WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 42 |

Таким образом, для задачи нахождения касательных неважно, в какой системе мы работаем - в НПСК или в ОПСК. Исходя из этого, для задачи нахождения касательной гиперболы мы не будем различать смежные пары, если исходные и видимые направления различаются. Говоря о нахождении Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение в упражнениях данного раздела и ниже, мы будем пользоваться (2), считая видимым углом.

p Введем критерий = - ecos0. (8) LFP Исследуя (7), (8) и используя свойства ang() (см.1.2.1.), делаем выводы 2.1. если < 1, то существуют две различные касательные с угловыми координатами 1,2 = 0 ±, при этом 2.1.1. если = 0, то хорда, соединяющая точки касания, является фокальной, при этом - прямой угол, 2.1.2. если 0 < < 1, то - острый угол, 2.1.3. если -1 < < 0, то - тупой угол, 2.2. если = 1, то p{cos0,sin0} полюс находится на кривой в точке, и при этом мы считаем, 1+ ecosчто точка касания и полюс совпадают, для эллипса и параболы все точки на кривой имеют = 1, в случае гиперболы, для левой ветви мы имеем = 1, а для правой ветви = -1 (см.3.7.2.-7), 2.3. если > 1, то мы находимся внутри кривой. Касательные из этой точки к кривой провести нельзя.

Упражнение 2. Доказать, используя - критерий, что точки эллипса:

1) центр симметрии; 2) левый фокус находятся внутри эллипса.

Решение. Нам нужно сравнить для данных точек выражение p = - ecos0 и 1, где 0 = для вариантов 1) и 2).

LFP - pe pe Вариант 1: Учитывая (3.5.1.-3) O :{,0}, получим: LFP =, 1- e2 1- e1- e2 = + e = > e e Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение - 2e Вариант 2: Учитывая (3.5.1.-4) F2 : p{,0}, получим 1- e2 pe 1- e2 1+ eLFP =, = + e = > 1.

1- e2 2e 2e (В последнем неравенстве использовалось, что среднее арифметическое больше среднего геометрического) Упражнение 3. Выяснить, могут ли быть полюсами для гиперболы следующие точки: 1) точка центра симметрии; 2) точка правого фокуса.

Решение. Применяем - критерий.

Вариант 1.

pe e2 -1 Из ( 3.7.3.-3а) O :{,0} мы имеем 0 = 0, = - e = < 1. Т.е. наш e2 -1 e e критерий выполняется. С другой стороны, полярные углы касательных 1 1,2 = 0 m = m = ang(0,{-,± 1- }) = ang(0,{-1,± e2 -1}). (#) e eи при этих углах происходит разрыв ветвей гиперболы (см. 3.7.2. –1).

Но точку центра симметрии O гиперболы можно рассматривать как предел последовательности точек полюсов при стремлении полярных углов касательных к значению (#). При этом предельном переходе касательные переходят в асимптоты. Построенный таким образом полюс является точкой пересечения асимптот.

Ответ 2. Полюс невозможен.

Упражнение 4. Создать алгоритм по определению местоположения точки относительно гиперболы и асимптот.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Решение. Пусть некоторая точка P попадает в точку, луч или одну из областей (см.рис.1) из списка: O, Ai, Zi или Gi. Приведем алгоритм, при помощи которого можно было бы точно узнать, куда именно попадает P.

Начало алгоритма.

// алгоритм работает по принципу постепенного уточнения местоположения Объявляем 1,2,3 набор малых чисел. Они могут совпадать.

1 шаг. Если dist(O, P) < 1, то O = P, выход 1 из алгоритма.

2 шаг. Вычислить и нормализовать = ang(O,P) и = ang(O, Ai ).

i i +1, Добавить луч направления фокальной оси 5 = 2 (3600) 3 шаг. Цикл от i =1 до 3.1 шаг. Если - < 2, то P лучу Ai, выход 2 из алгоритма.

i 3.2 шаг. Если < i, то P сектору Si, k := i, выход из цикла.

Конец цикла.

p 4 шаг. Вычислить LFP = dist(F, P),0 = ang(F, P), = - ecos0.

LFP 5 шаг. // Анализ.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.1 шаг. Если -1 < 3 то // левая ветвь P G1.

(контроль: должно быть k = 3) выход 4 из алгоритма.

5.2 шаг. Если +1 < 3 то // правая ветвь P G2.

(контроль: должно быть k = 4 или k = 5 ) выход 5 из алгоритма.

