WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 42 |

Продлим отрезок FT до пересечения с окружностью – C. Из этой точки, с одной стороны, опустим на ось ординат – D. (Эта точка нам нужна только для обоснования алгоритма.) С другой стороны, из C проведем к радиусу FC до пересечения с осью ординат - Ty. Т.к. этот проведен из конца радиуса, то он, кроме того, является и касательной к окружности.

Докажем теперь, что Ty есть 2-я точка касательной. В самом деле, прямоугольные треугольники CDF и TyCF подобны, т.к. имеют по равному острому углу ). Отсюда следует FTy p FTy FC p2 p =, =, FTy = =. (2) FD FC p sin p p sin sin Построенная таким образом 2-я точка касательной удовлетворяет условию (1). Далее через две точки T и Ty проводим касательную.

Если полярный угол 1,2 = ± (см. рис.2), то точки P1,2 и Ty совпадают - в этом случае предложенная выше схема не работает. Однако для таких углов также существует возможность построить касательную при помощи циркуля и линейки.

Глава 3. Система координат Кеплера Единственное ограничение для этой схемы: необходимо, чтобы e > 0, т.е. чтобы исследуемая кривая была не окружность. Это ограничение, если мы имеем дело с окружностью, несущественно, т.к. касательная к окружности строится, как известно, при помощи к радиусу. Рассмотрим далее 2 варианта решения.

1 Аналитический метод Подставим угол = ± в уравнение касательной (3.2.1.-2) ex + y - p + 0.

При y = 0 находим вторую точку - точку пересечения касательной с осью абсцисс p Tx :{,0}. (Позже мы узнаем, что найденная точка – точка пересечения e директрисы и оси абсцисс.) Итак, эта часть задачи решена аналитически - без циркуля и линейки.

2 Построение с циркулем и линейкой Найдем вторую точку касательной - T. Для этого докажем, что p p h = TA1 = FA1 = = = f - фокусному расстоянию. Действительно 1+ e 1+ ecos =p p p g = Tx A1 = TxF - A1F = - =. (3) e 1+ e e(1+ e) TA1 TyF Из подобных треугольников Tx A1T1, TxFTy следует, что = или Tx A1 TxF he(1+ e) pe p =. Следовательно, h = = f, (4) p p 1+ e что и требовалось доказать. Откладывая из A1 к фокальной оси величиной FA1, получим искомую вторую точку - T. Сравним нашу 1-ю схему и схему прототипа [18,стр.458], [24,стр.525]. Они в значительной степени подобны. Но есть и отличия.

Глава 3. Система координат Кеплера В прототипе центр системы координат расположен в центре эллипса, расчет касательной приведен только для эллипса, 2-я точка касательной находится на оси абсцисс.

Расчет в нашей схеме использует систему координат Кеплера с центром в фокусе и универсальное полярное уравнение Лаланда-Лапласа. Вторую точку находим при пересечении оси ординат. Поэтому эта схема является более универсальной, чем прототип, поскольку годится и для эллипса, и для параболы, и для гиперболы.

Попутно, в FTyTx и D1T1Tx найдем гипотенузы:

p2 p TyTx = FP22 + FTx 2 = p2 + = 1+ e2, (5) e2 e p2 p p 1 1 p 1+ eT1Tx = D1T12 + D1Tx 2 = + ( - )2 = p + =. (6) (1+ e)2 e 1+ e (1+ e)2 (1+ e)2e2 e(1+ e) FPp Заметим, что = = e (или tgFTxP1 = e ). (7) FTx p e Для параболы P1FTx будет равнобедренный, а P1TxP2 - прямоугольный.

Упражнение 1. Пусть (см. рис.2) = и нам известны f = h и g. Найти фокальный параметр p и эксцентриситет e.

Решение.

f p e =, f = g 1+ e Используем (4) и (3). Отсюда. (8) p f f ( f + g) g = p = f (1+ ) = e(1+ e) g g Упражнение 2. Доказать, что для эллипса f < g, для параболы f = g и для гиперболы f > g.

3.2.5. Условие, при котором касательная || оси абсцисс Найдем полярные углы, при которых касательная или оси абсцисс. (Напомним, что ось абсцисс и фокальная ось в системе Кеплера совпадают.) Для выполнения этого условия необходимо, чтобы в формуле угла Глава 3. Система координат Кеплера наклона (3.2.1.-8) касательной к оси абсцисс = ang(0,{-sin,cos + e}) 4-й параметр ang() был равен 0, или cos + e = 0. К этому же уравнению приходим из (3.2.1.-10), если говорим, что пересечение касательной с осью абсцисс происходит на. Таким образом, 1,2 = ang(0,{-e,± 1- e2 }) + 2k. (1) Далее 2k отбрасываем. Из (1) находим декартовые координаты p p cos = -e, sin = ± 1- e2, B1,2{x, y} = {cos,sin} = {-e,± 1- e2 }. (2) 1+ ecos 1- eИсследуем (2) для эллипса ( e < 1), параболы ( e = 1) и гиперболы ( e > 1).

