WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 42 |

Угол при полюсе. Предварительно заметим, что при изменении разность между направлениями ang(P,T2 ) и ang(P,T1) становится то больше, то меньше 0 (убедитесь в этом с помощью чертежа!). В силу этого, и учитывая (1.2.6.-17), искомую разность направлений будем вычислять, используя знак абсолютной величины.

p{cos0,sin0} p{cos(0 + ),sin(0 + )} = ang(P,T2 ) - ang(P,T1) = ang, - cos + ecos0 1+ ecos(0 + ) p{cos0,sin0} p{cos(0 - ),sin(0 - )} - ang,.

cos + ecos0 1+ ecos(0 - ) Преобразуем 1-е слагаемое p cos(0 + ) p cos0 p sin(0 + ) psinang(P,T2 ) = ang0, 1+ ecos(0 + ) - cos + ecos0, 1+ ecos(0 + ) - cos + ecos0 = = ang(0, k0k2{(cos0 cos - sin0 sin ) (cos + ecos0) - cos0(1+ e(cos0 cos - sin0 sin )), (sin0 cos + cos0 sin ) (cos + ecos0) - - sin0(1+ e(cos0 cos - sin0 sin )) = ang(0, k0k2{cos0 cos2 + ecos2 0 cos -sin0 cos sin - ecos0 sin0 sin - cos0 - ecos2 0 cos + ecos0 sin0 sin, sin0 cos2 + ecos0 sin0 cos + cos0 cos sin + ecos2 0 sin - sin0 - ecos0 sin0 cos + esin2 0 sin}) = ang(0, k0k2{- cos0 sin2 - sin0 cos sin, - sin0 sin2 + cos0 cos sin + esin}) = ang(0, k0k2{- cos0 sin - sin0 cos, Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение - sin0 sin + cos0 cos + e}). В процессе преобразований мы сократили на постоянный положительный множитель psin (sin > 0, т.к. 0 < ). Постоянные множители k0k2 = могут быть отрицательны, поэтому (cos + ecos0)(1+ ecos(0 + )) мы их оставляем для последующего исследования.

Аналогично преобразуем 2-е слагаемое - ang(P,T1) = ang(0,k0k1{-cos0 sin + sin0 cos, - sin0 - cos0 cos - e}).

Используя (1.2.1.-15) находим сумму ang(0, k0 k1k2{cos2 0 sin2 - sin2 0 cos2 + (cos0 cos + e)2 - sin2 0 sin2, - (-sin0 + cos0 cos + e)(cos0 sin + sin0 cos ) + + (sin0 + cos0 cos + e)(cos0 sin + sin0 cos )}) = = ang(0,k1k2{cos2 0 sin2 - sin2 0 cos2 - cos2 0 cos2 - 2ecos0 cos - e2 + sin2 0 sin2, cos0 sin0 sin2 - sin2 0 cos sin - cos2 0 cos sin + cos0 sin0 cos2 - ecos0 sin + + esin0 cos - cos0 sin0 sin2 - sin2 0 cos sin - cos2 0 cos sin - cos0 sin0 cos2 - ecos0 sin - esin0 cos = = ang(0,k1k2{-(e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ), - 2sin (cos + ecos0)) = ang(0, s{-(e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ), - 2sin (cos + ecos0)}).

Т.к. k1k2 = sign(k1k2) k1k2, то мы можем сократить на общий положительный множитель k1k2, а функцию знак sign(k1k2) = sign( ) = (1+ ecos(0 - ))(1+ ecos(0 + ) = sign((1+ ecos(0 - ))(1+ ecos(0 + )) далее для краткости, как и ранее, обозначим как s. Заметим, что s > 0, если оба радиус-вектора положительны или отрицательны. Если же отрицателен только один из них, то s < 0.

Применяем теперь операцию абсолютной величины для последнего аргумента и, учитывая, что s = 1, имеем = ang(0,{-s(e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ), 2sin (cos + ecos0) ). (17) Рассмотрим, как влияет смежное преобразование 0'= 0 +, '= - на 3-й параметр - sign((1+ ecos(0 + - ( - )))(1+ ecos((0 + ) + ( - ))) (e2 + 2ecos(0 + )cos( - ) + cos 2( - )) = - s(e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ).

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Таким образом, 3-й параметр остается без изменения. 4-й параметр, находящийся под знаком абсолютной величины, естественно, тоже не изменяется.

