WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 42 |
Гармоническое соотношение.........................................................................5.17. Произведение частей секущих. Теорема Эйлера........................................5.18. Разные задачи.................................................................................................6. Диаметр....................................................................................................................6.1. Различные формулы 1-й модели диаметра...................................................6.2. 2-я модель построения диаметра: две || касательные..................................6.3. 3-я модель построения диаметра: хорда || касательным.............................6.3.1. Координаты концевых точек диаметра.................................................6.3.2. Сохранения элементов секущих...............................................................6.4. 4-я модель построения диаметра: построение с помощью внешней точки.6.5. Основные точки, принадлежащие диаметру и его продолжению.................6.5.1. Основные точки..........................................................................................6.5.2. Пересечение между сопряженной хордой и диаметром.......................6.6. Сопряженный диаметр.....................................................................................6.6.1. Сопряженный диаметр эллипса...............................................................6.6.2. Сопряженная гипербола и сопряженный диаметр гиперболы...............6.6.2.1. Сопряженная гипербола....................................................................6.6.2.2. Классический подход к построению сопряженной гиперболы……6.6.2.3. Сопряженный диаметр гиперболы....................................................Содержание 6.7. Свойство биссектрисы фокального угла сопряженного диаметра эллипса и гиперболы......................................................................................6.8. 5-я модель построения основного диаметра: диаметр, проходящий через точку основания медианы полярного треугольника............................6.9. Вписанный параллелограмм. Теоремы сохранения Аполлония..................6.9.1. Вспомогательные утверждения................................................................6.9.2. Квадраты основного и сопряженного диаметров ………..………….......6.9.3. Площадь вписанного на диаметрах параллелограмма ………..............6.9.4. Произведение частей диаметра. Теорема Аполлония...........................6.9.5. Другие элементы описанного параллелограмма эллипса.....................6.10. Задачи на диаметр.........................................................................................7. Нормаль……………………………………………………………………………………7.1. Уравнение нормали..........................................................................................7.2. Свойство биссектрисы смежного угла, образованного пересекающимися нормалями......................................................................7.3. Нормаль из внешней точки..............................................................................7.4. Радиус кривизны...............................................................................................7.5. Координаты центра кривизны. Эволюта.........................................................7.6. Определение и уравнение параллельных дуг...............................................8. Некоторые интегральные свойства........................................................................8.1. Длина дуги.........................................................................................................8.1.1. Длина дуги окружности.............................................................................8.1.2. Длина дуги параболы................................................................................8.2. Площадь сектора..............................................................................................8.2.1. Площадь сектора, ограниченного дугой параболы.................................dx 8.2.2. Формула понижения при e 1.......................................... (1+ ecos x)8.2.2. Площадь сектора, ограниченного дугой эллипса....................................8.2.4. Площадь сектора, ограниченного дугой гиперболы................................Приложения П1. Формулы тригонометрии...................................................................................... П1.1. Формулы сложения и вычитания аргументов.............................................. П1.2. Формулы приведения..................................................................................... П1.3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента……………………………………………………………….. П1.4. Формулы двойного угла.................................................................................. П1.5. Формулы половинного угла............................................................................Содержание П1.6. Формулы понижения степени......................................................................... П1.7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение................................................................................................. П1.8. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму............................................................................................П2. Квадратурная формула Гаусса............................................................................П3. Некоторые свойства определителей...................................................................П4. Ф.Лагир (Philippe de La Hire).................................................................................П5. Лаланд (Jerome La Lande)....................................................................................П6. Лаплас (P. S. Laplace)...........................................................................................Предметный указатель……………………………………………………………………..Литература................................................................................................................... Предисловие автора “Математика только тогда сможет равномерно развиваться по всем направлениям, когда ни один из методов исследования не будет оставлен в пренебрежении. Пусть каждый математик работает в том направлении, к которому лежит его сердце.” Феликс Клейн.

