WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 42 |

Доказательство. Рассмотрим величину (3) Lh 1 1 1 Lh2 + Lh1 1- e2 cos2 0 1- e2 cos2(0 - 2 ) = + = = + = Lh Lh1 Lh2 Lh1 Lh2 2 p 2 p 2 - e2(cos2 0 + sin2 0) 2 - e2 2 p = =. Отсюда Lh =. (4) 2 p 2 p 2 - eУпражнение 3. По коэффициентам уравнения хорды (2) найти координаты полюса.

cos0 + ecos = A Решение. Нам дано. (5) sin = B - p cos = C Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение C eC Следовательно, cos = -, cos0 = A +. Теперь однозначно находим p p координаты полюса p p eC Ppol = {cos0,sin0} = {A +, B} = cos + ecos0 C e2C p - + eA + p p p2 pA + eC = {, B}. (6) C(e2 -1) + epA p Упражнение 4. Найти длины осей эллипса.

Решение.

Большая ось. Т.к. касательные на концах большой оси между собой и каждая из них большой оси, то 0 =, =. Отсюда 2 4 p L2 =, (7) h (1- e2)2 p Lh =. (Ср. 3.5.1.-2) (7а) (1- e2) Малая ось. Аналогично, как и для большой оси (см.рис.2), находим 0 =.

Найдем p = ang(F, A2) - ang(F, B1) = - ang(0, {-e, 1- e2 }) = + 1- ee + ang(0,{-e,- 1- e2}) = ang(0,{e, 1- e2 }). cos = = e, sin = 1- e2.

e2 + (1- e2) 4 p2(1- e2)3 4 pОтсюда L2 = =. (8) h (1- e2)4 (1- e2) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 2 p Lh = (ср. 3.5.1.-8).

1- eУпражнение 5. Найти длину действительной оси гиперболы.

2 p Ответ.. (Ср. 3.7.3.-2а, 3.7.2.-7) e2 -5.6.3. Расстояния и отклонения от фокуса и от полюса до хорды Учитывая, что координаты фокуса в системе Кеплера F :{0,0}, подставляем их в уравнение хорды (5.6.1.-3) и получаем расстояние от фокуса до хорды p cos hFh =, (1) (cos0 + e cos )2 + sinp cos или hFh =, (1a) 1+ 2e cos0 cos + e2cos Заметим, что при = имеем cos = 0, а, следовательно, и hFh = 0. В этом случае хорда является фокальной.

Теперь найдем расстояние от полюса до хорды. Для этого, аналогично, из p (5.2.-2) подставим координаты полюса {cos0,sin0} в cos + ecosp уравнение хорды из (5.6.1.-3) (cos + ecos0) (cos0 + ecos )2 + sin ((cos0 + ecos )cos0 + (sin0)sin0 - (cos + e cos0)cos ). Преобразуем 2-й множитель в круглых скобках cos20 + ecos0 cos + sin2 0 - cos2 - ecos0 cos = 1- cos2 = sin2.

Окончательно, находим расстояние от полюса до хорды p sin hPh =. (2) (cos + ecos0) (cos0 + ecos )2 + sin Рассмотрим отклонение от фокуса до хорды Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение - p cos Fh = (3) s (cos0 + ecos )2 + sin и отклонение от полюса до хорды p sinPh =. (4) s(cos + ecos0) (cos0 + ecos )2 + sinСравнивая (3) и (4) заметим, что у них разные знаки перед дробями. С p cos другой стороны, учитывая, что 0,sin2 0, (cos0 + ecos )2 + sinp sin 0, можем сказать, что при (cos + ecos0) > 0 хорда (cos0 + ecos )2 + sinлежит между фокусом и полюсом. При (cos + ecos0) < 0 (этот случай может встретиться у всех типов кривых) и фокус, и полюс лежат по одну сторону от хорды.

