WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 42 |

Глава 3. Система координат Кеплера Заметим сразу, что если известны координаты концов отрезка x1 + x2 y1 + y{x1, y1}, {x2, y2}, то легко получить и координаты середины отрезка {, }, 2 также принадлежащие данному отрезку. Это означает, что концы отрезка и его середина всегда лежат на одной прямой (докажите!).

Т.к. промежуточные выражения относительно громоздки, то будем исследовать координаты xO, yO отдельно друг от друга. Итак 1 p - esin2 + cos L2 - esin2 - cos L2 p xO = + = (-esin2 L + 1 2 2(L2 - e2 cos2 L) L + ecos L2 L - ecos L 1 3 1 + e2 sin2 cos L2 + cos L2 - ecos2 L - esin2 L - e2 sin2 cos L2 - cos L2 - p - pe(sin2 + cos2 ) - pe - ecos2 L) = (-2esin2 L - 2ecos2 L) = =, 2L(L - e2 cos2 ) (1- e2)(sin2 + cos2 ) (1- e2) 1 p esin cos + sin L2 esin cos - sin L2 p sin yO = + = (ecos L 1 2 2(L2 - e2 cos2 L) L + ecos L2 L - ecos L 1 3 1 - e2 cos2 L2 + L2 - ecos L + ecos L + e2 cos2 L2 - L2 - ecos L) = 0.

- pe Окончательно {xO, yO} = {,0}. (6) (1- e2) В разделе симметрия полярного уравнения (см.3.1.3.-5,6) мы уже получали эту формулу как центр симметрии эллипса и гиперболы. С другой стороны, как мы видно из (6), хорда эллипса или гиперболы, являющаяся диаметром, всегда проходит через центр эллипса или гиперболы (Ср.[18,§230], [16,§146]). Это утверждение принадлежит Аполлонию I30 [21, стр.55]. Он также доказывает, что коническое сечение не может иметь более одного центра.

Обратное утверждение: прямая, проходящая через центр коники, является диаметром, справедливо во всех случаях только для эллипса. Из (3.2.6.2) очевидно, что для любого направления нормального вектора эллипса можно построить 2-ю касательную.

С другой стороны, для гиперболы интерпретация данного утверждения намного сложнее, чем для эллипса. (Забегая вперед, скажем, что если дополнить множество основных диаметров асимптотами и диаметрами сопряженной Глава 3. Система координат Кеплера гиперболы, то обратное утверждение будет также справедливо. Если же рассматривать множество только основных диаметров, то обратное утверждение неверно. Об этом подробно говорится в главе 6.) В данном месте для гиперболы заметим, что если уже выбрана первая касательная (т.е. существует 1 для данного ), то вторая касательная || первой и существует всегда (докажите!). Выше было показано: прямая, проходящая через две точки касания двух || касательных проходит и через центр симметрии кривой.

Определение. Коники, имеющие центр симметрии, называются центральными.

Из трех типов коник эллипс и гипербола являются центральными, а парабола – нет.

Упражнение 1. Доказать, что на концах диаметра выполняется соотношение cos + ecos0 = 0, где полярные углы 0, из (3.2.6.-5,6) (геометрический смысл этого выражения объясняется ниже - в (5.1.)).

2 Доказательство. Имеем 0 = ang(0,{, }), = ang(0,{1, + -1}), =, - e cos x =. Т.к. (см.1.2.3.-2а) cos(ang(0,{x, y})) =, то cos0 =, 2 esin x2 + y2 + 1 cos =, e = -. Собираем все части вместе 2 + cos + ecos0 = - = 0.

2 2 2 + + Глава 3. Система координат Кеплера 3.3. Секущие 3.3.1. Точки пересечения прямой линии и дуги. Фокальная хорда Как и в случае задачи нахождения || касательных, зададим уравнение прямой в нормальном виде Гессе x cos + y sin - pL = 0. Затем с помощью формул x = r cos, y = r sin переведем это уравнение в полярную систему координат r cos cos + r sin sin - pL = 0, r cos( - ) = pL. (1) Вначале исследуем случай, когда прямая линия проходит через фокус, т.е. когда ее декартовы координаты x и y могут быть одновременно равны 0.

В этом случае pL = 0 и уравнение (1) принимает вид cos( - ) = 0. Его решение - = + n, n Z или = + + n, n Z. Как и ранее, оставим 2 только корни внутри интервала [0,2 ) 1 = +, 2 = +. (2) 2 Используя полярное уравнение, получим p 3 P = {cos( + ),sin( + )}, 2 1+ ecos( + ) (3) p P2 = {cos( + ),sin( + )}.

