WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 42 |

Решение. Запишем совместно систему уравнений асимптот (5а) и e2 -1 y p e2 - x ± - = касательной (3.2.1.-2). (8) e e e2 -(cos + e)x + sin y - p = Ищем решение в следующем виде (- p) sin (- p e2 -1) B1C2 - B2C1 ± e - e2 -1 p(m(e2 -1) + e e2 -1sin) x1,2 = = = = A1B2 - A2B1 e2 -(cos + e) (e2 -1)( e2 -1sin m (cos + e)) sin e ± e p(m e2 -1 + esin) =, (e2 -1)sin m e2 -1(cos + e) Глава 3. Система координат Кеплера - (cos + e) p e2 -1 (- p) e2 -- A2C1 - A1Ce2 -1 e y1,2 = = = A1B2 - A2Be2 -1 (cos + e) sin e ± e p(-e(cos + e) + e2 -1) - p(1+ ecos) = =. (9) (e2 -1)sin m e2 -1(cos + e) (e2 -1)sin m e2 -1(cos + e) Упражнение 2. Найти координаты вершин, длины сторон и площадь прямоугольника ABCD (см. рис.2,3,4), образованного касательными гиперболы.

Решение. Подставим в формулы (9) упражнения 1 углы = 0,.

p(m e2 -1 + esin) p Абсциссы =, =e +(e2 -1)sin m e2 -1(cos + e) p(m e2 -1 + esin) p =.

= e -(e2 -1)sin m e2 -1(cos + e) Ординаты - p(1+ ecos) ± p } =0=, (e2 -1)sin m e2 -1(cos + e) e2 -- p(1+ ecos) m p } = =. Из этих формул выбираем нужные (e2 -1)sin m e2 -1(cos + e) e2 -p - p p - p p p компоненты A : {, }, B : {, }, C : {, }, (e +1) (e -1) (e -1) e2 -1 e2 -1 e2 -p p D : {, }. (12) (e +1) e2 -Вычислим длины сторон. Из (3.7.3.-2а) или из (12) p p 2 p BA = - = = 2a. (13) e -1 e +1 e2 - Отрезок O1O2, совпадающий с вертикальной осью симметрии, называют поперечной полуосью или мнимой осью гиперболы [18, стр.369].

Половину этого отрезка называют параметром b.

p - p 2 p Отсюда O1O2 = BС = - = = 2b, (14) e2 -1 e2 -1 e2 -Глава 3. Система координат Кеплера p p e2 -b = =. (15) e2 -e2 -4 p Площадь прямоугольника SABCD = = 4ab. (16) (e2 -1)Займемся соотношением между a и b. Из (13) и (15) следует b = a e2 -1.

(17) Пусть k = e2 -1, тогда b = ka. Очевидно, что при k < 1, b < a, при k = 1, b = a, при k > 1, b > a. (18) Рассмотрим подробнее условие, при котором a = b. Получаем 1 = e2 -1, e2 = 2, e = 2 ( отброшен отрицательный корень, т.к. всегда e > 0 ). (19) Очевидно, что если e > 2, то гипербола «вытянута» вдоль оси ординат, если же e < 2, то она «сжата» вдоль этой оси.

(20) (см. рис.2,3, 4).

Упражнение 4. 1) Доказать, что тангенсы угла наклона асимптот (1), b выраженные через полуоси гиперболы a,b равны k = m (ср.[18,§198,3]).) a b2) Доказать, что выражение = p выполняется для гиперболы a [18,стр.390].

Доказательство. В самом деле, из (2а), (4) следует (a e2 -1)2 p(e2 -1) = a(e2 -1) = = p. (21) a e2 -Глава 3. Система координат Кеплера Упражнение 5. Гипербола, у которой полуоси равны a = b, называется равносторонней. Докажите, что ее асимптоты перпендикулярны. И обратно, если асимптоты гиперболы перпендикулярны, то ее полуоси равны.

Доказательство. Докажем обратное выражение (см.рис.3). Напомним, что две прямые перпендикулярны, если их коэффициенты, представленные в общем виде, удовлетворяют соотношению A1A2 + B1B2 = 0 (1.4.5.-6). Следовательно, из (5) Глава 3. Система координат Кеплера e2 -1 e2 -1 1 1 e2 -1 1 e2 - находим - = 0, - = 0, = 0, e = 2. Из (19) следует, e e e e e2 e2 eчто a = b.

Упражнение 6. Доказать, (см. упр.1), что середина отрезка, отсекаемого асимптотами от касательной, является точкой касания.

1 p{cos,sin} Доказательство. Нам нужно доказать, что {x1 + x2, y1 + y2} =.

