WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 42 |

a'a'11 ka11 aРешение. tg = - = - = -. Подставляем ( e = 1) a'12 ka12 a1- cos2 sin tg = =. Это решение не противоречит решению предыдущего cos sin cos упражнения, т.к. tg( + ) = tg(). С другой стороны, несмотря на то, что при получении решения предыдущего упражнения число вычислений (операций) было больше, чем в текущем, найденный угол '= ang(0,{A1, A2}) + точно вычисляет угол наклона оси параболы (мы, в практической работе, пользуемся именно решением предыдущего упражнения). Решение же данного упражнения вычисляет угол наклона оси параболы только с точностью до.

Упражнение 7. Найти координаты вершины параболы, используя значения исходных инвариантов.

Решение. Применим методику [18, §255,(10)-(12)]. Однако в приведенных из [18] формулах берем знак ‘ + ’, т.к. мы точно умеем находить угол наклона оси параболы. Напомним, что для параболы S = 1. Итак, координаты вершины 1 a'2 a'23 A a11a13 + a12aпараболы = - (a33 - ), µ = -, где a'13 = - = p, a'23 =.

2a'13 S S S a11S sin2 (-Fx sin2 + Fy cos sin + p cos) - sin cos(Fx cos sin - Fy cos2 + p sin) a'23 = = sin = -Fx sin + Fy cos. Отсюда µ = Fx sin - Fy cos и = - (Fx2 sin2 + Fy2 cos - 2 p - 2FxFy sin cos - 2 pFx cos - 2 pFy sin - p2 -(- Fx sin + Fy cos) )= p p = Fx cos + Fy sin + = Fx cos + Fy sin +. Окончательно,.

µ = Fx sin - Fy cos Упражнение 8. Найти полярные параметры функции y = x2.

Решение. Запишем данную функцию в виде квадратичной формы x2 - y = 0, 1 x2 + 0 xy + 0 y2 + 0 x - 2 y + 0 = 0. Вычислим классические ортогональные Глава 3. Система координат Кеплера 1 0 1 инварианты S'= 1+ 0 = 1, A'33 = 1 0 - 0 0 = 0, A'= 0 0 - = -. Таким образом, 2 0 - A' 1 1 1 0 + 0 мы имеем параболу. Далее p = - =, a'13 =, a'23 = = 0. Координаты S' 2 1 a'2 -1 02 a'23 - вершины параболы = - (a33 - ) = - = 0, µ = - = = 0.

0 2a'13 S S Находим угол наклона фокальной оси A1 = a21a32 - a31a22 = 0 (-1) - 0 0 = 0, 1 1 1 A2 = a12a31 - a11a32 = 0 0 -1 (- 1) =, = ang(0,{A1, A2}) + = ang(0,{0, }) + =.

2 2 2 Фокус параболы находится в точке p 1 {Fx, Fy} = polar({, µ},, - ) = polar({0,0},, ) = {0, }.

2 4 2 Упражнение 9. Найти полярные параметры функции xy = 2.

1 Решение. Находим инварианты S'= 0, A'33 = -, A'=. Из (22-1) и (22-2) 4 (2 - e2)2 = 0. Следовательно, e = 2 (равносторонняя гипербола (3.7.4.)). Из (22-2) 1 1 1 k (1- 2) = -. Отсюда k = - ( учтено, что p2 > 0 (22-3)). p2 =, p = 2. Для 4 2 8 этого случая характеристическое уравнение 2 + A'33 = 0, '= - A'33 = и '1-a11 уравнение угла наклона фокальной оси tg'= =1, '= (450), = '+ =.

a12 4 pecos Координаты фокуса (17) xc = 0, yc = 0 и Fx = = -2, Fy = -2.

1- eУпражнение 10. Найти соотношения между членами квадратичной формы для равносторонней гиперболы.

Решение. У равносторонней гиперболы e = 2. Отсюда S = 2 - e2 = 0 и 2 S'= kS = 0. Имеем a11 = -a22. A33 =1- e2 = -1. Продолжаем A33 = -a11 - a12 = -1 или 2 2 2 2 a11 + a12 =1. С учетом коэффициента k a11 + a12 = k. (Сопоставьте с предыдущим упражнением.) Глава 4. Биссектриса фокального угла 4. Биссектриса фокального угла В этой главе мы будем рассматривать объекты с двумя радиус-векторами, выходящими из полюса.

4.1. Свойство биссектрисы фокального угла1. Теорема Лагира (de La Hire) (обобщенный вариант) Теорема. Биссектриса фокального угла или ее продолжение проходит через полюс (см. рис.1, 2, 3).

