WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 42 |

Центр симметрии 1 1 p p p 2e pe O :{ (A1x + A2x ),0} = { ( - ),0} = { (- ),0} = {-,0}. (3) 2 2 1+ e 1- e 2 1- e2 1- eГлава 3. Система координат Кеплера p p -1- e +1- e Левый фокус F2 :{A2x + f,0} = {- +,0} = p{,0} = 1- e 1+ e 1- e- 2e = p{,0}. (4) 1- e- 2 pe 2 pe Расстояние между фокусами Fx - F2x = 0 - = = 2c. Отсюда 1- e2 1- epe c =, где c - половина расстояния между фокусами. (5) 1- eТеперь займемся вершинами B1, B2 малой оси. Мы уже знаем их p координаты (3.2.5.-2) B1,2{x, y} = {-e,± 1- e2 }. (6) 1- eВ том же разделе получены полярные углы (3.2.5.-1), под которыми B1, Bвидны из фокуса 1,2 = ang(0,{-e,± 1- e2 }). (7) Сравнивая (6) и (2), заметим, что абсциссы у B1, B2 и O совпадают. Отсюда следует, что малая полуось проходит через центр симметрии. Она является вертикальной зеркальной осью симметрии, найденной нами в (3.1.3.), а кроме этого (см. 3.2.7.) является диаметром.

Вычислим размер малой полуоси 1 p p 1- e2 p b = (B2 y - B1y ) = ( 1- e2 + 1- e2 ) = или b =. (8) 2 2(1- e2) 1- e1- eИспользуя (1) и (6), получим [18,стр.390] известную формулу b2 p2 1- e= = p. (9) a 1- e2 p Глава 3. Система координат Кеплера Найдем координаты I1, I2 точек пересечения директрис и фокальной p оси. Так, I1 = {,0}. В силу симметрии относительно оси B1, B2, вычислим e p - pe p расстояние до зеркальной оси dz = - ( ) =. После отражения e 1- e2 e(1- e2) - pe - p(1+ e2) I2 = { - dz,0} = {,0}. (10) 1- e2 1- e Упражнение 1. Доказать [ср.16,§127,упр.9], что геометрическое место точек проекции фокуса на касательную есть окружность с центром pe p {-,0} и радиусом R = = a. (См. 3.2.2. рис. 2).

1- e2 1- eДоказательство. Вычислим квадрат радиуса (чтобы не работать с квадратным корнем при промежуточных вычислениях) и докажем, что он равен const. В силу (3.2.2.-2) p {x, y} = {cos + e,sin};

1+ 2ecos + e2 cos + e e sin R2 = p1+ 2ecos + e2 + 1- e2 + 2ecos + e2 = 1+ ((cos + e)(1- e2) + e(1+ 2e cos + e2))2 + sin2 (1- e2)= p2.

(1+ 2ecos + e2)2(1- e2)После упрощений, получаем, что числитель последней дроби равен p (1+ 2ecos + e2)2. Отсюда R = = a.

1- ep Упражнение 2. Доказать, что расстояние F2I2 =.

e Упражнение 3. Найти квадрат диагонали прямоугольника, образованного полуосями эллипса.

p2(2 - e2) Ответ. a2 + b2 =. (11) (1- e2)Упражнение 4. Доказать, что при e = (см.рис.1), A2F = 2 FP2. (12) Упражнение 5. Доказать, что Глава 3. Система координат Кеплера 1) для полярных углов, под которыми A1, A2 видны из фокуса, выполняется 2 -1 2 +соотношение cos + ecos = 0. (13) 2 2) проверить тоже соотношение для точек B1, B2 (см.7).

Упражнение 6. Прямоугольник, одна из сторон которого является фокальная хорда, фокальной оси, вписан в эллипс.

1) Доказать, что длина его диагонали:

1.1) равна расстоянию между фокусами, деленному на эксцентриситет 2 p di = ; (14) 1- e1.2) в 2 раза больше большой полуоси;

4 p(1+ e - e2) 2) его периметр P = ; (15) 1- e4 p2e 3) его площадь S =. (16) 1- eУпражнение 7. Найти вершины малой полуоси B1,2, используя, что в этих вершинах расстояние до фокальной оси максимально.