Предисловие автора Эта книга рассчитана на самую широкую аудиторию. Так, математики- профессионалы найдут для себя новые теоремы, интересные и для геометрии, и для анализа. Преподаватели математики вузов и гимназий смогут расширить соответствующие конспекты лекций. Мы также считаем, что данная работа будет полезна научным работникам и инженерам всех специальностей.

Несколько слов по поводу новизны полученных результатов. Они делятся на 2 категории:

- 1) некоторые, известные ранее геометрические свойства исследуемых кривых выводятся нами оригинально, многочисленные известные соотношения между элементами конических сечений (коник) впервые получены в полярной системе координат с центром в одном из фокусов2;

- 2) мы находим новые свойства коник (что в данной работе не редкость), а также формулы, их описывающие.

Мы везде добросовестно делали ссылки, если автор результата нам был известен. Чаще всего, естественно, мы ссылались на Аполлония Пергского (до н.э. - 170 до н.э.) [21], внесшего наибольший вклад в развитие данной темы.

Авторство некоторых результатов, путем многомесячной, очень кропотливой работы, удалось установить заново. Например: авторами полярного уравнения, основного для данной работы, являются величайшие французские астрономы и Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2-х томах. Т.1. Арифметика, Алгебра, Анализ”. Пер. с нем./ Под. ред. В.Г. Болтянского. 4-е изд. М., Наука, 1967, стр.125.

На момент начала работы над текстом книги нам было известно не более десятка формул на эту тему.

Предисловие автора математики: Лаланд (Jerome Le Francais La Lande 1732-1807) и П. Лаплас (P.S.

Laplace 1749-1827). У Лаланда приведен вариант полярного уравнения из левого фокуса эллипса, у Лапласа – из правого. (В данной работе мы используем второй вариант (см. сноску вначале главы 2).) Теперь обсудим особенности применяемого метода. Для этого приведем 1-ю цитату с нашими ремарками. «Дальнейшее развитие математики показало преимущество аналитических методов в геометрии. Несмотря на всю красоту доказательств некоторых теорем с помощью синтетических методов, на наглядность ( – вопрос автора М.Ш.) и особую радость, которые доставляет нам этот подход при внутреннем созерцании геометрических образов, и, наконец, на большую помощь пространственной интуиции в решении отдельных вопросов ( – вопрос автора М.Ш.), в целом эти методы громоздки, труднодоступны и нередко исключают постановку и решение более общих проблем (выделение автора М.Ш.).» (Авторы цитаты Б.Л.Лаптев и Б.А.Розенфельд [см.

«Математика XIX века» под редакцией А.Н.Колмогорова и А.П. Юшкевича, М., «Наука», 1981г., стр. 48].

Приведем 2-ю цитату, несмотря на ее большой объем, из замечательной работы Р.Куранта, Г.Робинса [13, стр. 217]. “В раннем периоде развития проективной геометрии существовала настойчиво проводимая тенденция выполнять все построения на синтетической или, как говорилось, «чисто геометрической» основе, вовсе избегая применения чисел и алгебраических методов. Выполнение этой программы встретило на своем пути большие затруднения, так как всегда оставались какие-то пункты, в которых алгебраические формулировки казались неизбежными. Полный успех в построении чисто синтетической1 проективной геометрии был достигнут только к концу XIX в. и только ценой значительных осложнений. В этом отношении методы аналитической геометрии оказались гораздо более плодотворными. Для современной математики характерна иная тенденция - положить в основу построения понятие числа, и в геометрии эта тенденция, идущая от Ферма и Декарта, возымела решительный триумф. Аналитическая геометрия перестала быть подсобным аппаратом, играющим служебную роль в геометрических В этой работе [13] приводится подробное и вместе с тем популярное изложение различий синтетических методов от аналитических.