2 1+ ecos( + ) Геометрическая интерпретация (3) показана на рис.1.

Глава 3. Система координат Кеплера Запишем симметричное решение, в котором единичный нормальный вектор enL = {cos,sin}является биссектрисой фокального угла p P = {cos( - ),sin( - )}, 2 1+ ecos( - ) (4) p P2 = {cos( + ),sin( + )}.

2 1+ ecos( + ) Геометрическая интерпретация (4) показана на рис.2.

Хорду, проходящую через фокус, называют фокальной хордой.

Таким образом, точки P1, P2, удовлетворяющие (4), являются концами фокальной хорды.

Перейдем к рассмотрению общего случая pL 0. Для этого запишем систему уравнений для радиус-векторов прямой и дуги pL r =, cos( - ) (5) p r =, 1+ ecos pL p где неизвестным является. Следовательно, =. Вводим cos( - ) 1+ ecos pL ~ ~ сокращение p =. Тогда p + e~ cos = cos cos + sin sin, p p (cos - e~) sin p ~ (cos - e~)cos + sin sin = p, cos + sin =1. (6) p ~ ~ p p Методом (1.2.5.4.) получаем (cos - e~) ( p cos - epL) sin p sin p = =, = =, (7) ~ ~ p pL p pL биссектрису фокального угла 0 = ang(0,{, }) = ang(0,{p cos - epL, p sin}), (8) отклонение от биссектрисы 2 2 (9) = ang(0,{1, + -1}) = ang(0,{pL, p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL }), Глава 3. Система координат Кеплера решение в виде полярных углов 2 2 2 1,2 = ang(0,{ ± + -1, m + -1}) = 2 = ang(0,{ppL cos - epL ± p sin p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL, ppL sin m ( p cos - epL ) p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL }). (10) Если подкоренное выражение у (10) меньше нуля, то пересечения нет, если равно нулю, то мы получим касательную, если больше нуля, то получим две точки пересечения.

Решим задачу нахождения точек пересечения в полярных координатах.

После (10) нормируем углы и тестируем их на принадлежность интервалу области определения дуги. Углы, прошедшие тест, подставляем в полярное уравнение (2.1.-1) и получаем искомые точки пересечения P1, P2 (см. рис. 3).

Следствие. Т.к. луч является биссектрисой фокального угла, то он делит хорду на части, пропорциональные длинам радиус-векторов к точкам пересечения.

Найдем декартовые координаты точек пересечения, используя (1.2.5.4.7) и (1.2.5.4.-8) и результаты этого раздела 2 2 ± + -1 ppL cos - epL ± psin p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL cos1,2 = =, 2 2 + p2 - 2eppL cos + e2 pL Глава 3. Система координат Кеплера 2 2 m + -1 ppL sin m ( p cos - epL) p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL sin1,2 = =, 2 2 + p2 - 2eppL cos + e2 pL p r1,2 = = 1+ ecos1,p(p2 - 2eppL cos + e2 pL) =, 2 2 p2 - 2eppL cos + e2 pL + eppL cos - e2 pL ± epsin p2 - 2 ppLecos + (e2 -1) pL p{cos1,2,sin1,2} P1,2 = r1,2{cos1,2,sin1,2} = = 1+ ecos1,p(p2 - 2eppL cos + e2 pL) = p2 - eppL cos ± epsin p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL 2 ppL cos - epL ± p sin p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL, p2 - 2eppL cos + e2 pL ppL sin m ( p cos - pLe) p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL = p2 - 2eppL cos + e2 pL = p - epL cos ± esin p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL 2 {ppL cos - epL ± psin p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL, ppL sin m ( p cos - epL ) p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL}. (11) 3.3.2. Проекции и длина хорды Т.к. в (3.3.1.-11) части числителя и знаменателя точек P1, P2 отличаются друг от друга только знаками, введем промежуточные переменные a,b,...g, которые существенно сократят нам весь дальнейший вывод. Итак 1 P1 : {c + d, f - g}, P2 : {c - d, f + g}, a + b a - b где a = p - epL cos, b = esin p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL, 2 c = ppL cos - epL, d = p sin p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL, f = ppL sin, g = ( p cos - epL ) p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL. (1) Глава 3. Система координат Кеплера Отсюда легко вывести вектор длины хорды от P1 к P2 в промежуточных переменных P2 - P1 = P = {ad - bc, ag + bf }. (2) a2 - bПосле подстановки значений промежуточных переменных получим 2 p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL P = {sin,cos}. (3) (1- e2 sin2 ) (Обратим внимание, что проекции задаются с помощью направляющих вектора {sin,cos}, длина которого равна 1.) Коэффициент перед фигурными скобками есть длина хорды 2 p2 - 2eppL cos + (e2 -1) pL L( pL, ) =. (4) (1- e2 sin2 ) Заметим, что если знаменатель (4) равен нулю, то пересечение происходит на. В зависимости от знака подкоренного выражения получим 2, 1 или 0 число пересечений.