5.6.4. Координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника фокус-полюс и расстояние от этой точки до фокуса В этом разделе мы укажем 3 способа расчета координат N (см. рис.1):

- как точки пересечения диагоналей четырехугольника фокус-полюс;

- как основание биссектрисы фокального треугольника;

- используя величину биссектрисы и ее направление.

В (5.17.) мы предложим еще два способа решения этой задачи, основанные на применении гармонического соотношения.

1 способ Запишем совместно систему уравнений хорды (5.6.1.-2) и биссектрисы (5.5.1) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение (cos0 + ecos )x + sin0 y - p cos =. (1) x - cos0 y = sinsinРешим эту систему методом подстановки. Из 2-го уравнения (1) y = x.

cosСледовательно sin2 (cos0 + ecos )x + x - p cos = 0, cos(cos2 0 + ecos0 cos + sin2 0)x = p cos0 cos, (1+ ecos0 cos )x = p cos0 cos, p cos0 cos p sin0 cos x =, y =. (2) 1+ ecos0 cos 1+ ecos0 cos p cos В векторном виде координаты N {cos0,sin0}. (3) 1+ ecos0 cos Расстояние от фокуса F :{0,0} до N находим по теореме Пифагора p cos S =. (4) 1+ ecos0 cos 2 способ Мы используем свойство биссектрисы фокального угла треугольника, которая делит основание треугольника (в нашем случае хорда) в соответствии длиной смежных сторон треугольника. Длины этих сторон равны величине p p соответствующих радиус-векторов, т.е. r1 =,r2 =.

1+ ecos1 1+ ecosr1 x1 + x2 y1 + y Схема решения следующая =, x =, y =. (5) r2 1+ 1+ r1 p p Подставим в (5) соответствующие значения = = : = r2 1+ ecos1 1+ ecosp cos1 1+ ecos2 p cos+ 1+ ecos2 x1 + x2 1+ ecos1 1+ ecos1 1+ ecos2 p(cos1 + cos2) =, x = = =, 1+ ecos1+ ecos1 1+ 2 + e(cos1 + cos2) 1+ 1+ ecosГлава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение psin1 1+ ecos2 psin+ y1 + y2 1+ ecos1 1+ ecos1 1+ ecos2 p(sin1 + sin2) y = = =. (6) 1+ ecos1+ 2 + e(cos1 + cos2) 1+ 1+ ecos1 + 2 2 -Используя выражения sin1 + sin2 = 2sin cos, cos1 + cos2 = 2 1 + 2 2 - = 2cos cos и (5.1.-2), легко получить (2) или (3).

2 3 способ Начнем вывод формулы длины биссектрисы внутреннего угла треугольника. Для этого запишем систему уравнений, обозначения которой очевидны из (рис.2), а уравнения получены из свойств биссектрисы и теоремы косинусов a2 + b2 - 2ab cos = cc + c2 = c c1 a c = b. (7) a + l2 - 2al cos = c b2 + l - 2bl cos = c Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Окончательно получаем (рекомендуем читателю проделать весь вывод!) длину биссектрисы внутреннего угла треугольника 2cos l =. (8) 1 + a b p Далее делаем следующие замены, a =, 2 1+ ecos(0 - ) p 1 1 1+ ecos(0 - ) 1+ ecos(0 + ) b =. Тогда + = + = 1+ ecos(0 + ) a b p p 2(1+ ecos0 cos ) p cos =, l = (см.4). Отсюда легко получить (3).

p 1+ ecos0 cos 5.6.5. Координаты основания медианы полярного треугольника Зная координаты точек основания полярного треугольника p p P1 : {cos1,sin1} и P2 : {cos2,sin2}, мы можем вычислить точку 1+ ecos1 1+ ecosоснования медианы. Для этого, как и ранее (5.1.-2), используем в итоговых 1 + 2 2 -формулах систему углов 0 =, =.