Решение. В силу теоремы Ролля [24, стр. 25] в этих точках касательные || фокальной оси. Для этих касательных направление нормального вектора =.

Подставляя в (3.2.6.-11) это значение, получим p{-esin2 ± cos 1- e2 sin2,sin (ecos m 1- e2 sin2 } {x1,2, y1,2} = = 1- e2 sin2 ± ecos 1- e2 sin= p = {-e, ± (1- e2)}. Следовательно, (1- e2) p p B1 : {-e,+ 1- e2 }, B2 : {-e,- 1- e2 }. (17) 1- e2 1- e Упражнение 8. Найти расстояние от фокуса F до одной из вершин малой полуоси B1,2.

Решение. Мы знаем угол 1 (7), под которым видна, например, вершина B1.

Вычислим абсолютное значение радиус-вектора до этой вершины Глава 3. Система координат Кеплера p p p p r = = = = = a. (18) 1+ ecos1 e2 1- e1+ ecos(ang(0,{-e, 1- e2 })) 1e2 +1- eПолучена длина большой полуоси эллипса (ср.(2) и [12, стр. 328]).

Упражнение 9. Доказать, что 1) sin = e (И.Кеплер ) (см.рис.2).

2) B1F = a Решение. 1) = ( + ) - = ang(0,{-e, 1- e2 }) - = ang(0,{ 1- e2,e}).

2 e Отсюда sin = = e. (19) 1- e2 + ep2 p2 p 2) B1F = OB12 + OF = b2 + a2e2 = + = 1- e2 + e2 = a.

1- e2 (1- e2)2 1- e(20) Упражнение 10. Сместим положение оси абсцисс в центр симметрии эллипса. Доказать, что для любой точки эллипса в этом случае справедливо x2 y+ =1, где a,b - полуоси эллипса. (21) a2 bУпражнение 11. С помощью (3.3.2.-4) найти большую и малую оси эллипса.

Упражнение 12. Доказать (см.рис.1) a 1) c = ae, 2) ae2 + p = a, 3) = OI1.

e Глава 3. Система координат Кеплера Упражнение 13. Вычислить критерий сжатия эллипса по отношению к исходной окружности (название наше М.Ш.), равный отношению малой полуоси к большой полуоси (критерий, как и эксцентриситет, введен Аполлонием и применялся И.Ньютоном в [19]. Вообще говоря, критерий сжатия играет ту же роль, что и эксцентриситет – влияет на форму кривой. Эти параметры взаимозаменяемы.) b p p Решение. = = : = 1- e2. (22) a 1- e2 1- eУпражнение 14. Элементы “золотого эллипса” (H.E.Huntley (1974)) a 1+ [12,стр.328]. Пусть = 1, где a,b - полуоси эллипса, а = 1.b так называемое магическое число, которое используют в задачах, связанных с “золотым сечением”.

Прежде всего, выясним, что удовлетворяет уравнению - -1 = 0. Отсюда 2 = +1. Аналогично получаем 2 -1 = и + =1.

Убедиться в справедливости приведенных ниже формул (см.рис.3):

1 -1 1 a 1) e = 1- = = ; 2) OF = ae = ; 3) BF = a = b ;

2 BF 1 b2 b a 4) sec = = ; 5)sin = ; 6) PF = p = = ; 7)ON = = a ;

OB a e a a( -1) b 8) FN = ON - OF = a - = ; 9) a : b : p = b : b : = : :1;

ON a OF a / 10) = = ; 11) = = = ;

FN FN a / ( -1) -2 3 a2 b2 b2 b ( +1) b (2 +1) 12) OP2 = OF + FP2 = + = b2 + = = = 2b 2 2 MP OF b OP = 2b ; 13) Т.к. OMN ~ FPN, то = = ; 14) MB = PF = p =.

