WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 42 |

1+ ecos( -) 1+ ecos( -) Уравнение (4) – иррационально. При возведении левой и правой частей в квадрат мы, с одной стороны, получим квадратичную форму относительно координат {xi, yi}. С другой стороны, кроме нужных, можно получить и лишние корни. Таким образом, квадратичная форма может содержать избыточную Глава 3. Система координат Кеплера информацию. Это и есть причина того, что в квадратичной форме к аффинным классам конических кривых добавляются еще 6 других аффинных классов.

Возводим обе части уравнения в квадрат xi2 - 2xiFx + Fx2 + yi2 - 2yiFy + Fy2 = xi2e2 cos2 + yi2e2 sin2 + p2 + Fx2e2 cos2 + Fy2e2 sin2 + + 2xi yie2 cos sin - 2xi pecos - 2xiFxe2 cos2 - 2xiFye2 cos sin - 2yi pesin - 2yiFxe2 sin cos - 2yiFye2 sin2 + 2Fx pecos + 2Fy pesin + 2FxFy cos sin. (5) Получим из (5) 6 коэффициентов квадратичной формы a11 1- e2 cosxi2a12 - e2 sin xi yi a22 1- e2 sinyi.(6) 2a13 - 2Fx (1- e2 cos2 ) + Fye2 sin 2 + 2 pecos xi 2a23 Fxe2 sin 2 - 2Fy (1- e2 sin2 ) + 2 pesin yi a33 Fx2(1- e2 cos2 ) + Fy2(1- e2 sin2 ) - FxFye2 sin 2 - 2Fx pecos - 2Fy pesin - pc (Дадим еще одно выражение для aFx2(1- e2 cos2 ) + Fy2(1- e2 sin2 ) - FxFye2 sin 2 - 2Fx pecos - 2Fy pesin - p2 = = Fx2 + Fy2 - e2(Fx cos + Fy sin)2 - 2 pe(Fx cos + Fy sin) - p2 = = Fl 2 - e2Fl2(cos cos + sin sin)2 - 2 peFl (cos cos + sin sin) - p2 = = Fl2(1- e2 cos2( -)) - 2 peFl cos( -) - p2, где = ang(0, F), Fl = dist(0, F ).) Обратим внимание, что коэффициенты квадратичной формы aik не зависят от выбора точек на кривой {xi, yi}, т.к. правая часть (6) не зависит от {xi, yi}.

Рассмотрим некоторые алгебраические выражения - S, A33, A от коэффициентов квадратичной формы и докажем, что они не меняются от угла поворота фокальной оси и координат фокуса {Fx,Fy}, т.е. являются относительно этих параметров инвариантами. В математической литературе принято эти инварианты называть ортогональными, и мы не будем менять это название, хотя и вкладываем в него в этом месте иной смысл. С другой стороны, ниже дадим объяснение этого названия с точки зрения классической теории.

1) Докажем, что S = a11 + a22 - ортогональный инвариант.

В самом деле 1- e2 cos2 +1- e2 sin2 = 2 - e2. (7) Глава 3. Система координат Кеплера Выражение (10) не зависит от угла поворота фокальной оси и от координат фокуса.

a11 a2) Докажем, что A33 = = a11a22 - a12 - ортогональный инвариант.

a21 aДействительно e4 sin2 2 e4 sin (1- e2 cos2 )(1- e2 sin2 ) - = 1- e2 sin2 - e2 cos2 + 4 e4 sin2 - =1- e2.

(8) Заметим, что для параболы ( e = 1) - этот определитель равен 0.