2 Точка основания медианы P1x + P2x P1x + P1y p cos1 cos2 sin1 sinM :{, } = { +, + } = 2 2 2 1+ ecos1 1+ ecos2 1+ ecos1 1+ ecosp = {cos1 + cos2 + 2ecos1 cos2, sin1 + sin2 + 2(1+ ecos1)(1+ ecos2) + e(sin1 cos2 + sin2 cos1}.

Этот знаменатель мы уже вычисляли в (5.6.2.-1) (1+ e cos1)(1+ e cos2) = (cos0 + ecos)2 + (1- e2)sin2 0.

Поэтому далее исследуем только числитель А.Жуков, И.Акулич. Однозначно ли определяется треугольник Квант, 2003/1, стр.30 (9).

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение {cos1 + cos2 + 2ecos1 cos2, sin1 + sin2 + e(sin1 cos2 + sin2 cos1} = 1 + 2 2 -1 2 1 + 2 2 -= {2cos cos + e(cos2 + cos 2 ), 2 2 2 2 1 + 2 2 - 1 1 + 2 e 2sin cos + esin 2 } = 2{cos0 cos + (cos 20 + cos 2 ), 2 2 2 e e sin0 cos + sin 20} = 2{cos0 cos + (2cos2 0 -1+ 2cos2 -1), 2 sin0 cos + esin0 cos0} = 2{cos0 cos + e(cos2 0 + cos2 -1), sin0(cos + ecos0)} = = 2{cos0 cos + e(-sin2 0 + cos2 ), sin0(cos + ecos0)} = = 2{cos0 cos + e(-sin2 0 + cos2 ), sin0(cos + ecos0)}.

Собираем вместе части формулы p M = {cos (cos0 + ecos ) - esin2 0, (cos0 + ecos)2 + (1- e2)sin2 sin0(cos + ecos0)}. (1) Упражнение 1. Доказать с помощью (1), что и для большой оси эллипса, и для малой оси эллипса середины соответствующих осей совпадают с центром симметрии эллипса (3.5.1.-3).

Упражнение 2. Доказать, что прямые, соединяющие середины || хорд с центром симметрии, совпадают.

5.7. Углы четырехугольника фокус-полюс 5.7.1. Внутренние углы четырехугольника фокус-полюс Некоторые углы, которые мы будем находить ниже, в НПСК и ОПСК могут отличаться на, т.е. быть смежными по отношению друг к другу в разных системах. Поэтому мы проведем исследование в каждой из этих систем отдельно.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 1.Расчеты в НПСК (геометрический подход) Из (3.2.1.-8) мы знаем, угол наклона касательной к оси абсцисс = ang(0,{-sin,cos + e}). С другой стороны, вычисляя разность - мы можем найти угол (см.рис.1) между углом наклона касательной и радиус-вектором = ang(0,{-sin,cos + e}) - = ang(0,{-sin,cos + e}) - ang(0,{cos,sin}) = ang(0,{-sin,cos + e}) + ang(0,{cos,-sin}) = = ang(0,{-cos sin + cos sin + esin,cos2 + ecos + sin2 }) = = ang(0,{esin,1+ ecos}). (1) К этому же результату можно прийти и другим путем. Известно [3,стр.486r 487], что tg =. (2) r' p pesin Подставляя в (2) r = и r =, имеем 1+ ecos (1+ ecos)p 1+ ecos 1+ ecos tg = =, pesin esin (1+ ecos)Отсюда = ang(0,{esin,1+ ecos}).

Мы хотим сразу обратить внимание читателя на то, что проводимое в данном разделе ниже исследование углов одинаково для выпуклого (см.рис.2) и невыпуклого (см.рис.3) четырехугольников.