3.3.3. Обратная задача: найти параметры секущей по полярным координатам точек пересечения Пусть нам даны полярные углы 1,2 точек пересечения с дугой. Нужно pL найти параметры, pL полярного уравнения прямой r =. Т.к. радиусcos( - ) p p векторы дуги равны, соответственно, r = и r =, то запишем 1+ ecos1 1+ ecospL p cos( - ) = 1+ ecos систему уравнений. (1) pL p = - ) 1+ ecoscos(cos(2 - ) 1+ ecosОтсюда, деля 1-е уравнение на 2-е, получим =. (2) cos(1 - ) 1+ ecosОбозначим, для краткости, 1+ ecos2 = a,1+ ecos1 = b, имеем b cos(2 - ) = a cos(1 - ), b cos2 cos + bsin2 sin = a cos1 cos + a sin1 sin, Глава 3. Система координат Кеплера b cos2 - a coscos (b cos2 - a cos1) = sin (a sin1 - bsin2), = tg, a sin1 - bsin(1+ ecos1) cos2 - (1+ ecos2)cos1 cos2 - costg( ) = = = (1+ ecos2)sin12 - (1+ ecos1)sin2 sin1 - sin2 + esin(1 -2) 2 +1 2 -- 2sin sin sin2 =, (3) 1 -2 1 +2 1 -2 1 -2 cos0 + ecos 2sin cos + 2esin cos 2 2 2 где 0 - биссектриса между углами 1,2, - половина разности между углами 1,2.

Отсюда (см.1.2.5.2.-3а) = ang(0,{cos0 + ecos,sin0}) +n. (4) (Слагаемое n появляется в связи с неопределенностью выбора очередности точек: можно любую из двух точек пересечения считать первой.) p cos(1 - ) p(cos1 cos + sin1 sin ) p(cos1(cos0 + ecos ) + sin1 sin0) pL = = =.

1+ ecos1 1+ ecos(1+ ecos1) (cos0 + ecos )2 + sin2 (5) (Для гиперболы придется уточнить знак, стоящий перед (5). Об этом см. ниже, в (3.7.).) 3.4. Общий подход при расчете некоторых элементов эллипса, параболы и гиперболы 3.4.1. Одинаково рассчитываемые точки для всех типов коник В алгоритме получения полярного уравнения, как правило, заложено вычисление значение фокусного расстояния f. И, если для решения конкретных задач (например, задач оптики) этот параметр часто используется, то его можно хранить среди дополнительных параметров дуги (см.2.1.). С другой стороны, если значение фокусного расстояния нужно редко, то его можно легко восстановить.

Покажем это.

На рис. 1 A1 видна из фокуса под углом = 0. Отсюда Глава 3. Система координат Кеплера p cos p sin p координаты A1 :{, } = {,0}.

1+ ecos 1+ ecos 1+ e = (1) В астрономии эта точка носит название перигея (классическое название, применяющееся и сейчас – перигелий [8, стр.5]). В работах по небесной механике для радиус-вектора из фокуса к этой точке используется следующее p обозначение1 r =.

1+ e Расстояние между A1 и F равно значению фокусного расстояния p f =. (2) 1+ e Этот результат есть и у Аполлония III45, но в несколько другом виде [см. 21, стр.134].

Отметим также, что полярным углам m соответствуют p cos p sin p cos p sin P1 :{, } = {0,- p} и P2 :{, } = {0, p}.

1+ ecos 1+ ecos 1+ ecos 1+ ecos =- = 2 Расстояние между F и P2 равно p - фокальному параметру кривой.