5.3 шаг. Если < 1, то P Zk, выход 3 из алгоритма. // внешняя область Zk 5.4.шаг. Если < -1, то; // внутренняя правая область (контроль: должно быть k = 4 или k = 5 ) выход 6 из алгоритма.

5.5.шаг. Если > 1, то // внутренняя левая область (контроль: должно быть k = 3) выход 7 из алгоритма.

Конец алгоритма.

Замечание 1. Мы ввели область Z5, чтобы иметь возможность обрабатывать углы < < 2. После окончания работы алгоритма и в том случае, если P попала в одну из областей Z1, Z5, имеющих одни и те же свойства для задач “полюс - касательные”, целесообразно эти области объединить. Т.е. мы считаем, что эта точка принадлежит объединению областей: P Z1 U Z5.

Замечание 2. Т.к. предлагаемый алгоритм численный, то в цепочках “Если” мы рекомендуем исследовать сначала на равенство (шаги 5.1 и 5.2), а затем на неравенство. Указание. Исходные данные в следующем упражнении подобраны так, что их можно выполнить без калькулятора. Для этого мы рекомендуем применить “таблицу часто используемых углов ” (см.1.2.1.13) Упражнение 4. Дана гипербола ( e = 2, p = 25 мм). Полярные координаты P следующие 2 p 2 p а) (см.рис.2) LFP =, 0 = (450), (см.рис.3) LFP =, 0 = 0 (00).

2 2 -1 4 - Найти угол и видимые полярные углы 1, 2, под которыми видны T1,T2.

Ответы.

2 5 19 а) = (1200), 1 = - (-750) = (2850), 2 = - (-300) = (3450) ;

3 12 12 6 Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5 б) = (1500), 1 = (300), 2 = - (-300) = (3300).

6 6 6 Упражнение 5. Найти угол у эллипса, если касательные построены из вершин малой оси (см.рис.4).

Решение. Ранее мы доказали (3.5.1.-7), что касательные в этих точках ||, следовательно LFP =. Т.к. 0 = 0, то из (1) следует = ang(0,{-e, 1- e2 }). (Ср.

3.5.1.-7).

Упражнение 6. Найти угол у гиперболы, если касательные построены из вершин действительной оси (см.рис.5).

Решение. Как и в предыдущем упражнении, устанавливаем, что LFP =. Т.к.

0 =, то из (1) следует = ang(0,{0,1}) =. (Ср. 5.1.-4). Заметим, что решение 2 этой задачи не изменилось, если бы мы рассматривали касательные из большой оси эллипса. Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Мы сейчас можем сформулировать следующий важный вывод: каждой точке плоскости вне коники однозначно соответствуют углы 0, данной коники. В связи с этим, непрерывно меняя углы 0,, мы можем нарисовать вне коники любую непрерывную кривую, в том числе самопересекающуюся (кривая может, также, касаться исходной коники). Например, мы можем нарисовать окружность, или прямоугольник, или треугольник над эллипсом.

Рассмотрение задач, возникающих при этом, выходит за рамки данной работы.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.4. Отклонение от полюса до стороны фокального угла Преобразуем отклонение (4.6.-1) от полюса до сторон фокального угла, выражая его через угловые переменные 0, 2 -- 2 psinp(cos(2 -1) -1) 1,2 = ± = ± = 2 -1 2 -1 2 +sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) 2sin ( cos + ecos ) 2 2 psin = m = mLFP sin. (1) cos + ecos Т.к. 0 <, то sin 0. Обратим также внимание на разные знаки у отклонения к разным сторонам угла. При геометрическом анализе рисунков 1…5 используйте sin( - ) = sin.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.5. Уравнение биссектрисы фокального угла Запишем уравнение прямой линии в виде y = kx + b. Но, т.к. биссектриса проходит через фокус – центр координат, то b = 0. Поэтому siny = x. (1) cosГлава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение (Напомним, что отрезок этой прямой между точками кривой называют фокальной хордой.) Преобразуем теперь (1) (sin0)x - (cos0)y = 0. (2) Это уравнение уже нормализовано A2 + B2 = sin2 0 + cos2 0 = 1. Заметим также, что нормальный вектор уравнения (2) {sin0, - cos0} вектору направления биссектрисы {cos0, sin0}.