a11 a12 a3) Докажем, что определитель A = a21 a22 a23 является ортогональным a31 a32 aинвариантом. При этом будем некоторые элементы определителя из-за их большой длины записывать внутри круглых скобок и разбивать внутри этих скобок на несколько строк. Итак - Fx (1- e2 cos2 ) Fye2 sin - e2 sin 1- e2 cos2 + 2 + pecos Fxe2 sin - e2 sin - Fy (1- e2 sin2 ) A = 1- e2 sin + pesin Fx2(1- e2 cos2 ) - Fx (1- e2 cos2 ) Fxe2 sin + Fy2(1- e2 sin2 ) Fye2 sin - Fy (1- e2 sin2 ) - FxFye2 sin + + pesin 2Fx pecos - + pecos. (9) - 2Fy pesin - p Упростим определитель. Для этого умножим 1-й столбец на Fx, 2-й на Fy и прибавим эти столбцы к 3-му столбцу. Затем аналогично умножим 1-ю строку Глава 3. Система координат Кеплера на Fx, 2-ю на Fy и прибавим их к 3-ей строке. Вынесем за знак определителя p(из 3-ей строки и 3-его столбца). Теперь имеем - e2 sin 1- e2 cos ecos - e2 sin A = p2 1- e2 sin2 esin. (10) ecos esin -Умножим 3-ю строку на e cos и сложим с 1-й. Затем умножим 3-ю строку на esin и сложим с 2-й. После преобразований получим 1 0 A = p2 0 1 0. (11) e cos esin -Последние преобразования: умножим 1-строку на - e cos, 2-ю на - esin и обе 1 0 строки сложим с 3-ей. Окончательно A = p2 0 1 0 = - p2. (12) 0 0 -(Заметим, что для вычисления данного инварианта необходимо брать все коэффициентов квадратичной формы.) Таким образом доказано, что при одновременном вращении фокальной оси и изменении координат фокуса ортогональные инварианты S, A33, A остаются неизменными.

Рассмотрим теперь некоторые примеры, большинство из которых являются классическими формулами.

1) Доказать1, что знак инварианта A33 определяет тип коники: при A33 < 0 - эллипс при A33 = 0 - парабола и при A33 > 0 - гипербола.

Доказательство очевидно, если рассмотреть выражение A33 =1- e2.

2) Найдем угол, на который повернута фокальная ось кривой a11 - a22 (1- e2 cos2 ) - (1- e2 sin2 ) cos ctg2 = = =. (13) 2a12 - e2 sin 2 sin Г.Б.Гуревич. Основы теории алгебраических инвариантов. ОГИЗ, М. и Л., 1948, стр. 14.

Глава 3. Система координат Кеплера Заметим, что найденный угол для параболы и гиперболы [см.также18,§205] нуждается в корректировке: к нему нужно прибавить.) 3) Найдем точку центра у эллипса и гиперболы (напомним, что у параболы нет точки центра, а есть линия центра, которая совпадает с фокальной осью внутри параболы).

С этой целью методом Крамера решим систему уравнений [18,§228], [16, §144] a11xc + a12 yc + a13 = 0,. (14) xc + a22 yc + a23 = 0.

a- a13 a12 a11 - ax - a23 a22 y a21 - aПри этом xc = =, yc = =. (15) a11 a12 a11 a a21 a22 a21 aПеред этим (11) мы вычисляли определитель данной системы уравнений = A33 = 1- e2.

Поэтому нам осталось найти определители x и y.

Fx (1- e2 cos2 ) Fye2 sin - e2 sin - 2 - pecos - a13 a x = =. (16) Fxe2 sin - a23 a- + Fy (1- e2 sin2 ) 1- e2 sin - pesin Умножим 2-й столбец на - Fy и сложим с 1-м. Затем “крест-на-крест” перемножим элементы определителя. После всех элементарных преобразований (проведите их!), получим pecos pesin xc = Fx -, yc = Fy -. (17) 1- e2 1- eНайденные координаты центра согласуются с соответствующими координатами, вычисленными в (3.1.2.). Но при этом нужно подставить в (17) для гиперболы откорректированный угол.

Глава 3. Система координат Кеплера Элементы классической теории Известно, что движения - вращения и || перенос, сохраняют длину (1.5.1.).

Напомним, что такие преобразования называются ортогональными. Определитель ортогональных преобразований равен ±1 ( ' + ' - при сохранении ориентации, ' - ' - при изменении ее на противоположную).

Далее рассмотрим только вращения, предоставляя читателю доказать инвариантность приведенных выше определителей в случае чистого || переноса.

Запишем преобразования координат без || переноса (1.5.1.-10) x = xcos - ysin, y = xsin + y cos.

Найдем квадратичные члены x2, xy, y2 2 x = x cos - 2 x y cos sin + y sin 2 2 xy = x cos sin + x y cos - x y sin + y cos sin, 2 y2 = x sin2 + 2x y cos sin + y cos.

Теперь можно вычислить коэффициенты квадратичной формы в новой системе координат. Для этого запишем условие, при котором две квадратичные формы – старая и новая описывают одну и ту же кривую.

a11x2 + 2a12xy + a22 y2 + 2a13x + 2a23 y + a33 = a11(x cos2 - 2x y cos sin + y sin)+ 2 + 2a12(x cos sin + x y cos2 - x y sin2 + y cos sin)+ 2 + a22(x sin2 + 2x y cos sin + y cos)+ 2a13(xcos - ysin)+ 2a23(xsin + y cos)+ a33 = 2 = a x + 2a x y + a y + 2a x + 2a y + a.