Найдем сумму 1 +. Из (рис.2,3) видно, что 1 = -1, = 2. Таким 2 образом 1 + = + (2 -1) = +. (3) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Вычислим = ang(0,{esin2,1+ ecos2}) - ang(0,{esin1,1+ ecos1}) = = ang(0,{esin2,1+ ecos2}) + ang(0,{esin1,-(1+ ecos1)}) = = ang(0,{e2 sin2 sin1 + (1+ ecos2)(1+ e cos1), (1+ e cos2)esin1 - (1+ ecos1)esin2}) = ang(0,{e2 sin2 sin1 +1+ ecos1 + ecos2 + e2 cos2 cos1, esin1 + e2 cos2 sin1 - esin2 - e2 sin2 cos1}) = ang(0,{e2 cos(2 -1) + 2 +1 2 -1 2 -1 2 ++ 2ecos cos +1, - (e2 sin(2 -1) + 2esin cos }) = 2 2 2 = ang(0,{e2 cos 2 + 2ecos0 cos +1, - (e2 sin 2 + 2ecos0 sin )}) = ang(0,{e2 cos 2 + 2ecos0 cos +1, - 2esin (ecos + cos0)}) (4) Отсюда, и из (1.2.1.-15) получаем 1 + = = + = ang(0,{-(e2 cos 2 + 2ecos0 cos +1), 2esin (ecos + cos0)}). (5) Угол при полюсе T1PT2 = 1 + 2 = 2 - ((1 + ) + 2 ) (6) или 1 + 2 = - - 2 = - ( + 2 ). (7) Упростим (7) 1 + 2 = - - 2 = ang(0,{-(e2 cos 2 + 2ecos0 cos +1), - (e2 sin 2 + 2ecos0 sin )}) + ang(0, {cos2,-sin2}).

Далее 1 + 2 = = ang(0, {-(e2 cos 2 + 2ecos0 cos +1)cos 2 - (e2 sin 2 + 2ecos0 sin )sin 2, Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение - (e2 sin 2 + 2ecos0 sin ) cos 2 + (e2 cos 2 + 2ecos0 cos +1)sin 2}) = = ang(0, {-e2 cos2 2 - 2ecos0 cos 2 cos - cos 2 - e2 sin2 2 - 2ecos0 sin 2 sin, - e2 cos 2 sin 2 - 2ecos0 cos 2 sin + e2 cos 2 sin 2 + 2ecos0 sin 2 cos + sin 2}) = = ang(0,{-(e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ), 2sin (cos + ecos0)}).

Чтобы не зависеть от порядка расположения радиус-векторов, которое может приводить к тому, что в последнем параметре станет (ecos0 + cos ) < 0 и, следовательно, >, необходимо применить операцию абсолютная величина для последнего параметра (см.1.2.1.-4) = ang(0,{-(e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ), 2sin (cos + ecos0 }). (8) Упражнение 1. Доказать, что касательные к параболе, построенные из концов фокальной хорды пересекаются под прямым углом [2, §127, упр.44], (см.3.6.2. упр.5).

Доказательство. Для касательных в точке их пересечения - полюсе необходимо и достаточно(1.2.1.-18), чтобы третий параметр в (8) был равен 0.

Действительно (e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ) = 1+ 0 -1 = 0.

=,e=Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Упражнение 2. По данным углу биссектрисы 0 и эксцентриситету e найти угол отклонения таким образом, чтобы касательные в точке их пересечения - полюсе были. Решить задачу в общем виде и для 0 =, e =.

3 Решение. Угол отклонения найдем из уравнения e2 + 2ecos0 cos + cos 2 = 0 (см. (8) и упр.1). Учитывая что, cos2 = 2cos2 -1, получаем квадратное уравнение 2cos2 + 2ecos0 cos - (1- e2) = 0, откуда 1 1 - ± + 2(1- ) - ecos0 ± e2 cos2 0 + 2(1- e2) 4 16 cos =. Т.к. cos0 =, то cos = = 2 2 -1± 5 1 =, cos1 =, cos2 = -. Из 8 2 (1.2.5.1.-1) имеем = ang(0,{cos,± 1- cos2 }).