Предисловие автора рассуждениях, и стала самостоятельной областью, в которой интуитивная геометрическая интерпретация операций и результатов уже не является последней и окончательной целью, а принимает на себя функцию руководящего принципа, помогающего угадывать и понимать аналитические факты.” Мы также сторонники аналитического метода в геометрии и разделяем приведенные высказывания. Сделаем следующий шаг - выберем внутри аналитического метода координатные методы. С этой целью приведем высказывание академика Н.И.Мусхелишвили (1891-1976). «Понятие нормали – не аффинное и не проективное, так как при аффинном преобразовании (а тем более при проективном) прямой угол не остается, вообще говоря, прямым» [18, стр. 457, сноска 1]. Другими словами: при аффинных (проективных) преобразованиях, вообще говоря, меняются и пропорции, и углы, что приводит к сильному искажению исходного чертежа. В связи с тем, что в данной работе мы поставили себе цель изучить угловые соотношения между элементами конических кривых, то ни аффинные, ни тем более проективные преобразования нам не подходили.

Мы поочередно используем полярную и декартовую системы координат, совмещенные относительно друг на друга. Причем используем каждую систему в своем “слое”. Несколько неформальных слов об этом.

Наверное, не найдется такого читателя, который бы не пробовал многослойные пироги. Наиболее популярным из них является пирог “Наполеон“.

Это вкусное изделие имеет при разрезании следующую вертикальную структуру:

тонкий корж, тонкий слой крема, тонкий корж, тонкий слой крема, и так несколько раз (у каждой хозяйки своя кратность).

В современных компьютерных чертежных системах AutoСad, CorelDraw, в системе ACROBAT, в программах обработки растровых изображений FotoShop, ACDSee и многих других программных продуктах (SOFTWARE) - многослойный (multilayer) подход является важнейшим компонентом системы.

Приведем пример. Представим себе, что на план города наносится транспортная сеть. Причем наносится она в другом слое (типа прозрачной кальки) и так, что реперные точки (специальные отметки) у слоев совпадают. Каждый слой можно своими программными средствами создавать и корректировать (программы индивидуальны в зависимости от их инженерного назначения). Затем слои совмещают (или же они совмещены первоначально). При необходимости Предисловие автора включают/выключают слой водоснабжения, канализации, электроснабжения, метро, меняют слои местами и т.д. Понятно, что такой многослойный подход позволяет значительно упростить задачу проектирования и сделать проектирование более надежным. Кстати, применение многослойного подхода в программах дизайна также достаточно широко.

Уже давно в электронных системах применяют многослойные печатные платы, многослойны электронные процессоры, цветная фотопленка имеет многослойную структуру, режущий инструмент имеет защитный слой, “многослойной” является партитура для хора/оркестра, картины живописи, обшивка космических кораблей, стены зданий, одежда. Очевидно, что этот список можно многократно увеличить. Тем самым мы хотим сказать, что современная техника в большой степени (как правило) многослойна. Аналогичных примеров, взятых в Природе, можно также привести великое множество.

В математике совмещать слои начали очень давно. Этот прием успешно применяли Менехм (IV в. до н.э. ), Аполлоний, Архимед (ок. 287-212 до н.э.) и др.

Так, знаменитая теорема Архимеда об объеме шара есть фактическое совмещение конических, сферических и цилиндрических систем координат.

Кстати, - это также и пример 3-хмерных пересекающихся слоев. Сам Архимед называл свой прием “вставки” [21, стр. 151]. В знаменитом курсе Г.М.

Фихтенгольца (1888-1959) есть несколько “неявных” примеров такого рода, в частности [24, стр.486]. Надеемся, что многослойный подход в математике возродится и в дальнейшем получит свое развитие.

Теперь об исследовании углов. Углы в рассматриваемых задачах появляются как граничные условия, а также при промежуточных вычислениях.

Важно, что направления, измеряемые некоторым углом, есть и у бесконечно удаленных точек. С этой целью был создан аналитический аппарат, связывающий направления, классические тригонометрические функции и элементы конических кривых. Для настоящей работы создано с помощью этого аппарата более чертежей.

Углы между двумя выбранными лучами измеряет функция направления.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.