PN FN Мы употребили для лучшего чтения символ, хотя в цитируемой работе используется символ. Однако символ практически не отличается от 1-й буквы латинского алфавита - a, поэтому использовать эти буквы рядом нецелесообразно.

Глава 3. Система координат Кеплера FP2 - r Упражнение 15. Доказать1, (см.рис.1), что: = e r p p FP2 - r 1+ e Доказательство. = e = = e.

p r 1+ e r - r Упражнение 16. Доказать, что e =.

2a Упражнение 17. Доказать2, что:

r + r r - r 2r r 1) a = ; 2) p = a(1- e2) ; 3) e = ; 4) p =.

2 r + r r + r Упражнение 18. Используя формулу длины хорды (3.3.2.-4), найти большую и малую оси эллипса.

Ю.А. Рябов. Движения небесных тел. 4 изд., ”Наука”, М., 1988, стр.63.

В.В. Белецкий. Очерки о движении небесных тел., ”Наука”, М., 1977,стр.Глава 3. Система координат Кеплера 2 p2 2 p Решение. Большая ось pL = 0, =, L = =.

2 (1- e2) (1- e2) 2e2 p2 (e2 -1)e2 p2 p2 + + pe 1- e2 (1- e2)2 2 p Малая ось pL =, =, L = =.

1- e2 1- e3.5.2. Преобразования между правым и левым фокусом эллипса 3.5.2.1. Радиус-вектор r2() из левого фокуса эллипса Возьмем некоторую произвольную точку P1 (см. рис.1), которая видна из правого фокуса под углом. Тогда ее радиус-вектор и декартовые координаты p p cos p sin будут следующими r =, x =, y =.

1+ ecos 1+ ecos 1+ ecos По теореме Пифагора найдем расстояние между P1 и левым фокусом - 2e (3.5.1.-4) F2 : p{,0} 1- e2 p cos 2 pe p sin F2P1 = r2 = 1+ ecos + 1- e2 + ecos = 1+ p = (cos(1- e2) + 2e(1+ ecos))2 + (1- e2)2(1- cos2 ). (*) (1+ ecos)(1- e2) Преобразуем подкоренное выражение (cos - e2 cos + 2e + 2e2 cos)2 + (1- 2e2 + e4)(1- cos2 ) = (cos + e2 cos + 2e)2 + + (1- 2e2 + e4)(1- cos2 ) = cos2 + e4 cos2 + 4e2 + 2e2 cos2 + 4ecos + 4e3 cos + 1- cos2 - 2e2 + 2e2 cos2 + e4 - e4 cos2 = 4e2 cos2 + 4e(1+ e2)cos + (1+ e2)2 = p(1+ 2ecos + e2) = (1+ 2ecos + e2)2. Таким образом, из (*) получаем r2 =. (1) (1- e2)(1+ ecos) Глава 3. Система координат Кеплера 3.5.2.2. Сумма длин радиус-векторов от фокусов эллипса до некоторой точки на дуге эллипса По одному из определений эллипса, для всех точек на линии эллипса сумма S радиус-векторов от фокусов постоянна и равна 2a [18, стр.361,1], [16, §.102]. Проверим это, используя (3.2.-1), (3.5.2.1.-1), (3.5.1.-2) p p(1+ 2e cos + e2) 2 p S = rFA + rF A1 = r1 + r2 = + = = 2a. (1) 1 1+ e cos (1- e2)(1+ e cos) 1- e Применим это правило. В силу симметрии (см.рис.1) FB1 = F2B1, отсюда FB1 = a, F2B1 = a.

2 p 1+ e Из (рис.2) легко видеть, что F2P1 = 2a - p = - p = p.

