Таким образом, в конце работы собраны только принципиальные ссылки.

Комментарии в приведенных алгоритмах обозначаем как //, так и /*…*/.

Конец логического утверждения, определения, доказательства, в том случае, если это неочевидно, мы завершаем символом.

Под структурой понятия система координат, мы понимаем следующие компоненты:

1) метод (способ расчета) координат; 2) начало координат; 3) масштаб 4) ориентация координат.

В данной работе мы используем плоские, прямоугольные, правосторонние, с одной и той же единицей длины по обеим осям, декартовы координаты. Другим координатным методом, которым мы будем пользоваться, являются плоские, Термины, соглашения, сокращения, структура работы правосторонние полярные координаты. Для радиус-вектора мы используем ту же единицу длины, которую применяем для осей декартовых координат, углы измеряем в радианах и рядом записываем в скобках значение в градусах:

(300). Мы, как правило, совмещаем центр декартовой и полярной систем координат, а также направление оси абсцисс и полярной оси (определение ниже).

Это позволяет нам решать фрагменты задачи в наиболее подходящей для этой цели системе координат1.

Точки обозначаем жирным шрифтом: A,..P чаще всего с некоторым индексом внизу: A1, P2.

Выражение P1 :{x, y} говорит о том, что к настоящему времени точка Pимеет следующие декартовые координаты: абсциссу x и ординату y.

Запишем операцию присваивания новых координат A = {2,3}.

Две коллинеарные прямые (т.е. параллельные или совпадающие прямые) без учета их ориентации обозначаем ||, коллинеарные прямые с одинаковым направлением -, с противоположными направлениями (антипараллельные) обозначаем -. В этом вопросе мы следуем [16]. Слово перпендикулярный в большинстве случаев заменено на знак.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.