2 1+ ecos Для упрощения выкладок, выведем формулы преобразования для каждой координаты отдельно. Так, для оси абсцисс p a - b a + b p ac + ad - bc - bd + ac - ad + bc - bd ac - bd ( + ) = ( ) = p( ), где a = esin, 2 2 c - d c + d 2 c2 - d c2 - d b = e2 -1, c = (e2 -1)sin и d = e2 -1(cos + e). Тогда (x1 + x2) = esin2 (e2 -1) - (e2 -1)(cos + e) p(e - ecos2 - cos - e) = p = = (e2 -1)2 sin2 - (e2 -1)(cos + e)2 (1- cos2 )(e2 -1) - (cos2 + 2ecos + e2) - p cos(1+ ecos) - p cos(1+ ecos) p cos = = =.

e2 -1- e2 cos2 + cos2 - cos2 - 2ecos - e2 - (1+ ecos)2 (1+ ecos) (Выражение c2 - d = -(e2 -1)(1+ ecos)2 (22) для нахождения знаменателя будет встречаться нам и дальше).

p f f fc Теперь, аналогично, для ординат ( + ) = p, где c и d прежние, а 2 c - d c + d c2 - d 1 - p(1+ ecos)(e2 -1)sin p sin f = -(1+ ecos). Отсюда (y1 + y2) = =.

2 - (e2 -1)(1+ ecos)2 (1+ ecos) Упражнение 7. Доказать (см. рис.1 и упр.1, 2), что площадь треугольника между асимптотами и касательной равна произведению полуосей гиперболы.

p p e2 -1 p2 e2 -Доказательство. Нам нужно доказать, что S = ab = =.

e2 -1 e2 -1 (e2 -1)x1 y1 Так как площадь треугольника S = det, где det = x2 y2 1, то x3 y3 Глава 3. Система координат Кеплера pe 0 e2 -1 p(- e2 -1 + esin - p(1+ cos) S = (e2 -1)sin - e2 -1(cos + e) (e2 -1)sin - e2 -1(cos + e) p( e2 -1 + esin) - p(1+ cos) (e2 -1)sin + e2 -1(cos + e) (e2 -1)sin + e2 -1(cos + e) (здесь двойными вертикальными линиями обозначено абсолютное значение определителя).

Разложим определитель по элементам первой строки. Отсюда 1 pe S = det1+ det2. Дальнейшее упрощение определителя будем производить 2 (e2 -1) вынесением общих множителей столбцов и строк за знак определителя. Кроме 1 1 2d того, применим - = и (22) c - d c + d c2 - d - p(1+ cos) 2 p(1+ ecos) e2 -1(cos + e) (e2 -1)sin - e2 -1(cos + e) det1 = =.

- p(1+ cos) (e2 -1)(1+ ecos)(e2 -1)sin + e2 -1(cos + e) Таким же образом найдем p(- e2 -1 + esin) - p(1+ cos) (e2 -1)sin - e2 -1(cos + e) (e2 -1)sin - e2 -1(cos + e) det2 = = p( e2 -1 + esin) - p(1+ cos) (e2 -1)sin + e2 -1(cos + e) (e2 -1)sin + e2 -1(cos + e) - p2 (1+ ecos) - 2 p2 (e2 -1) = ((- e2 -1 + esin) - ( e2 -1 + esin)) =.

- (e2 -1)(1+ ecos)2 (e2 -1)(1+ ecos) 2 p2 (e2 -1) p2 (e2 -1) e(cos + e) Соберем все вместе S = -1 = = ab. (23) 2(e2 -1) (1+ ecos) (e2 -1) (e2 -1) Упражнение 8. Используйте (23) для вычисления площади прямоугольника ABCD (см.рис.2) и сравните полученный результат с (16).

Глава 3. Система координат Кеплера Упражнение 9. Доказать, что площадь параллелограмма, одна из вершин которого есть точка гиперболы, а две стороны параллелограмма лежат на асимптотах (см. рис.2), равна половине площади треугольника из упражнения 7.

Указание. Используя свойства средней линии треугольника, докажите, что P1OP2 состоит из 4-х равных треугольников, из которых 2 заштрихованы.

Упражнение 10. Найти координаты вершин, длины сторон и площадь прямоугольника A'B'C'D' (см. рис.6), образованного пересечением вертикалей, проведенных через фокусы, и асимптотами гиперболы.