1- e1- e3.5.2.3. Полярный угол 2() и радиус r2(2) из левого фокуса эллипса Зная координаты левого фокуса эллипса (3.5.1.-4), выразим угол 2 через угол 2 pe p cos p sin p cos 2 pe p sin 2 = ang({-,0},{, }) = ang(0,{ +, }) = 1- e2 1+ ecos 1+ ecos 1+ ecos 1- e2 1+ ecos p = ang(0, {(1- e2)cos + 2e(1+ ecos),(1- e2)sin}) = (1+ ecos)(1- e2) p = ang(0, {cos - e2 cos + 2e + 2e2 cos),(1- e2)sin}) = (1+ ecos)(1- e2) = ang(0,{e2 cos + cos + 2e,(1- e2)sin}). (1) Глава 3. Система координат Кеплера p (Т.к. e <1, p > 0, то общий множитель > 0 и в силу (1.2.1.-9) его (1+ ecos)(1- e2) можно сократить).

Известно [16,§125,2], формула радиус-вектор из p левого фокуса эллипса r2(2) =. (2) 1- ecosДокажем (2), применяя методы данной работы.

Из (1.2.3.-2а) x cos(ang(0,{x,y})) =, - < x, y < +. (*) x2 + y Тогда, учитывая (1), подставляем в (*) x = e2 cos + cos + 2e, y = (1- e2)sin (1+ e2)cos + 2e Получаем cos(2) =. Преобразуем ((1+ e2)cos + 2e)2 + (1- e2)2 sinотдельно выражение под корнем в знаменателе ((1+ e2)cos + 2e)2 + (1- e2)sin2 = = cos2 + e4cos2 + 4e2 + 2e2 cos3 + 4ecos + 4e3 cos + sin2 - 2e2 sin2 + e4 sin2 = = 1+ 4e2 cos2 + e4 + 4ecos + 2e2 + 4e3 cos = (1+ 2ecos + e2)2. Таким образом, e2 cos + cos + 2e cos(2) =. (3) 1+ 2ecos + ep Подставим cos(2) в (2), получая r2 =. Преобразуем (1+ e2)cos + 2e 1- e 1+ 2ecos + ep(1+ 2e cos + e2) дробь из 3-х этажной в 2-х этажную r2 = = (1+ 2e cos + e2) - e(e2 cos + cos + 2e) p(1+ 2ecos + e2) p(1+ 2ecos + e2) = =. (**) 1+ ecos - e3 cos - e2 (1- e2)(1+ ecos) Сравнивая r2 по формулам (**) и (3.5.2.1.-1), убеждаемся, что они совпадают.

Упражнение 1. Пусть известен угол 2 из левого фокуса. Найти длину радиус-вектора r и угол из правого фокуса.

p(1- 2ecos2 + e2) Ответ. r =, (11) (1- e2)(1- ecos2) Глава 3. Система координат Кеплера = ang(0,{cos2(e2 +1) - 2e,sin2(1- e2)}). (12) Сделаем выводы из наших преобразований. Переход от правого к левому фокусу эллипса сопровождается следующими изменениями.

1. Полярные координаты - полярный угол 2 = ang(0,{cos(e2 +1) + 2e,sin(1- e2)}), - знак перед эксцентриситетом с “+” на “-” p p(1+ 2e cos + e2) r2(2) = =.

1- ecos2 (1- e2)(1+ ecos) 2. Декартовые координаты 2 pe - x2 = x1 - 2c = 0 -, y2 = y1.

1- eУпражнение 2. Пользуясь формулами из левого фокуса, найти полярные и декартовые координаты P1 (см.рис.1), которая видна из правого фокуса под углом =.

Решение. Сначала, для последующего контроля, найдем декартовые p{cos,sin} координаты из правого фокуса cos = 0, sin = 1 и P1 : = {0, p}. (***) 1+ ecos Теперь перейдем к левому фокусу - 2 pe 2 pe 2 = ang({,0},{0,p}) = ang(0,{,p}), 1- e2 1- e2 pe x 2 pe 2e 1- e2 = cos2 = = =, 1+ ex2 + y2 4 p2e2 p2(1+ 2e2 + e4) + p(1- e2)y p 1- esin2 = = =, x2 + y2 p(1+ e2) 1+ e(1- e2) p p(1+ e2) p(1+ e2) r2 = = =, 2e 1+ e2 - 2e2 1- e1- e 1+ e- 2 pe p(1+ e2) 2e x = -2c + r2 cos2 = + = 0, 1- e2 (1- e2) 1+ eГлава 3. Система координат Кеплера p(1+ e2) 1- e y = r2 sin2 = = p. Результат совпадает с (***).

