WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 42 |

Доказательство. Сумма углов, выходящих из фокуса F, равна полному углу или 2. Т.е. 1+1'+2 + 2'+3 + 3'+4 + 4'= 2. Т.к. в силу теоремы о биссектрисе фокального угла i = i', то 1'+2 + 3'+4 =.

М.Волчкевич. Задача М1860. Квант 2003/ N5, стр.Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 5.1. Расстояние от фокуса до полюса Вначале предполагаем, что полюс1 имеет конечные координаты, т.е. не находится на бесконечности (в этом же разделе мы снимем это ограничение).

Следовательно, знаменатель в (4.2.-3) sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) 0. (*) Применяя теорему Пифагора и используя (4.2.-3), получим расстояние от p2((sin2 - sin1)2 + (cos2 - cos1)фокуса до полюса LFP = = (sin(2 -1) + e(sin2 - sin1))sin2 2 - 2sin1 sin2 + sin2 1 + cos2 2 - 2cos1 cos2 + cos2 = p = sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) 2(1- cos(2 -1)) = p. (1) sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) Дадим еще одну формулу для расстояния фокус-полюс. Для этого введем следующие переменные 2 + 0 = - полярный угол биссектрисы фокального угла, 2 - =, [0, ) - угол отклонения от биссектрисы фокального угла, абсолютное значение которого равно углу между биссектрисой и любой стороной фокального угла. (2) Очевидно, что при = 0, 2 точки пересечения радиус-вектора с дугой сливаются в одну. При этом говорят, что “раствор” угла между радиус-векторами Термин «полюс» ввел французский математик Ф.Ж.Сервуа (Francois Josef de Sevois(17671847)) [см. «Математика XIX века» под редакцией А.Н.Колмогорова и А.П. Юшкевича, М., «Наука», 1981г., стр. 34].

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение равен нулю. В этих 2-х предельных случаях точка полюса принадлежит дуге и p LFP =.

1+ ecosУпражнение 1. Разберите подробно случай.

Продолжим исследование. Подставим (2) в (1). Тогда 1 = 0 -, 2 = 0 + и 2(1- cos(2 -1)) LFP = p = sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) 2 -4sinp 4sin= p = = 2 -1 2 -1 2 -1 2 +1 2sin cos + e2sin cos2sin cos + e2sin cos 2 2 2 p =, (3) cos + e coss p или LFP =, где s = ±1, причем знак '-' берется тогда, когда cos + ecoscos + ecos0 < 0. (3а) Сделаем некоторые выводы из (3).

Вывод 1. Если =, то фокальный угол будет развернутым. И обратно, если прямая, проходящая через фокус, образует фокальный развернутый угол, то тогда =. (4) Вывод 2. Если cos + ecos0 0, (5) то тогда точка полюса устремится к бесконечно удаленной точке от фокуса по направлению 0 и LFP =. В том случае, если две прямые на плоскости пересекаются на бесконечности, то они ||. Следовательно, касательные станут ||, а хорда, соединяющая точки касания (см. 3.2.8), станет диаметром. (Мы подробно исследуем данный вопрос в главе 6.) Упражнение 2. Найти координаты полюса и расстояние до него, если 0 =, = (см. рис.1).

4 Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 2 p p Ответ. LFP =, P : {1,1}.

1+ e 1+ e Упражнение 3. Найти координаты полюса и расстояние до него у эллипса, если касательные построены (см. рис.2) из вершин большой и малой оси.

2(1- e) p p Ответ. LFP =, P : {1- e, 1- e2 }.

1- e2 1- eУпражнение 4. Найти координаты полюса и расстояние до него, если касательные построены из концов фокальной хорды, перпендикулярной фокальной оси.

p p Ответ. LFP =, P :{,0}. (6) e e (Ср. 3.2.1.-10) 5.2. Координаты полюса. Полярное уравнение точки полюса.