11 12 22 13 23 Преобразовывая, выразим новые коэффициенты через старые [18,§247] a = a11 cos2 + 2a12 sin cos + a22 sin a12 = -(a11 - a22)sin cos + a12(cos2 - sin2 ) a22 = a11 sin2 - 2a12 sin cos + a22 cos. (18) a13 = a13 cos + a23 sin a23 = -a13 sin + a22 cos a33 = a Докажем, что при повороте сохраняется ортогональный инвариант S S = a + a = a11(cos2 + sin2 ) + a11(cos2 + sin2 ) = a11 + a22.

11 Мы хотели бы обратить на этот подраздел особое внимание специалистов по инвариантам.

Глава 3. Система координат Кеплера Доказательство классическим методом инвариантности определителей A33, A при поворотах предоставляем читателю [см. 16, §142].

Итак, ортогональные преобразования (повороты и || перенос) оставляют неизменными ортогональные инварианты. Собственно говоря, это и есть объяснение названия ‘ортогональные инварианты’. Таким образом, наш и классический подходы – эквивалентны.

Рассмотрим еще раз 5-точечную схему (2.1). Для этого рассмотрим квадратичную форму a11x2 + 2a12xy + a22 y2 + 2a13x + 2a23 y + a33 = 0. (19) Мы видим, что в квадратичной форме 6 неизвестных, однако традиционно используется только координаты 5 точек для вычисления коэффициентов квадратичной формы. 6-й коэффициент - свободный член - устанавливаем произвольно, с точностью до постоянного множителя. Например, (один из способов): если a33 0, то делим все члены коэффициенты квадратичной формы на a33 (С таким же успехом возможно делить все члены на величины - a33, 2a33 и т.д.) Таким образом, получаем a11 a12 a22 a13 ax2 + 2 xy + y2 + 2 x + 2 y +1 = 0. (20) a33 a33 a33 a33 aaik ' В итоге имеем 5 неизвестных aik = и константу 1. Решая систему из aлинейных уравнений с 5 неизвестными (см. (2.2)), получим каждый из ' коэффициентов aik также с точностью до постоянного множителя. Как уже здесь ' говорилось, это происходит потому, что столбец, состоящий из - a33, по правилу Крамера входит в каждый определитель числителя. (Если мы пользуемся другим алгоритмом для поиска решений системы линейных уравнений, например методом исключения Гаусса, то решения будут идентичными и могут отличаться только точностью.) Поэтому численные значения классических инвариантов S, A33, A, могут быть вычислены только с точностью до степени коэффициента ' ak = (степень зависит от порядка инварианта) a' S' = kS, A33 = k2A33, A'= k3A. (21) Глава 3. Система координат Кеплера Докажем, также, что корень характеристического уравнения 2 - S + A33 = 0 [18,§254,(6)], [16,§143,стр.353] линейно зависит от данного коэффициента '= k. В самом деле S' S'2 kS k2S '2-S''+A'33 = 0, '1,2 = ± - A'33 = ± - k2A33, '= k.

2 4 2 Т.к. при расчете параметров полярного уравнения для расчета классических параметров конических кривых (например, полуосей эллипса) применяют отношение инвариантов, то коэффициент k сокращается в числителе и знаменателе этого отношения. Приведем типичное выражение из A классической теории для расчета большой полуоси эллипса a2 =.

1AОчевидно, что в данном случае коэффициент k в числителе и знаменателе может быть сокращен.

Укажем еще на возможные появления коэффициента k. Так, нулевые значения инвариантов S, A33, A являются переключателями для перехода к различным веткам алгоритма. Очевидно, что если, например, A = 0, то и kA = A.

В некоторых формулах используется не значение инварианта, а только его знак [16, §143, таблица]. Однако знак используется только в тех формулах, в которых k появляется в четной степени (например: S A, A33, и т.д.). Поэтому, весь классический алгоритм работает корректно, при любых (положительных или отрицательных) значениях k.

В [18,§260-§261] рассматриваются условия подобия и конгруэнтности двух линий 2-го порядка. Так образом, мы имеем некоторое сходство подходов.

' Однако, предложение о том, что система инвариантов S', A33, A' полна, т.е.