1- e2 1+ eУпражнение 3. Найти уравнение левой директрисы.

- p(1+ e2) Ответ. x =.

e(1- e2) Упражнение 4. Доказать, что для каждой точки эллипса справедливо r= e, где d2 расстояние от этой точки до левой директрисы.

d3.5.2.4. Проекция левого фокуса эллипса на касательную Как мы уже знаем из (1.5.), координаты проекции любой внешней точки на прямую, состоят из 2-х слагаемых – 2х векторов. Первое слагаемое всегда является нормальным вектором, построенным из начала координат (1.5.-8) pL{cos,sin}, который уже вычислен для касательной (3.2.2.-2) p{cos + e,sin} Q0 =. Используя (1.5.-9), найдем второй вектор 1+ 2ecos + e xr sin2 - cos sin - 2 pe Q1 =, где {xr, yr} = F2 :{,0} координаты левого yr 1- e - cos sin cosфокуса (см. 3.5.1.-4), а из (3.2.1-4).

cos + e sin cos =, sin =. (*) 1+ 2ecos + e2 1+ 2ecos + e - 2 pe 1- esin2 - (cos + e)sin Отсюда Q1 = = 1+ 2ecos + e- (cos + e)sin cos2 + 2ecos + e2 - 2 pe{1- cos2,-(cos + e)sin} =.

(1- e2)(1+ 2ecos + e2) Сложим векторы Q0 + Q1, получая p 2e 2e {cos + e - (1- cos2 ), sin + (cos + e)sin} = (1+ 2ecos + e2) 1- e2 1- ep = {cos(1+ 2ecos + e2) - e - 2e2 cos - e3, sin(1+ 2ecos + e2)} = (1- e2)(1+ 2ecos + e2) Глава 3. Система координат Кеплера p = {cos(1+ 2ecos + e2) - e(1+ 2ecos + e2), (1- e2)(1+ 2ecos + e2) p sin(1+ 2ecos + e2)} = {cos - e,sin}. (1) (1- e2) Найдем расстояние от левого фокуса до касательной. Для этого (см.

- 2 pe рис.1) подставим его координаты F2 :{,0} в формулу 1- e(cos + e)x + (sin) y - p d =, получаемую из (3.2.1.-9). Тогда 1+ 2ecos + e(cos + e)(-2 pe) p - p(2ecos + 2e2 +1- e2) d2 = - = = 1+ 2e cos + e2 (1- e2) 1+ 2e cos + e2 (1- e2) 1+ 2ecos + e- p(1+ 2e cos + e2) - p 1+ 2ecos + e2 p 1+ 2ecos + e= = =. (2) (1- e2) (1- e2) (1- e2) 1+ 2e cos + eУпражнение 1. Доказать [16,§127, пример 4], что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему равно квадрату малой полуоси.

Решение. Из (3.2.2.-1а) и (2) получаем p 1+ 2e cos + ep p2 p = = = b2. (ср. с 3.5.1.-8) (1- e2) 1- e2 1- e1+ 2ecos + e Отклонение левого фокуса от касательной, как от пассивно - p 1+ 2ecos + eориентированной прямой, т.е. в смысле Гессе qH = (3) (1- e2) всегда будет отрицательным в системе координат Кеплера. Вычислим расстояние T1T2 (см. рис.2) между проекциями левого и правого фокусов. Для этого в формулу yr cos - xr sin (1.5.-15) нужно - 2 pe подставить координаты левого фокуса F2 :{,0} и sin (см.*) 1- e2 pesin T1T2 =. (4) (1- e2) 1+ 2ecos + eИз (4) и (3.2.2.-6) легко найти расстояние T2T = T2T1 - T1T (см. рис.1).

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.