Решение. Абсциссы A',B',C',D' известны – это соответствующие абсциссы фокусов эллипса. Найдем ординаты и другие элементы, зная решение упражнения 2 и воспользовавшись тем, что A'OD' подобен AOD (докажите FO pe p это!). Найдем коэффициент подобия k = = : = e. (24) A1O (e2 -1) e2 -- pe 2 pe - pe (см. 3.7.3.-3а), (3.7.3.-5). Отсюда A':{0, }, B':{, }, e2 -e2 -1 e2 -2 pe - pe pe C':{, }, D':{0, }. (25) e2 -e2 -1 e2 -Длины сторон (ср.13) Глава 3. Система координат Кеплера pe 2 pe B' A' = k BA =, C'B' = k CB =. (26) e2 -e2 -4 p2e Площадь прямоугольника SA'B'C'D' = k2SABCD =. (27) (e2 -1)Упражнение 11. Выразить p, e, f и абсциссы точек Ox, F2 через полуоси гиперболы - a, b.

p e -1 = a Решение. Запишем (12) в виде системы уравнений. (28) p = b e2 - b Тогда = e2 -1, (29) a b2 a2 + b2 b2 b e2 = +1, e = и p = a( +1-1) = (см. 21), (30) a2 a a2 a Ox = ae = a2 + b2, (31) F2x = 2ae = 2 a2 + b2, (32) f = Ox - a = a2 + b2 - a. (33) Дадим для справки параметр c, называемый еще линейным эксцентриситетом, который в отличие от просто эксцентриситета e [18, стр.369], pe имеет линейную размерность и равен c = ea. Учитывая (2а) c =. (34) e2 -Упражнение 12. Найти угол между асимптотами. Указание. Из двух смежных углов взять тот, в который “вписана гипербола”.

b Решение. Обозначим искомый угол. Очевидно, что tg = tg = tg e2 -1.

2 a (35) Отсюда следует (1.2.5.1.-3) = 2ang(0,{1, e2 -1}) = ang(0,{1-( e2 -1),2 e2 -1}) = = ang(0,{2 - e2,2 e2 -1}). (36) Проверим (36) для равнобочной гиперболы ang(0,{2 - e2,2 e2 -1) = e= Глава 3. Система координат Кеплера = ang(0,{0,2}) = (900). Доказано, что асимптоты равнобочной гиперболы взаимно. Такой же результат получен в упражнении 5.

Упражнение 13. Найти угол, на который поворачивается нормальный вектор касательной, пока гипербола находится в “угле между асимптотами” (см.

предыдущее упражнение).

Решение. Угол, между осью абсцисс и нормальным вектором касательной (см.3.2.1.-4) = ang(0,{cos + e, sin}). Полярный угол, присутствующий в формуле, изменяется между углами разрыва 1 = ang(0,{-1,- e2 -1}), 2 = ang(0,{-1, e2 -1}). Найдем, используя (1.2.1.-9), (1.2.1.-16) между этими углами 2 -1 = ang(0,{cos2 + e, sin2}) - ang(0,{cos1 + e, sin1}) = -1 e2 -= ang(0,{ + e, }) - ang(0,{-1+ e2,- e2 -1}) = ang(0,{ e2 -1,1}) - 1+ e2 -1 1+ e2 -- ang(0,{ e2 -1,-1}) = ang({0,{e2 -1-1, e2 -1 + e2 -1}) = ang({0,{e2 - 2,2 e2 -1}). (37) Сравнивая (37) и (36), получим геометрически очевидный результат: угол поворота нормального вектора является дополнительным до по отношению к углу между асимптотами.

3.7.5. Преобразования между левым и правым фокусом гиперболы При изучении этих преобразований, мы хотим обратить особое внимание читателя на разницу между работой в обобщенной и в нормальной полярной системе координат. Еще раз напомним суть отличия. В нормальной полярной системе координат (НПСК) полярный угол и радиус-вектор направлены в одном направлении. В обобщенной полярной системе координат (ОПСК) радиус-вектор может быть отрицателен, и, в силу этого, полярный угол и радиус-вектор могут быть направлены в противоположные стороны.

Наличие такого явления, может существенно усложнить исследование.

Глава 3. Система координат Кеплера 3.7.5.1. Расстояние d2() из правого фокуса гиперболы до некоторой точки на ней Возьмем некоторую произвольную точку P1 (см. рис.1), которая видна из левого фокуса под углом. Найдем ее радиус-вектор и декартовые координаты p p cos p sin r =, x =, y =.

1+ ecos 1+ ecos 1+ ecos По теореме Пифагора найдем расстояние между P1 и 2e правым фокусом (3.7.1.-4) F2 : p{,0} e2 -2 p cos 2 pe p sin F2P1 = d2 = (*) 1+ ecos - e2 -1 + ecos.

1+ Для краткости, продолжим далее преобразовывать только числитель (без множителя p ) подкоренного выражения (e2 cos - cos - 2e - 2e2 cos)2 + (e4 - 2e2 +1)(1- cos2 ) = (cos + e2 cos + 2e)2 + + (e4 - 2e2 +1)(1- cos2 ) = cos2 + e4 cos2 + 4e2 + 2e2 cos2 + 4ecos + 4e3 cos + + e4 - e4 cos2 - 2e2 + 2e2 cos2 +1- cos2 = 4e2 cos2 + 4e(1+ e2)cos + (1+ e2)2 = p(1+ 2ecos + e2) = (1+ 2ecos + e2)2. Отсюда (*) преобразуется в d2 =. (1) (1+ ecos) (e2 -1) (Под знаком абсолютной величины находится только выражение 1+ ecos.