Смежные и полюсные преобразования Замечание 1. При одновременной замене направления биссектрисы ' фокального угла на противоположное 0 = 0 + и отклонения угла от Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение ' биссектрисы на смежное = -, точки касания меняются местами. Эти ' ' пары углов (, ) и (0, ) назовем смежными. Переходы к смежной ' ' ' ' паре(, ) (0, )или (0, ) (, ) назовем смежным преобразованием.

Докажем, что при смежном преобразовании не возникает новых решений: множество точек касания от 1..2 и точка полюса остаются прежними.

В самом деле ' ' ' ' ' ' 1 = 0 - = (0 + ) - ( - ) = 0 + и 2 = 0 + = (0 + ) - ( + ) = 0 -.

Таким образом, всегда возможно исследовать вопросы, связанные с точками касания и полюсом, при отклонении угла от биссектрисы 0 не на интервале 0 <, а на более коротком интервале 0. Заметим, что на этом интервале 0 cos и 0 sin.

Очевидно также, что если радиус-вектор под углом 0 проходит через ' полюс, то радиус-вектор 0 направлен в противоположную сторону.

Упражнение 1. Возьмите параболу ( e = 1, 0 = 0, = (1500) ) и выполните смежное преобразование. Убедитесь, что при смежном преобразовании точки касания и полюс останутся на месте, а направление биссектрисы фокального угла изменится на асимптотическое.

Используя те же преобразования, что и в (5.1.-3), и учитывая (4.2.-3), преобразуем координаты полюса 2 -1 2 + p(2sin cos ) p(sin2 - sin1) 2 x = = = 2 -1 2 -1 2 + sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) 2sin (cos + ecos ) 2 2 2 + p cos p cos= =, 2 -1 2 + 1 cos + ecoscos + ecos 2 Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение 2 -1 2 + - p2sin sin p(cos2 - cos1) 2 y = - = - = 2 -1 2 -1 2 + sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) 2sin (cos + ecos ) 2 2 2 + psin p sin= =. (1) 2 -1 2 + 1 cos + ecoscos + ecos 2 p Запишем эти координаты в векторном виде P : {cos0,sin0}. (2) cos + ecosЗапомним и промежуточную формулу координат полюса p 2 +1 2 +P : {cos,sin }. (2а) 2 -1 2 +2 cos + ecos 2 Исследуем (2). Для этого придадим углу отклонения некоторое фиксированное значение в интервале 0 < (см. замечание 1), и будем изменять 0.

Рассмотрим следующие варианты, связанные с углом.

Вариант 1 (фокальный угол не равен развернутому) Для этого варианта cos > 0 и мы можем разделить и числитель, и знаменатель (2) на cos p pp cos P : {cos0,sin0} = {cos0,sin0}, (3) e 1+ ep cos1+ coscos получая формулу геометрического места полюсов. Преобразование P = f (F,0, ) исходной кривой, при котором фокусу F (центр координат), биссектрисе фокального угла, заданной направлением 0, и отклонению угла от этой биссектрисы - (0 < ) соответствует полюс P, назовем полюсным, а кривую, получаемую в результате этого преобразования, назовем полюсной.

Отметим, что при полюсном преобразовании:

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение - основной фокус полюсной кривой совпадают с основным фокусом исходной кривой;

- совпадают фокальные оси у исходной и полюсной кривых;

p - фокальный параметр полюсной кривой pp ( p, ) = ; (4) cos e - эксцентриситет ep (e, ) = ; (5) cos а тип эллиптический, параболический или гиперболический зависит от e соотношения ep = и 1. Обратим также внимание, что фокальный параметр cos pp ( p, ) и эксцентриситет ep (e, ) изменяются одновременно, причем всегда возрастают.

ecos0 e cos в связи с тем, что Замечание 1. Мы записали = cos cos ecos0 cosзафиксировано значение у. Записать иначе = e мы не можем, cos cos cos т.к. выражение при изменении 0 может стать больше 1. (Найдите это cos условие!). В связи с этим, мы не можем оставить, например, и такой вариант ecos0 e = (cos0 cosm-1 )= ep(cos0 cosm-1 ), т.к. cos0 cosm-1 < 1 и отсюда cos cosm полюсная кривая будет незамкнута. Варианты с переменным ep в настоящей работе не рассматриваются.