' любой новый инвариант есть функция от 3-х инвариантов S', A33, A', доказывается нами проще. В самом деле, система из 3-х уравнений с 3-мя ' неизвестными k, e, p и известными S', A33, A' - e2) = S', k(k2(1- e2) = A'33, p > 0, e > (22) - k3 p2 = A', Глава 3. Система координат Кеплера разбивается на две независимые подсистемы. Подсистема, состоящая из уравнений (22-1), (22-2) решается на 1-м этапе отдельно от уравнения (22-3).

Находим k и e, затем подставляем k в (22-3) и находим p. (Мы предлагаем читателю самостоятельно найти условие совместности системы (22). В [18,§261] приведено условие для всех классов кривых 2-го порядка: исключая ' случай A33 = A'= 0. Как нужно изменить это условие, если мы рассматриваем только конические кривые) Назовем ортогональные инварианты при k = 1 исходными. Найдем исходные корни характеристического уравнения 2 - S + A33 = 0. Для этого подставим исходные инварианты S = 2 - e2, A33 = 1- e2 в характеристическое уравнение 2 - e2 2 - e2 - (2 - e2) + (1- e2) = 0. Отсюда 1,2 = ± - (1- e2), 1 = 1- e2, 2 = 1.

2 (Мы упорядочили корни по возрастанию: 1 2 ). (23) Заметим, что корни характеристического уравнения всегда действительны, т.к.

S eдискриминант этого уравнения неотрицательный D = - A33 = 0. ( D = 0 при 4 e = 0 - только для окружности.) Упражнение 1. Подставьте исходные инварианты в классические формулы A A a2 = -, b2 = -, определяющие длины квадратов полуосей эллипса.

1A33 2Ap p Ответ. a =, b = (см. 3.5.1.).

1- e1- eУпражнение 2. Подставить исходные инварианты в классическую формулу A [18,§259,(9)] параметра параболы p = -.

SРешение. Для параболы S = 2 - e2 = 1. Отсюда p = - A = p2 = p.

Таким образом: при подстановке исходных инвариантов в классические формулы, последние легко проверяются и/или интерпретируются.

'1-a'Упражнение 3. Убедиться в справедливости tg = [16,§150,(3)].

a'Глава 3. Система координат Кеплера '1-a'11 k(1- e2) - k(1- e2 cos2 ) - (1- cos2 ) sin Решение. = = =. (Замечание, a'12 - ke2 cos sin - cos sin cos сделанное выше, о том, что нужно сделать коррекцию рассчитанного угла для параболы и гиперболы - добавить угол - справедливо и в этом случае.) Упражнение 4. Исследовать уравнение 4x2 + 9y2 + 8x - 36y + 4 = 0 [16,§151, пример 1].

Решение. Находим инварианты S'= 13, A'33 = 36, A'= -92 42. Т.к. A'33 0, то (1- e2) A'33 1- e2 это не парабола. Из (22-1) и (22-2) находим e =, =, (2 - e2)2 S'2 (2 - e2)2 1- e2 = (4 - 4e2 + e4). Для решения биквадратного уравнения вводим новые переменные z = e2, l =. Тогда lz2 - (4l -1)z + (4l -1) = 0, 4l -1± (4l -1)2 - 4l(4l -1) -1± 1- 4l 5 4l z1,2 = =, z =, e = 0.745 < 1 (эллипс).

2l 2l 9 S' (При преобразованиях было использовано, что e > 0). Отсюда k = = 9. Из (222 - z 4 4 - 3) 93 p2 = 92 42, p =. Из (13) ctg2 =. Следовательно, = 0 (проведите 3 - 4 0 4 - 18 9 0 анализ!). Из (15) xc = = -1, yc = = 2.

36 4 pecos pesin 3 Из (17) Fx = xc + = -1+ = 5 -1, Fy = yc + = 2.

1- e2 1- eУпражнение 5. Доказать, что угол наклона оси параболы [16,стр.396] выражается формулой = ang(0,{A1, A2}), где A1 = a21a32 - a31a22, A2 = a12a31 - a11a32.

Решение. Т.к. = ang(0,{A'1, A'2 }) = ang(0,{k2A1, k2A2}) = ang(0,{A1, A2}), то мы можем исследовать исходные определители. С другой стороны, мы уже имели с ними дело (15): A1 = x = Fx(1- e2) - pecos, A2 = y = Fy (1- e2) - pesin. У параболы e = 1, поэтому = ang(0,{- pecos',- pesin'}) = '+. (Напомним, что необходимо поворачивать на 1800 ( ) рассчитанные углы параболы и гиперболы.) Глава 3. Система координат Кеплера Упражнение 6. Доказать, что угол наклона оси параболы [18,§255,(9)] a'выражается формулой tg = -.

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.