Упражнение 1. Найти нормальное уравнение биссектрисы фокального угла A1FB1(см. рис.1), построенного к вершинам большой и малой оси.

p Решение. Находим координаты P : {1- e, 1- e2 } (см. 5.1. упр.3), откуда 1- e1- e 1- e0 = ang(0,{1- e, 1- e2 }), cos0 =, sin0 =. Из (2) получаем 2(1- e) 2(1- e) 1- e2 1- e x - y = 0.

2(1- e) 2(1- e) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.6. Хорда 5.6.1. Уравнение хорды Для уравнения прямой линии Ax + By + C = 0 (*) найдем значения коэффициентов A = y2 - y1, B = x1 - x2, C = y1x2 - x1ypsin2 p sin1 p(sin2 - sin1 + e(sin(2 -1)) A = - =, 1+ ecos2 1+ ecos1 (1+ ecos1)(1+ ecos2) p cos2 p cos1 p(cos2 - cos1) B = -( - ) = -, 1+ ecos2 1+ ecos1 (1+ ecos1)(1+ ecos2) p2(sin1 cos2 - sin2 cos1) p2(sin(2 -1) C = = -.

(1+ ecos1)(1+ ecos2) (1+ ecos1)(1+ ecos2) p Сокращая все коэффициенты уравнения (*) на, (1+ ecos1)(1+ ecos2) получим (sin2 - sin1 + e(sin(2 - 1))x - (cos2 - cos1) y - p sin(2 -1) = 0. (1) Далее, как и в предыдущих разделах, заменяя углы1, 2 на 0, (5.1.-2), 2 -1 2 + 1 2 -1 2 -1 2 +получим (2sin (cos + ecos )x + 2(sin sin )y - 2 2 2 2 2 -1 2 -1 2 + 1 2 -1 2 + - 2 p sin cos = 0, (cos + ecos )x + sin y 2 2 2 2 2 -- p cos = 0, (cos0 + ecos )x + sin0 y - p cos = 0. (2) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Вычислим коэффициент нормирования s A2 + B2 = s (cos0 + ecos )2 + sin20. Напомним, что для получения нормального уравнения Гессе cos x + sin y - pL = 0, нам нужно выполнить условие, чтобы свободный член был - p cos < 0. Т.к. [0, ], то знак s = + перед радикалом выбираем тогда, когда cos 0. При [0, ] получаем, что - p cos условие 0 выполнено. При (, ] выбираем s = -1.

(cos0 + ecos )2 + sinТаким образом, нормальное уравнение хорды (cos0 + ecos)x + (sin0)y - p cos = 0, (3) s (cos0 + ecos )2 + sin(cos0 + ecos)x + (sin0)y - pcos или = 0. (3а) s 1+ 2ecos0 cos + e2cosОтсюда cos0 + e cos sincos =, sin =, s 1+ 2e cos0 cos + e2 cos2 s 1+ 2ecos0 cos + e2 cosp cos pL =, (4) s 1+ 2ecos0 cos + e2 cos и угол наклона единичного нормального вектора = ang(0, s{cos0 + ecos, sin0}). (4а) Найдем тангенс угла наклона хорды (cos0 + ecos ) th = (5) - sinк оси абсцисс и сравним его с тангенсом угла наклона касательной по (cos0 + e) направлению 0 tpol =. Для симметричного случая, когда направление - sinбиссектрисы совпадает с направлением фокальной оси 0 = 0, тогда sin0 = 0, th = tpol =. Т.е. хорда и касательная ||. Но для других направлений они, вообще говоря, различны.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Из (4а) и (1.4.6.-4) найдем угол наклона хорды к оси абсцисс = + = ang(0, s{cos0 + ecos, sin0}) + = ang(0, s{-sin0, cos0 + ecos}). (6) 2 Упражнение 1. Найти угол между направлением биссектрисы фокального угла хорды и ее нормальным вектором.

Упражнение 2. Пусть в параболе хорда соединяет следующие точки, заданные полярными углами 1 = 0,2 =. Найти угол наклона хорды к оси абсцисс.

2 2 Решение. 0 = ; = ; s =1. Отсюда = ang(0,{-, }) = ang(0,{-1,2}) 4 4 2 Упражнение 3. Пусть геометрическое место полюсов видно из фокуса под углом 0. Доказать, что продолжения всех хорд, лежащих в основании полярных треугольников, пересекаются в некоторой точке, лежащей на соответствующей директрисе. Найти координаты этой точки.