5.7.2. Углы между радиус-векторами и хордой 1 вариант Рассмотрим фокальный FT1T2 (см. рис.1). Зная длину хорды Lh (5.4.-4) и применяя теорему синусов, мы можем составить уравнения для углов 1, 2 :

Lh r1 r = =. (1) sin 2 sin2 sin2 вариант Лемма. Если, опущенный на основание треугольника, пересекает это основание, то двe других стороны этого треугольника образуют с этим основанием острые углы (см.рис.2).

Если, опущенный на основание треугольника, совпадает с одной из боковых сторон, то этот треугольник – прямоугольный (см.рис.3).

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Если, опущенный на основание треугольника, пересекает продолжение основания, то этот треугольник – тупоугольный (см.рис.4).

Предоставляем доказать эту лемму читателю.

1-е условие леммы эквивалентно тому, что находится внутри угла при вершине треугольника (докажите!).

Собственно говоря, этой частью леммы мы и хотим воспользоваться.

Опустим из фокуса (центра координат в системе Кеплера) на хорду. Очевидно, что этот совпадает с нормальным вектором (см. также 1.5.2.-8). Угол, под которым выходит нормальный вектор из фокуса = ang(0,{cos0 + ecos,sin0}), боковые стороны выходят из фокуса под углами 1,2 = ang(0,{cos(0 m ),sin(0 m )}). Если мы докажем, что 1 < < 2 ), то это будет означать (см. лемму), что углы при основании фокального треугольника – острые.

Для доказательства воспользуемся свойством возрастания ang() в тригонометрическом представлении (см.1.2.1.-12*) ang(0,{cos(0 -,sin(0 - )}) < ang(0,{cos(0 +,sin(0 + )}).

Заметим следующее: тройки чисел числителей и знаменателей упорядочены по возрастанию или по убыванию (это зависит от угла 0 ). Тогда sin(0 - ) < sin0 < sin(0 + ) или sin(0 - ) > sin0 > sin(0 + ). Аналогично имеем у знаменателя Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение cos(0 - ) < cos0 + ecos < cos(0 + ) или cos(0 - ) > cos0 + ecos > cos(0 + ) (направление неравенств числителя и знаменателя независимы друг от друга) и, кроме того e 1. В силу непрерывности тригонометрического представления ang(0,{cos,sin}) от имеем 1 < < 2. Из этого следует (см. лемму), что углы при основании фокального треугольника – острые.

Благодаря лемме, мы можем найти искомые углы, вычисляя в любом порядке разность между направлениями нормальных векторов. Используя уравнение радиус-вектора xsin - y sin = 0 (см.3.1.1.-5) получим 1,2 = ang(0,{sin(0 - ),cos(0 - )}) - ang(0,{cos0 + ecos,sin0}) = = ang(0,{sin(0 - )(cos0 + ecos ) - cos(0 - )sin0, - cos(0 - )(cos0 + ecos ) - - sin0 sin(0 - )}).

Выполним промежуточные вычисления 1 sin(0 - )cos0 = (-sin + sin(20 - )); - sin0 cos(0 - ) = - (sin + sin(20 - )), 2 1 - cos(0 - )cos0 = - (cos + cos(20 - )), - sin0 sin(0 - ) = - (cos - cos(20 - )) 2 С учетом леммы 1 = ang(0,{- sin + ecos sin(0 - ), cos (1+ ecos(0 - )}). (3) (Чтобы получить 2 нужно в (3) сделать подстановку -, т.е. изменить знак у ).

И, окончательно, 1,2 = ang(0,{m sin + ecos sin(0 m ), cos (1+ ecos(0 m )}). (4) 5.7.3. Углы между биссектрисой фокального угла и хордой 1.Классический подход (cos0 + ecos ) Нам известен тангенс угла наклона хорды (5.6.1.-5) и - sinsin тангенс угла наклона биссектрисы фокального угла (5.5.-1). Пользуясь cos формулой тангенса угла наклона между двумя прямыми, если известны тангенсы Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение углов наклона каждой прямой [1,стр.208,6] и соблюдая правило обхода прямых (cos0 + ecos ) sink2 - k1 - sin0 cosпротив часовой стрелки, получим tg(k1, k2) = = = 1+ k2k1 1+ (cos0 + ecos ) sin- sin0 coscos2 0 + ecos0 cos + sin2 0 1+ ecos0 cos = =. (1) - sin0 cos0 + sin0 cos0 + ecos sin0 esin0 cos Отсюда 2 = ang(0,{esin0 cos,1+ ecos0 cos}). (2) Угол 1 является смежным по отношению к, поэтому 1 = -. (3) 2 Аналогичный расчет углов для невыпуклого четырехугольника фокус-полюс (см. рис.1) предоставляем сделать читателю.