Упражнение 1. Доказать (см.рис.1), что:

1) если r1, r2 величины отрезков, на которые фокус делит проходящую через 1 1 1 p него фокальную хорду, и = +, то l = ; (3) l r1 r2 (данное соотношение (3) называется среднее гармоническое2 [22, стр.359]) 2) отношение произведения этих отрезков к длине p хорды постоянно и также равно. Предлагаемое упражнение обобщает [16, §127, упр.15, упр.40] В.В. Белецкий. Очерки о движении небесных тел., ”Наука”, М., 1977, стр.17.

Данное выражение применяется в теории музыки – отсюда и соответствующее название.

Глава 3. Система координат Кеплера Доказательство. Возьмем длины радиус-векторов из F к точкам P1, P2.

Для эллипса и параболы эти радиусы всегда положительны. Для гиперболы это, вообще говоря, не так (см. ниже 3.7.1) – значения радиусов являются алгебраическими числами (со знаком). Однако на конечный вывод формулы знак радиуса не влияет. С другой стороны, мы хотим сохранить общность доказательства для всех 3-х типов коник.

p p p 1 1 1) r1 =, r2 = =. Отсюда = + = 1+ ecos 1+ ecos( + ) 1- ecos l r1 r1+ ecos +1- ecos 2 p = и l =.

p p r1r2 1 1 p 2) = = =.

r1 + r2 r1 + r2 1 + 1 r1r2 r2 r3.4.2. Директриса Директриса1 определяется как прямая, у которой отношение длины радиус-вектора, проведенного из фокуса до любой точки кривой, к r расстоянию от этой точки до директрисы равно эксцентриситету = e. (1) d Из (1) следует, что ed = r. (2) Понятие директриса было введено в математику Паппом из Александрии (~320 г. н.э.) (Pappus англ.) Глава 3. Система координат Кеплера Найдем уравнение директрисы в системе Кеплера. Пусть нормальное уравнение директрисы xcos + ysin - pL = 0. Тогда расстояние от некоторой точки на кривой до директрисы cos( - ) - k(1+ ecos) pcos cos psin sin d = + - kp = p, где kp = pL.

1+ ecos 1+ ecos 1+ ecos Перепишем (2) cos( - ) - k(1+ ecos) = ±. (3) e 1 Решение для варианта со знаком '-' 1 1+ ecos( - ) - k(1+ ecos) = - - cos( - ), k(1+ ecos) =, e e ke + ke2 cos = 1+ ecos cos + esin sin, cos(ecos - ke2) + sin esin + (1- ke) = 0, (4) Для того, чтобы (4) выполнялось для всех полярных углов, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при cos, sin и свободном члене были - ke2 = ecos esin = 0.

тождественно равны 0. Т.е. (5) 1- ke = Из (5) однозначно следует k =, = 0. (6) e 2 Решение для варианта со знаком ' + ' приводит к однозначному решению k = -, = (докажите!), которое по e смыслу не отличается от (6).

p Таким образом, уравнение директрисы x = (7) e и в силу этого она перпендикулярна фокальной оси (см.рис.1). Проверим решение 1 для любой точки на кривой p p cos p d = x cos + y sin - pL pcos p = x - = - = pcos =0;x= ;y=0; pL = x= e 1+ ecos e 1+ecos e 1+ecos p (ecos -1- ecos) p 1 p = = =.

e (1+ ecos) e (1+ ecos) e1+ e cos Глава 3. Система координат Кеплера r pe1+ ecos Отсюда = = e.

d p1+ ecos Упражнение 1. Найти эксцентриситет, при котором FA1 = A1I.

Ответ. e = 1 (парабола).

Упражнение 2. Опустим из конца радиус-вектора на директрису. Найти уравнение прямой, совпадающей с данным (см.рис.2).

p sin Решение. Уравнение прямой имеет вид y = a, где a =.

1+ ecos Упражнение 3. Найти расстояние между точкой перигея ( A1 (см.рис.1)) и директрисой.

p Ответ.. e(1+ e) 3.5. Основные элементы и соотношения в эллипсе 3.5.1. Основные точки и элементы эллипса Левая горизонтальная вершина эллипса A2 имеет полярный угол = p (см. рис.1), так что из (3.1.2.2.) координаты A2 :{-,0}. (1) 1- e Во времена К.Ф. Гаусса в астрономии эта точка носила название афелия [8, стр.5]. Современно название этой точки – апогей. Для этой точки используют, p также, следующее обозначение r =.

1- e Большая полуось 1 p - p 1 p - pe + p + pe p a = A1x - A2x = = =. (2) - 2 e 1- e 2 1- e2 1- e1+ Большая ось носила в астрономии название среднее расстояние [8, стр.5].

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.