Остальные сомножители положительны. Действительно, т.к. e > 1 и p > 0 то 1+ ee2 -1 > 0 и > e ecos. (Ср. (1) с 3.5.2.1.-1)).

Выражение для радиус- вектора r2() из d2() будет найдено ниже.

Упражнение 1. Признак принадлежности к ветви гиперболы. Доказать, что расстояние от левого фокуса гиперболы до любой из ее точек на левой ветви меньше расстояния от той же точки до правого фокуса, и, соответственно, расстояние от любой точки на правой ветви до правого фокуса меньше, чем от той же точки до левого фокуса.

Глава 3. Система координат Кеплера Доказательство. Рассмотрим ту часть доказательства, когда точка принадлежит левой ветви гиперболы. Расстояние от левого фокуса до этой точки p r = и 1+ ecos > 0. Теперь исследуем (1).

1+ ecos 1+ 2ecos + eВидно, что d2 = kr, где k =. Покажем, что e2 -k > 1. Действительно, если 1+ 2ecos + e2 > e2 -1, то 2(1+ ecos) > 0.

Т.к. гипербола симметрична относительно вертикальной оси симметрии, то F2 A2 = FA1 (см.рис.2).

И, аналогично, F2 A1 = FA2. Проверим эти утверждения с помощью (1). (Для 1-го утверждения (равенства) берем = 0, а для 2-го - =.) p(1- e)2 p p(1+ e)2 p F2 A2 = = = FA1, F2 A1 = = = FA2. (2) (1- e)(1- e2) 1+ e (1+ e)(1- e2) 1- e 3.7.5.2. Разность расстояний от фокусов до некоторой точки на ветви гиперболы По одному из определений гиперболы[18,§197] или [16,§112], для всех точек на ее линии эта разность D постоянна и равна 2a. Т.к. мы определили гиперболу на основе полярного уравнения, а не данного определения, то проверим это определение как свойство, используя (3.2.-1), (3.7.5.1.-1), (3.7.3.-2а) p (e2 -1-1- 2ecos - e2) p p(1+ 2ecos + e2) D = dFP - dF P1 = - = = 1 1+ ecos 1+ ecos (e2 -1) (e2 -1)1+ ecos 2 p = = 2a. (1) e2 -Глава 3. Система координат Кеплера 3.7.5.3. Полярный угол 2() и длина радиус-вектора из правого фокуса гиперболы В силу вертикальной симметрии, вычисление угла 2 из правого фокуса будет аналогично вычислению угла из левого фокуса. Так, для точек на правой ветви гиперболы измеряемый непосредственно угол 2 (НПСК) остается без изменения, для точек на левой ветви гиперболы (ОПСК) к углу 2 добавляется слагаемое. (Мы знаем, что для полярного угла из левого фокуса все происходит с точностью до «наоборот»: для точек на левой ветви гиперболы угол (НПСК), измеряемый непосредственно, остается без изменения, для точек на правой ветви гиперболы к углу добавляется слагаемое (ОПСК).) Как мы знаем из (1.2.1.-6), слагаемое эквивалентно изменению знаков у 3-го и 4-го параметров неполной функции ang(). Т.к. знаки у систем «наблюдения» из разных полюсов на разных ветвях гиперболы получаются противоположные, то можно ввести соотношение между знаками s2 = -s = -sign(1+ ecos), где s2 - знак у радиусвектора из правого фокуса, а s - из левого.

Теперь, учитывая (3.7.3.-4), выразим угол 2 через угол 2 pe p cos p sin 2 = ang({,0},{, }) + = e2 -1 1+ ecos 1+ ecos p cos 2 pe p sin = ang(0,{ -, }) + = 1+ ecos e2 -1 1+ ecos p = ang(0, {(e2 -1)cos - 2e(1+ ecos),(e2 -1)sin}) + = (1+ ecos)(e2 -1) = ang(0, {-(e2 cos + cos + 2e),(e2 -1)sin}) +, где - слагаемое (1+ ecos) нормирования, которое принимает одно значение для каждой ветви, и отличается на для другой ветви.

Рассмотрим теперь алгоритм вычисления слагаемого. Т.к. для правой ветви из правого фокуса F2 углы вычисляются непосредственно, то, например, Глава 3. Система координат Кеплера для A2, =. Это справедливо для всех точек правой ветви гиперболы. Для точек левой ветви = + = 2 0. Ниже будет переведено данное слагаемое в соответствующие знаки 3-го и 4-го параметра функции ang().

Т.к. e >1, p > 0, то общий множитель p > 0 и, применяя (1.2.1.-9), его сокращаем.

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.