[Ср.22,том.1,190,стр.367] Другими словами: отклонение биссектрисы от полюса равно нулю.

Двухфокусные кривые Для эллипса и гиперболы утверждения теоремы справедливы для каждого фокуса (см. рис.4,5,6).

Для гиперболы, если ее радиус-векторы направлены к разным ветвям гиперболы, биссектриса смежного фокального угла (см. рис.7) или ее продолжение проходит через полюс.

1.Ph. De La Hire, Sectiones conicae, Paris 1685, P. 2. M.Chasles, Nouv.Mem. Acad. Brssel 6 (1830), S. 30 ( напечатано в 1831) 3. Ch.Graves, Two geometrical memoirs on the spherical conics, Dublin 1841, P. 4. O’Brien, A treattise on plane coordinate geometry, Teil 1. Cambridg und London 1844 P. 5. J.Casey, A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections, 2. Aufl. Dublin und London 1893, P. 6.M.Chasles, Comtes rendus de l’academie des sciences de Paris 17 (1843), P.7. J.Plcker, System der Geometrie des Raumes, Dsseldorf 1846, S. 8.G.Salmon (W.Fieller) Analytische Geometrie der Kegelschnitte, 8. Aufl. Teil 1. Leipzig und Berlin 1915 S.(Список литературы в данном месте приводится только для теоремы Ph. De La Hire) Глава 4. Биссектриса фокального угла Доказательство теоремы 4.1.-1 проведем в несколько этапов.

4.2. Координаты полюса Рассмотрим совместно систему уравнений для двух непараллельных касательных (3.2.1.-2), у которых в точках касания для определенности полярные (cos1 + e)x + (sin1) y - p = углы 2 > 1. (1) + e)x + (sin2 )y - p = (cos (Вариант с || касательными будет рассмотрен ниже.) Искомые координаты полюса найдем, как точку пересечения этих касательных. Для этого из 2-го уравнения вычтем 1-е x(cos2 - cos1) + y(sin2 - sin1) = 0.

- y(sin2 - sin1) Откуда x =. (2) cos2 - cosГлава 4. Биссектриса фокального угла Подставим теперь x в верхнее уравнение системы (1) - y(sin2 - sin1)(e + cos1) + y sin1 = p. Приведем к общему знаменателю и cos2 - cosупростим левую часть уравнения y(-e(sin2 - sin1) - cos1 sin2 + cos1 sin1 + cos2 sin1 - cos1 sin1) = cos2 - cosy(-sin(2 - sin1) - e(sin2 - sin1)) =. Решаем относительно y линейное уравнение cos2 - cosи, используя (2), находим окончательно координаты полюса p(sin2 - sin1) p(cos2 - cos1) x =, y = - или sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) p {sin2 - sin1,-(cos2 - cos1)}. (3) sin(2 -1) + e(sin2 - sin1) После сокращения общих множителей числителя и знаменателя (выполните это самостоятельно!) имеем 1 +2 1 + p{cos,sin } 2 P :. (4) 2 -1 1 +cos + ecos 2 Другие, более компактные формулы координат полюса приведены в (5.2.).

Упражнение 1. Решите систему уравнений (1) методом Крамера.

4.3. Свойство прямой, соединяющей фокус с полюсом Вначале рассмотрим вариант, когда полюс имеет реальные координаты, т.е. не находится на бесконечности. В этом случае знаменатель в формуле (4.2.2 -1 1 +4) cos + ecos 0. (1) 2 Проведем прямую через 2 точки - фокус F :{0,0} и полюс P :{xp, yp} x - 0 y - 0 x y =, =, ypx - xp y = 0. Теперь вместо {xp, yp} подставляем xp - 0 yp - 0 xp yp координаты полюса из (4.2.-4) 1 +2 1 +sin x - cos y = 0.