Из того, что у исходной кривой эксцентриситет всегда строго меньше, чем у полюсной кривой e < ep, возможны только следующие полюсные преобразования:

эллипс (эллипс, парабола, гипербола, директриса);

парабола ( гипербола, директриса);

гипербола (гипербола, директриса).

Изучим вначале случаи, когда исходная кривая эллипс.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Тип 1. Эллиптический Упражнение 2. а) Найдите основные точки и длины полуосей полюсного эллипса. Сравните полученные результаты с (3.5.1.) б) Объясните, почему при совпадении основного (правого) фокуса, левые фокусы исходного эллипса и полюсного эллипса не совпадают (см.рис.1).

Упражнение 3. Докажите, что при = (300) (см. рис.1) точки A2 и Fpсовпадают. Замечание 2. Полюсную кривую можно построить и из левого фокуса эллипса. Однако важно то, что при полюсном преобразовании хотя бы одна пара фокусов у полюсной и исходной кривых совпадают, а также совпадают их фокальные оси.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Тип 2. Параболический Упражнение 4. Объясните, почему при полюсном преобразовании исходная парабола никогда не преобразуется в эллипс или параболу.

Тип 3. Гиперболический Упражнение 5. Найдите основные точки и длины полуосей полюсной гиперболы. Сравните полученные результаты с (3.7.3.),(3.7.4.) Упражнение 6. Доказать, что при полюсном преобразовании при стремлении, координаты правого фокуса полюсной кривой гиперболы стремятся к удвоенному расстоянию от полюса до директрисы исходной кривой.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Доказательство. Из (3.7.3.-4) следует 2ep 2ke 2 pe Fp2 : pp{,0} = kp{,0} =, где k =. Т.к. при e2 -1 (ke)2 -1 cos p e2 k2 p k, то Fp2.

e Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение Вариант 2 = (фокальный угол равен развернутому) Тип 4. Прямая линия (директриса) Докажем, что геометрическое место точек полюсов для всех типов кривых при развернутом фокальном угле лежит на директрисе. В самом деле, из (2) следует p p p P : {cos0,sin0} = {, tg0}. (5) cos + ecos0 e e = Схематично это можно записать так: эллипс, парабола, гипербола, (директриса). Из (3) найдем расстояние от фокуса до некоторой точки директрисы p p LFP = =. (6) cos + ecos0 e cos5.3. Половина фокального угла, как функция координат полюса.

Координаты точек касания 1. Работа в нормальной полярной системе координат (НПСК) Снимем теперь ограничение cos > 0 и рассмотрим работу в нормальной (необобщенной) полярной системе координат (НПСК), в которой радиус-вектор исходной кривой принимает только конечные положительные значения. Условие Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение для этого, (см. 3.7.1.), получается из положительности знаменателя полярного уравнения 1+ ecos0 > 0 или условий, ему равносильных.

К этому типу полярных уравнений, относятся следующие типы уравнений:

- эллиптический; - параболический (без асимптотического направления ); гиперболический ( при - < < и = ang(0,{-1, e2 -1}) (см.3.7.2.-2)).

Для этих типов кривых, направление вектора всегда однозначно совпадает с соответствующей точкой на кривой, при этом исходные и видимые векторы также совпадают. Кроме того, с каждым направлением (или вектором {cos0,sin0}) однозначно связана точка полюса, а расстояние от фокуса до полюса можно вычислить без знаков абсолютной величины p LFP =. (1) cos + ecosПри работе в НПСК формулу (5.2.-2) можно получить, практически, без вывода: коэффициент перед фигурными скобками – это длина вектора от фокуса до полюса (5.1.3.), а выражение в фигурных скобках – это коэффициенты проекций на оси координат.