Чтобы было 0 < <, необходимо взять (см.1.2.1.-25) = ang(0,{cos, 1- cos2 }). (9) Окончательно получаем = 1,123 (60o), 2 = 2,419 (138,59o). (См. рис.5) Упражнение 3. Найти геометрическое место точек, из которых эллипс виден под прямым углом [7,N494].

- pe Ответ. Окружность (см. рис.6) из центра симметрии эллипса O :{,0} с 1- ep (2 - e2) радиусом a2 + b2 =.

(1- e2) Указание. Воспользоваться координатами полюса (5.2.-2) - ecos0 ± e2 cos2 0 + 2(1- e2) p {cos0,sin0}, где cos = (см.(9)).

cos + ecos0 2. Расчеты в ОПСК (геометрический подход) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Для рассматриваемой задачи расчеты в ОПСК имеют ту особенность, что или один из радиус-векторов отрицательный (см. рис.7), или оба из них отрицательны (см.рис.8). Выясним, как это влияет на расчеты углов.

В силу того, что угол наклона касательной к оси абсцисс = ang(0,{-sin,cos + e}) имеет непрерывные параметры функции ang() (см.

3.2.1.-8), то вычисление этого угла в НПСК и ОПСК идентично.

При положительных радиус-векторах для вычисления справедливо (1).

При отрицательных радиус-векторах к углу добавляется слагаемое и, следовательно, в силу (1.2.1.-7) и, повторяя вывод (1), имеем (10) = ang(0,{-esin, - (1+ ecos)}).

2.1. Один радиус-вектор положительный, а другой отрицательный Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Рассмотрим (рис.7). 1 = -1, FPT1 = - ( + 1) = - ( + -1) = 1 -, = -2.

Сумма углов между радиус-векторами и касательными 1 + = 2 - (1 + 2). (11) PFT2 = -, FPT2 = - ( + - ) = - = + 2 -.

2 Угол при полюсе T1PT2 = = FPT2 - FPT1 = + 2 - - (1 - ) = = - + + 2 = 2 - + + 2 = + + 2. (12) Найдем, выраженное через 0 и. Т.к. в ОПСК по сравнению с НПСК к 2 добавилось слагаемое, а осталось без изменения, то модифицируем (4) прибавлением = ang(0,{-(e2 cos 2 + 2ecos0 cos +1), 2esin (ecos + cos0)}). (13) Упражнение 4. Докажите, что для данного случая угол при полюсе равен = ang(0,{(e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ), 2sin (cos + ecos0 }). (14) Обратим внимание, что в (8) и (14) разные знаки у третьего параметра.

2 p Упражнение 5. По данным параметрам 0 = (450), e = 2 и L = (см.

2 2 -рис.7) найти, 1, 2,,.

Ответ. = (1200),1 = 4,974 (2850), 2 = 2,88 (1650), = 5,885 (337,200), = 0,649 (37,2050).

2.2. Оба радиус-вектора отрицательны Исследуем углы, изображенные на (рис.8). Тогда 1 = -1, = 2.

Сумма углов между радиус-векторами и касательными 1 + = + (2 -2) = -. (15) Т.к. внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то из FPT1 следует 1 = + 1 = - ( - +1) = + -1, 2 = + = + 2.

Угол при полюсе 1 + 2 = + 2 +. (16) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение = ang(0,{-(e2 + 2ecos0 cos + cos 2 ), 2sin (cos + ecos0 }). (17) Обратим внимание, что знаки (17) и (8) совпадают, а (17) и (14) имеют разные знаки у третьего параметра. Объяснение этому дается в следующем пункте.

Упражнение 6. По данным параметрам 0 = (150), = (1500) и e = 12 (см. рис.8) найти 1, 2,,.

Ответ. 1 = - (-1350), 2 = 2,88 (1650), = (0), = 2,396 (137,2730).

3. Аналитический подход Найдем аналитическое решение в общем виде.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.