2. Подход с помощью угла между нормальными векторами Т.к. нормальный вектор биссектрисы фокального угла n0 = {sin0,-cos0}, а нормальный вектор хорды nh = {cos0 + ecos,sin0}, то найдем угол между этими векторами h0 = ang(0,{cos0 + ecos,sin0}) - ang(0,{sin0,- cos0}) = = ang(0,{(cos0 + ecos )sin0 + (-cos0)sin0,sin2 0 + cos0(cos0 + ecos ))}) = = ang(0,{esin0 cos,1+ ecos0 cos}).

Минимальный, из смежной пары углов, будет (1.2.1.-29) = ang(0,{esin0 cos, 1+ ecos0 cos }). (4) Тогда другой смежный угол (1.2.1.-24) 1 = - = ang(0,{-e cos sin0, 1+ ecos0 cos }). (5) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.8. Длина касательной от точки касания до полюса Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 1-й вариант Рассмотрим FPT1 (см. рис.1). Мы знаем, что длины радиус-векторов p p FT1,2 = r1,2 =, а расстояние до полюса (5.1.-2) LFP =.

1+ ecos(0 m ) cos + ecosТогда по теореме косинусов LPT,PT2 = r122 + L2 - 2r1,2LFP cos. (1), FP 2-й вариант Выведем длину касательной, рассматривая площадь FT1P FP FT1,2 PT1,2 d1, sin =, где d1,2 -, опущенный из фокуса на соответствующую 2 p касательную. Т.к. d1,2 = (3.2.2.-1а), то, применяя (5.2.-1), получим 1+ 2e cos1,2 + epsin 1+ 2ecos1,2 + ePT1,2 =. (2) (cos + ecos0)(1+ ecos1,2) Упражнение 1. Найти длину отрезков касательной от точек касания до полюса из (рис.2).

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Решение. Очевидно, что длина искомых отрезков совпадает с длиной полуосей. Докажем это для касательной PA1. Из (2), (3.5.1.-7), (1.2.1.-23) 1 = 0, 2 = ang(0,{-e, 1- e2 }), = 0 = ang(0,{-e, 1- e2 }) = ang(0,{ 1- e2,1+ e}).

Из (1.2.3.-2а), (1.2.3.-3а) 1- e2 1- e 1+ e 1+ e cos = cos0 = =, sin = =, 2 1+ e 1- e2 +1+ 2e + e2 1+ e p (1+ e) psin 1+ 2ecos1 + ep PA1 = = =. (Ср.3.5.1.-8) (cos + ecos0)(1+ ecos1) 1- e 1- e(1+ e) (1+ e) Вывод длины касательной PB1 предоставляем читателю.

5.9. Некоторые площади фигур, ограниченные прямыми 5.9.1. Площадь фокального треугольника (В данном разделе предполагаем, что хорда не проходит через фокус, т.к.

тогда искомая площадь треугольника равна 0. Однако наши рассуждения годятся и для этого случая.) 1 способ r1r2 sin(2 -1) p2 sin(2 - 1) Из (рис.1) следует SFT T2 = =. (1) 2 2(1+ ecos1)(1+ ecos2) Ранее (5.6.2.-1а) мы находили знаменатель без коэффициента Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение (1+ ecos1)(1+ ecos2) = ((cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 0). (2) p2 sin(2 ) Отсюда SFT T2 =. (3) 2((cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 0) 2 способ LhhFh p cos Т.к. SFT T2 =, из (5.6.3.-1) hFh = и из (5.6.2.-1а) Lh = (cos0 + ecos )2 + sin2 psin (e + cos0)2 + sin2 =, то окончательно получаем (cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 p2 sin SFT T2 =.

2((cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 0) 5.9.2. Площадь четырехугольника фокус-полюс и расстояния от точек касания до биссектрисы фокального угла Биссектриса фокального угла разделяет этот четырехугольник на треугольника (см. рис.1). Используя длину биссектрисы LFP (5.1.-3) и длины радиус-векторов r1, r2 к точкам касания, получим Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение LFPr1 sin LFPr2 sin LFPol (r1 + r2)sin p(sin )(r1 + r2) SFP PP2 = + = = = 2 2 2 2(cos + ecos0) p2 sin 1 1 psin = = + 1+ 2(cos + ecos0) ecos1 1+ ecos2 2(cos + ecos0) (2 + e(cos1 + cos2) psin (1+ ecos0 cos ) =. (1) (1+ ecos1)(1+ ecos2) (cos + ecos0)((cos0 + ecos )2 + sin2 0(1- e2)) Опустим перпендикуляры из точек касания на биссектрису фокального угла.