Решение. Возьмем две хорды, описываемые (5.6.1.-2), у которых направление биссектрисы фокального угла 0 одинаково, а отклонения от нее Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение разные. Точка пересечения этих хорд I1 находится из следующей системы (cos0 + ecos1)x + sin0 y = p cos уравнений, (*) + ecos2)x + sin0 y = p coscosp p cos0 p из которой видно, что I1 :{,- } = {1,-ctg0} (7) e e sin0 e не зависит от и лежит на директрисе.

На рис.2 показан случай для 0 =.

Упражнение 4. Найти условие || двух хорд.

Решение. Приравниваем тангенсы наклона (5) двух хорд (cos01 + ecos1) (cos02 + ecos2) =. (8) sin01 sinОтсюда sin02 cos01 - sin01 cos02 + e(sin02 cos1 - sin01 cos2) = 0, sin(02 -01) = - e(sin02 cos1 - sin01 cos2). (9) sin(02 -01) + e(sin02 cos1 - sin01 cos2) = 0. (9a) Проверим (9) для двух хорд фокальной хорды, у которой01 = 0, 1 = и малой оси эллипса 02 =, 2 = ang(0,{e, 1- e2 }). Тогда (9) преобразуется после подстановки в 0 = -0.

Задача, связанную с построением внутри эллипса или гиперболы вписанного параллелограмма, требует не только условие || двух противоположных хорд, но еще и равенства длин этих хорд, иначе мы получим не параллелограмм, а трапецию. Эту задачу целесообразно решать методами следующей главы – “6. Диаметр ”.

Упражнение 5. Используя (2), найти соотношение, при котором хорда становится диаметром.

Решение. В этом случае необходимо, чтобы хорда проходила через центр - pe симметрии системы O :{,0} (см. 3.1.2.). Подставляем эту точку в (2) 1- e- pe ecos0 (e2 +1- e2)cos (cos0 + ecos ) - p cos = 0, + = 0, 1- e2 1- e1- eГлава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение cos + ecos0 = 0 (10) (см.5.1.-5).

5.6.2. Квадрат длины хорды Вычислим по теореме Пифагора квадрат длины хорды 2 p cos2 p cos1 p sin2 p sinL2 = h 1+ ecos2 - 1+ ecos1 + ecos2 - 1+ ecos1 = 1+ (cos2(1+ ecos1) - cos1(1+ ecos2))2 + (sin2(1+ ecos1) - sin1(1+ ecos2))= p2.

((1+ ecos2)(1+ ecos1))Далее рассмотрим числитель и знаменатель этой дроби отдельно.

Числитель (cos2 + ecos2 cos1 - cos1 - ecos2 cos1)2 + (sin2 + esin2 cos1 - - sin1 -esin1 cos2)2 = (-2sin0 sin )2 + (2sin cos0 + 2esin cos )2 = 4sin (sin2 0 + cos2 0 + 2ecos0 cos + e2 cos2 ) = 4sin2 (1+ 2ecos0 cos + e2 cos2 ).

Знаменатель (1+ ecos2 + ecos1 - e2 cos2 cos1)2 = (1+ e cos2 + e cos1 - (cos 2 + cos 20) 2cos2 -1+ 2cos2 0 -+ e2 )2 = (1+ 2ecos0 cos + e2 )2 = 2 = (1+ 2ecos0 cos + e2 cos2 - e2 sin2 0)2 = (1+ 2ecos0 cos + e2(cos2 - sin2 0))2.

4sin2 (1+ 2ecos0 cos + e2 cos2 ) Окончательно L2 (0, ) = p2, (1) h (1+ 2ecos0 cos + e2(cos2 - sin2 0))4sin2 ((cos0 + ecos )2 + sin2 0) или L2 (0, ) = p2. (1а) h ((cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 0)Упражнение 1. Проверить формулу (1) для фокальной хорды.

Решение. В этом случае хорда состоит из 2-х радиусов, между которыми находится угол. Отсюда =, cos = 0, sin = 1 и из (1а) мы имеем, что 4 pL2 =. (2) h (1- e2 sin2 0) С другой стороны, Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 2 p p p p (r1 + r2)2 = 1+ ecos + 1+ ecos( + ) = ecos + 1- ecos = 1+ p(1- ecos +1+ ecos) 4 p =. (3) 1- e2 cos2 (1- e2 cos2 ) Т.к. 0 = - (биссектриса фокального угла направлению ), то cos2 = sin20 и (2),(3) тождественны.

Упражнение 2. Возьмем две фокальные взаимно хорды (см. рис.1).

Доказать, что отношение произведения их длин к сумме их длин есть величина постоянная, не зависящая от ориентации этих хорд.

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.