(2) 2 Глава 4. Биссектриса фокального угла 2 +sin Тангенс угла наклона (2). (3) 2 +cos Из (3) следует, что тангенсы угла наклона прямой, соединяющей фокус с полюсом, и биссектрисы фокального угла совпадают. Т.к. и биссектриса фокального угла, и прямая, соединяющая фокус с полюсом, проходят через фокус, следовательно, эти прямые совпадают. Для этого варианта теорема доказана. Рассмотрим 2-й вариант, когда касательные в точках касания || между собой (это означает, что мы рассматриваем вариант, связанный с одним из диаметров эллипса или гиперболы, т.к. у параболы нет || касательных). Кроме того, пусть sin1 0, и sin2 0. Заметим, что у || касательных тангенсы углов наклона равны cos1 + e cos2 + e =, (4) - sin1 - sin или sin(2 - 1) + e(sin2 - sin1) = 0. (5) 2 -1 2 - 1 2 -1 2 + Преобразуем левую часть (5) 2sin cos + 2esin cos = 2 2 2 2 -1 2 -1 2 += 2sin (cos + ecos ). Уравнение (5) свелось к системе 2-х 2 2 2 -1 2 -1 2 + независимых уравнений sin = 0 и cos + ecos = 0. Первое из них 2 2 дает корни 2 = 1 + 2k, k = 0,1, которые нам неинтересны, т.к. после нормирования не дают новые решения. Из 2-го уравнения выразим 2 -- cos e = и подставим его в тангенс угла наклона, например, 1-ой 2 + cos 2 -- cos + cos2 + 1 2 -1 2 +cos - cos + cos1 cos cos1 + e 2 2 касательной = = = 2 +- sin1 - sin- sin1 cos Глава 4. Биссектриса фокального угла 2 -1 1 2 -1 1 2 + 31 1 2 -1 1 2 + - cos + cos + cos - cos + cos 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = 2 +1 2 +- sin1 cos - sin1 cos 2 1 2 -1 2 + 31 2(2 + 1) 41 2 +(-cos + cos ) - sin sin sin 2 2 2 4 4 = = =. Отсюда мы 2 +1 2 + 1 2 +- sin1 cos - sin1 cos cos 2 2 можем сделать вывод, что тангенс угла наклона 1-й касательной (а в силу (4) и второй касательной) равен тангенсу биссектрисы фокального угла. И для этого варианта теорема доказана.

Остается рассмотреть 3-й вариант – касательные, выходящие из концов радиус-векторов ||, а также sin1 = 0, и sin2 = 0. Для эллипса и гиперболы в системе координат Кеплера – этот вариант соответствует главному диаметру. При этом 1 = 0, а 2 =. Для этих углов касательные диаметру, а прямая, выходящая из фокуса, диаметру. Она является биссектрисой, т.к. делит развернутый угол, представляемый диаметром, пополам. С другой стороны, в силу своей диаметру, эта прямая || касательным. Теорема доказана полностью.

Выведем теперь уравнение биссектрисы для данного варианта. Для этого возьмем в уравнение y = kx + b для k - тангенса угла наклона, например, угол 0. Т.к. биссектриса фокального угла проходит через центр координат cos0 + e (соответствующий фокус), то b = 0. Таким образом получаем y = x и - sinокончательно (cos1 + e)x - (-sin1) y = 0. (2) Глава 4. Биссектриса фокального угла 4.4. Нормальное уравнение стороны фокального угла Как и в (4.3.-2), проведем уравнение прямой через две точки – фокус p x - 0 y - F :{0,0} и конец радиуса вектора {x1, y1} = {cos1,sin1}: =, 1+ ecos1 x1 - 0 y1 - x y p sin1 p cos=, y1x - x1y = 0, x - y = 0, (sin1)x - (cos1) y = 0. (1) x2 y2 1+ ecos1 1+ ecosУравнение (1) уже нормально, т.к. A2 + B2 = sin2 1 + cos2 1 =1 Т.к. в уравнении (1) нет свободного члена, то знак у радикала несущественен. Для определенности берем “+”.

Для второй стороны угла по аналогии получаем (sin2)x - (cos2) y = 0. (2) 4.5. Отклонения от полюса до сторон фокального угла Нам нужно найти (см. рис.1..3) отклонения PD1, PD2 в смысле Гессе (от неориентированной прямой). Для этого подставим координаты полюса (4.2.-4) в уравнение первой стороны фокального угла F(x, y) = (sin1)x - (cos1)y (4.4.-1) и получим 1-е отклонение 1 +2 1 + psin1 cos - cos1 sin 2 1 = = 2 -1 1 +cos + ecos 2 1 +2 1 +2 1 +2 1 + psin1 - + sin1 + -1 - sin1 + - sin 2 2 2 = = 2 -1 1 + 2cos + ecos 2 2 - p sin = -. (1) 2 -1 1 +cos + ecos 2 2-е отклонение от полюса до второй стороны фокального угла 2 - psin 2 =. (2) 2 -1 1 +cos + ecos 2 (Другие формулы отклонения от полюса до сторон угла приведены в (5.4.).) Глава 4. Биссектриса фокального угла Сравнивая (1) и (2), убеждаемся, что абсолютные значения отклонений от полюса до сторон угла совпадают. Разные знаки у формул говорит о том, что полюс лежит по разные стороны от сторон фокального угла, т.е. между сторонами, или их продолжениями, если четырехугольник фокус-полюс невыпуклый (рис.