Из прямоугольных треугольников, видно, что p sin h1,2 = r1,2 sin =. (2) 1+ ecos1,Фактически, (1) можно интерпретировать, как LFPh1 LFPh2 LFP (h1 + h2) S = + =.

FP1PP2 2 Следствие 1. Отношение площадей фокальных треугольников, прилегающих к биссектрисе полярного угла и ограниченных с другой стороны касательными, равно отношению радиус-векторов SFPP LFP r1 sin r = =. (3) SFPP LFP r2 sin r5.9.3. Площадь полярного треугольника, ограниченного касательными и хордой Из (5.6.2.-1а) имеем длину хорды 2 p sin (cos0 + ecos )2 + sin2 Lh =.

(cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 Из (5.6.3.-2) имеем длину из полюса на хорду p sin hPh =.

(cos + ecos0) (cos0 + ecos )2 + sin2 Отсюда искомая площадь (см.рис.1) LhhPh p2 sinST PT2 = =. (1) 2 (cos + ecos0)((cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 0) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.10. Автополярные (самосопряженные) треугольники Теорема. Если продолжение хорды 1-го полярного треугольника проходит через полюс 2-го полярного треугольника, то продолжение хорды 2-го полярного треугольника проходит через полюс 1-го полярного треугольника.

Другими словами (см. рис.1), нам нужно доказать, что если PA B1B2, то PB A1A2. [1, стр. 424] или [2, стр. 610]. Треугольники, обладающие данным свойством, называются автополярными или самосопряженными.

Доказательство. Введем обозначения.

Треугольник PA A1A0 A, угловые координаты биссектрисы и отклонения от нее, A p координаты полюса PA : {cos0A, sin 0 A}, cos + e cos0 A A Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение нормальное уравнение хорды H (уравнение поляры) A ((cos0 A + ecos )x + sin 0 Ay - p cos ) = 0.

A A (cos0A + ecos )2 + sin20A A Треугольник PBB1B0B, - угловые координаты биссектрисы и отклонения от нее, B p координаты полюса PB : {cos0B, sin 0B}, cos + e cos 0B B нормальное уравнение хорды HB (уравнение поляры) ( (cos0B + ecosB )x + sin0B y - p cos ) = 0.

B (cos0B + e cos )2 + sin20B B Если точка принадлежит прямой, то ее отклонение от этой прямой равно 0.

Запишем это условие для полюса PA и хорды HB 1 pcos0A AB = ( (cos0B + ecosB ) + cos + ecos0 A (cos0B + ecos )2 + sin20B A B p sin0 A + sin0B - p cos ) = 0. (1) B cos + ecos0 A A Отсюда получим симметричное условие cos( -0B ) = cos cos, (2) 0 A A B или PB A1A2, (2а) которое дальше будем называть как условие сопряжения двух хорд.

Найдем отклонение полюса PB от хорды H A 1 pcos0B BA = ( (cos0 A + ecos ) + A cos + ecos0B (cos0 A + ecos )2 + sin20A B A p sin0B + sin0 A - p cos ) = A cos + ecos0B (cos0 A + ecos )2 + sin20A B A (cos( -0B ) - cos cos ). (3) 0 A A B С учетом (2), получаем BA = 0. Отсюда следует, что полюс PB лежит на продолжении хорды (поляре) H.

A Следствие 1. Возьмем 2 взаимно перпендикулярные хорды, проходящие через фокус и не совпадающие с асимптотическим направлением. Тогда каждая из них указывает на полюс другой (см. рис.2).

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Доказательство. Каждая из хорд в силу их взаимной перпендикулярности является биссектрисой фокального угла другой хорды и поэтому ее продолжение проходит через полюс другой хорды (см.5.1.-4). Следствие 2. Пусть у коники два полюса расположены так, что прямая, их соединяющая, является секущей – т.е. пересекает эту кривую в двух точках (см.

рис.3). Кроме того, мы предполагаем, что продолжения хорды к этим полюсам не || и имеют свою точку пересечения. Построим касательные в точках пересечения кривой и секущей и продолжим их до пересечения в точке 3-го полюса, которая Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение совпадет с точкой пересечения хорд двух первых полюсов. Это следует из того, что каждые из пар рассматриваемых полярных треугольников A1PA A2, B1PBB2 и C1PCC2, B1PBB2 являются сопряженными.

С другой стороны, мы видим, что пара A1PA A2, C1PCC2 не является сопряженной, поэтому свойство сопряженности не транзитивно.

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.