Пусть, теперь, известны координаты полюса P :{x0, y0}. Работая в НПСК, по этим координатам можно однозначно вычислить полярный угол биссектрисы фокального угла в силу теоремы Ф.Лагира (4.1.1) 0 = ang(0,{x0,y0}), а также 2 радиус-вектор, который совпадает с расстоянием LFP = x0 + y0.

Сформулируем задачу: пусть некоторая точка на расстоянии LFP видна из фокуса под углом 0. Найдем угол.

Решение в НПСК p p p из (5.2.-6) LFP =, cos + ecos0 =, cos = - ecos0, cos + ecos0 LFPol LFP p p = ang(0,{ - ecos0),± 1- ( - ecos0)2 }). (2) LFP LFP Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение (Мы опускаем члены 2 n, n = 0,1, т.к. они, с одной стороны, не дают новых решений, а с другой стороны, после получения решения, углы должны быть нормализованы (см. 1.2.1.). Последнее равносильно применению слагаемых 2 n ). Следовательно, представляют интерес только варианты 0 < (т.е. углы только в верхней полуплоскости), поэтому остается одно решение p p (3) = ang(0,{ - ecos0, 1- ( - ecos0)2 }).

LFP LFP Упражнение 1. Пусть у параболы p = 20 мм и полюс находится на расстоянии 40 мм вправо от фокуса на фокальной оси. Найти угол отклонения.

Ответ. = (1500).

Продолжим исследовать задачу, когда точка видна из фокуса под углом 0, p а расстояние от фокуса до этой точки LFP. Сравнивая LFP и r = (где r - 1+ ecosрадиус-вектор), (4) можно выяснить, сколько касательных можно провести из данной точки к кривой.

Решение этой задачи разделяется на три варианта.

p Вариант LFP > (2 решения) 1+ ecosp p Доказательство. Из (1) следует >, cos + ecos0 < 1+ cos0, cos + ecos0 1+ ecoscos < 1. Отсюда мы имеем 2 решения (см. 2).

p Вариант LFP = (1 решение) 1+ ecosАналогично предыдущему варианту, получаем cos = 1. Ответ очевиден.

p Вариант LFP < (нет решений) 1+ ecosДоказательство очевидно.

Получен известный факт: для точки, расположенной за кривой существуют 2 касательных, при расположении на кривой – одна, а внутри кривой касательных нет.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение В дальнейшем изложении, для фокальных углов чаще всего будет использована формула 1,2 = 0 m.

2. Работа в обобщенной полярной системе координат (ОПСК) Заметим, что работа в ОПСК (см. 3.7.1.) имеет свои особенности, т.к.:

- радиус-вектор может принимать как отрицательные, так и бесконечные значения (асимптотическое направление параболы и точки разрыва гиперболы), - видимые направления (т.е. такие, которые измеряются по чертежу), и исходные направления не совпадают и отличаются на (см. 3.7.1.), - формулу расстояния от фокуса до полюса (5.1.-3) нужно применять, используя функцию абсолютной величины.

Тем не менее, мы, используя (5.2. замечание 1), сведем данную задачу к уже решенной в системе НПСК.

1) Пусть видимый (измеряемый на чертеже) и исходный углы совпадают.

Тогда решение дается (2).

2) Если видимый и исходный углы отличаются на, то для нахождения - p нам нужно решать следующее уравнение (см.5.1.-3а) LFP =. (5) cos - ecos- p p Отсюда cos - ecos0 =, cos = -( - ecos0), (6) LFPol LFP p p = ang(0,{-( - ecos0),± 1- ( - e cos0)2 }).

LFP LFP Т.к. 0 <, то мы оставляем одно решение (см. вывод (2)) p p (7) = ang(0,{ - ecos0, 1- ( - ecos0)2 }) +.

LFP LFP Вывод 1. Решения (3) и (7) являются смежными и приводят к одному и тому же множеству касательных, отличающихся только порядком (см. 5.2. замечание 1).

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.