1,2,3).

Т.к. биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, то мы доказали, что полюс совпадает с одной из точек биссектрисы. Теорема для случая, когда касательные не параллельны, 2-й раз доказана. Дадим еще один вариант (более короткий) доказательства теоремы Ф.Лагира.

Доказательство. Возьмем два уравнения прямых линий, совпадающих с радис-векторами. Из (1.9.) мы знаем, что если сложить два уравнения прямых линий, то получим биссектрису угла, образованного этими прямыми ( в нашем случае эти прямые пересекаются, т.к. выходят из одной точки - фокус). Сложим левые и правые части уравнений (см. 4.4.-1) (sin1)x - (cos1) y = 0 и 2 -(sin2)x - (cos2) y = 0 и, произведя сокращения на общий множитель 2cos, получим уравнение биссектрисы фокального угла 1 +2 1 +x - cos y = 0.

sin (3) 2 Глава 4. Биссектриса фокального угла Найдем координаты отклонения полюса от биссектрисы. Для этого 1 +2 1 +{cos,sin } 2 подставим координаты полюса (4.2.-4) P : в (3). При этом 2 -1 1 +cos + ecos 2 отклонение полюса от биссектрисы фокального угла равно 0 (проверьте!).

Таким образом доказано, что биссектриса фокального угла коники проходит через полюс. Упражнение 1. Дайте аналитическое объяснение рис.4.1.-6 и рис.4.1.-7.

4.6. Некоторые следствия из теоремы о биссектрисе фокального угла Следствие 1. Если хорда соединяет коническую кривую в 2-х точках (т.е. ее направление не является асимптотическим [16,стр.350]) и проходит через фокус, то, опущенный из полюса на эту хорду, также проходит через фокус, и совпадает с биссектрисой фокального угла (см. рис.4.6.-2). (Заметим, что биссектриса, совпадающая с главным направлением оси у параболы и гиперболы, т.е. с асимптотическим направлением, также удовлетворяет следствию 1. Условие неасимптотического направления важно только при 0 = для параболы.) Доказательство. Т.к. в данном случае хорда T1T2 является отрезком прямой, то угол между радиус-векторами, составляющими хорду, является развернутым или. Биссектриса FP делит этот угол пополам и составляет с каждым радиус-вектором угол =, т.е. им и хорде в целом. С другой стороны, как это было доказано в 4.3., биссектриса проходит через полюс. Заметим также (см. рис.4.6.-2), что каждый из, проведенных из полюса P к соответствующим радиус-векторам FT1, FT2, в данном случае проходит через фокус. Таким образом, эти два сливаются в один.

Глава 4. Биссектриса фокального угла Определение. Под симметричной дугой мы понимаем такую сплошную дугу T1T2 (см. рис.1), одну часть которой можно зеркально отобразить на другую относительно фокальной оси симметрии. Заметим, что у симметричной дуги к концевым точкам радиус-векторы равны, а у несимметричной дуги эти радиусы разные.

С точки зрения равенства радиус-векторов из фокуса (любого), у эллипса и у гиперболы существует только одна ось симметрии.

Следствие 2. Не существует аффинного отображения симметричной дуги на несимметричную дугу.

Доказательство. Допустим, что такое отображение все же существует.

Будем отображать (см. рис.1) дугу T1T2 на дугу T1T2 таким образом, чтобы совместились конечные точки дуг (сохранение ориентации дуг при отображении T1X необязательно). Учитывая, что T1FT2 равнобедренный, то = 1. С другой XT стороны, T1FT2 неравнобедренный, FX биссектриса, которая делит противоположную сторону треугольника T1T2 на части, пропорциональные длинам прилегающих сторон (в нашем случае длинам FT1, FT2, которые по T1X условию не равны между собой). Отсюда 1. Учитывая, что при аффинном X Tотображении должно сохраняться простое отношение 3-х точек [16, стр.505, теорема 6], мы пришли к противоречию.

Глава 4. Биссектриса фокального угла Упражнение 11. Пусть углы, построенные из одного из фокусов эллипса, опираются на противоположные стороны описанного выпуклого четырехугольника (см.рис.2) Доказать, что AFB + CFD =.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.