Для эллипса, как выяснится ниже (см. 3.5.1.-5), найдены реальные координаты вершин малой полуоси B1,2. В этих вершинах касательная || фокальной оси и в силу теоремы Лагранжа [24,стр.227]) эти вершины наиболее удаленны от фокальной оси.

Для параболы знаменатель 1- e2 равен 0. Это означает, что на реальной плоскости таких точек нет.

Для гиперболы выражение под квадратным корнем 1- e2 получается отрицательным. Поэтому и для гиперболы не существует касательных || фокальной оси. (В данной части работы мы имеем ввиду только основную гиперболу. Естественно, что касательные с таким свойством существуют и у сопряженной гиперболы (см.6.6.2.)) 3.2.6. Полярные координаты точек на дуге, в которой концевая касательная || заданной прямой 1. Общий подход для конических кривых Зададим уравнение прямой в нормальном виде Гессе x cos + y sin - pL = 0. (Напомним, что - это угол между направлением r нормального вектора pL = pL{cos,sin} и полярной осью. При этом заметим, что вариант представления прямой в нормальной форме дает более компактные конечные формулы, чем, например, уравнение прямой в общем виде Ax + By + C = 0. Это связано с тем, что всегда pL 0. (Читатель может Глава 3. Система координат Кеплера непосредственно убедиться в этом, проделав выкладки этого раздела для прямой в общем виде.) Так, для двух прямых необходимо и достаточно равенства единичных нормальных векторов их направлений {cos,sin}. С другой стороны (см.рис.1), приравнивая тангенсы углов наклона, можно получить среди решений не только прямую P1Tg1, но и прямую P2Tg2, т.к. из (1.2.1.-6) tg(ang(0,{a,b}) = tg(ang({0,{-a,-b}). Поэтому, исходя из (3.1.1.-3), запишем cos + e cos уравнение = -, (1) - sin sin в котором неизвестным является полярный угол. Преобразуем (1) 1 cos sin cos + esin = cos sin, sin cos - cos sin = -esin, cos + sin =1.

- e esin Мы свели исследуемое уравнение к виду cos + sin = 1, (*) 1 cos где =, =. (2) - e esin Запишем его решение с помощью метода, изложенного в (1.2.5.4.) 2 1,2 = 0 m = ang(0,{, }) m ang(0,{1, + -1}) (3) 2 2 2 или 1,2 = ang(0,{ ± + -1, m + -1}). (4) Упростим 1-е слагаемое суммы (2) при помощи (1.2.1.-9) и (1.2.1.-7) ang(0,{-sin,cos}), sin > 0 (5 -1) 1 cos 0 = ang(0,{, }) = ang(0,{, }) = ang(0,{sin,-cos}), sin < 0. (5 - 2). (5) - e esin Обратим внимание, что, геометрическая интерпретация (4) проста – вектор с направлением D0(0) или исходной прямой (см.рис.1,2). Эту исходную прямую в задачах о нахождении касательной к конике в дальнейшем называют сопряженной прямой. Кроме того, заметим, что вектор D0 совпадает с биссектрисой фокального угла между двумя направлениями решений. Т.к.

единичный нормальный вектор {cos,sin} сопряженной прямой этой прямой по построению, то, естественно, что он будет и биссектрисе фокального угла (см.

рис.1,2). Аналитически в этом можно легко убедиться, найдя разность полярных углов между вектором биссектрисы (5-1) или (5-2) и направлением единичного нормального вектора {cos,sin} сопряженной прямой Глава 3. Система координат Кеплера ~ = 0 -n = ang(0,{-sin,cos}) - ang(0,{cos,sin,}) = = ang(0,{-sin,cos}) + ang(0,{cos,-sin,}) = = ang(0,{- cos sin + cos sin,cos2 + sin2 }) = ang(0,{0,1}) =. Займемся теперь отклонением угла от биссектрисы. В соответствии с 1 cos2 (1.2.5.4.–5) = ang(0,{1, + -1}) = ang(0,{1, + -1}) = e2 e2 sin= ang(0,{esin, 1- e2 sin2 }), (6) или = ang(0,{esin, cos2 + (1- e2)sin2 }). (6а) Упражнение 1. Доказать, что полное решение (см.1.2.5.4.-6) 1,2 = 0 m = 2 2 2 = ang(0,{ ± + -1, m + -1}) с выбором последовательности углов решений (т.е. с сохранением правила обхода углов против часовой стрелки) преобразуется:

при sin > 0 (см. рис.1) 1,2 = ang(0,{-esin2 ± cos 1- e2 sin2, sin (ecos ± 1- e2 sin2 }), (7) при sin < 0 (см. рис.2) 1,2 = ang(0,{-esin2 m cos 1- e2 sin2, sin (ecos m 1- e2 sin2 }). (7а) или универсальный вариант s = sign(sin ), Глава 3. Система координат Кеплера 1,2 = ang(0,{-esin2 ± s cos 1- e2 sin2, sin (ecos ± s 1- e2 sin2 }), (7б) Указание. Для доказательства воспользоваться следующими равенствами ± sin = sin2, sin sin = s sin2, s2 =1.

(В дальнейшем мы не будем отслеживать порядок последовательности углов, поэтому будем применять (7)).

Заметим также, что из-за влияния e - эксцентриситета, формулы (4)-(6) ведут себя по-разному для эллипсов, парабол и гипербол. В силу этого разные типы кривых исследуем отдельно.

2. Эллипс Рассмотрим (6) и (6а). Т.к. e2 sin2 <1, то корень 1- e2 sin2 извлекается всегда. Следовательно, если мы рассматриваем весь эллипс (а не его часть), то всегда можно построить две || концевые касательные.

3. Парабола Докажем, что найденное нами решение (5) годится для параболы, однако интерпретируется следующим образом вектор D0 является биссектрисой угла между действительным решением D1 и асимптотическим направлением AГлава 3. Система координат Кеплера (см. рис.3). (Асимптотическое направление параболы в системе координат Кеплера направлено вдоль угла.) Доказательство. Подставим e = 1 в (7) 1,2 = ang(0,{-sin2 ± cos2,sin cos ± sin cos}). Выпишем решения отдельно 1 = ang(0,{cos 2,sin 2}) = 2. (8) Это дает удобный способ построения || касательной параболы: удвоенный полярный угол нормального вектора сопряженной прямой является полярным углом точки касания || касательной.

Второе решение 2 = ang(0,{-1,0}) = дает асимптотическое направление.

Исключая этот вариант, делаем вывод: у параболы только одна касательная || данной прямой.

4. Гипербола Для гипербол (см.рис.4) при e2 sin2 <1 можно построить две касательные, при e2 sin2 =1 - одну, при e2 sin2 > 1 решений не существует. Геометрический смысл этих неравенств рассмотрим ниже в главе (6.).

Глава 3. Система координат Кеплера 3.2.7. Декартовые координаты точек касания концевых касательных x y Используя (1.2.3.-2а и 3а) вычислим cos1,2 =, но и sin1,2 = x2 + y2 x2 + yсначала докажем, что x2 + y2 =1. В самом деле, из (6) имеем (-esin2 ± cos 1- e2 sin2 )2 + (ecos sin ± sin 1- e2 sin2 )2 = = e2 sin4 m 2e cos sin 1- e2 sin2 + cos2 (1- sin2 ) + e2 cos2 sin2 ± ± 2ecos sin2 1- e2 sin2 + sin2 (1- e2 sin2 ) = e2 sin4 + cos2 - e2 cos2 sin2 + + e2 cos2 sin2 + sin2 - e2 sin4 =1. Таким образом cos1,2 = -esin2 ± cos 1- e2 sin2, (1) sin1,2 = sin (ecos ± 1- e2 sin2, (2) p p r1,2 = =, (3) 1+ ecos1,2 1- e2 sin2 ± e cos 1- e2 sinp{-esin2 ± cos 1- e2 sin2, sin (ecos ± 1- e2 sin2 } D1,2 =. (4) 1- e2 sin2 ± ecos 1- e2 sinили p{-esin2 ± cos cos2 + (1- e2)sin2, sin (ecos ± cos2 + (1- e2)sin2 } D1,2 = cos2 + (1- e2)sin2 ± ecos cos2 + (1- e2)sin.

(4а) Обращаем внимание читателя на то, что декартовы координаты (4) или (4а) даны в виде конечной дроби и относительно несложными методами могут быть исследованы.

Упражнение 1. Найти декартовы координаты точек касания для параболы.

Решение. 2 решения получаются благодаря знаку ‘ ± ‘. Однако для параболы знак ‘ - ’ вызывает деление на 0 в знаменателе и поэтому нам не подходит. Знак ‘ + ’ дает единственное решение p{-sin2 + cos2, sin (2cos )} p{cos 2,sin 2} D1,2 = =. (5) 2cos2 2cosГлава 3. Система координат Кеплера 3.2.8. Определение диаметра. 1-я модель построения диаметра Отрезок прямой, соединяющий две точки кривой, называется хордой.

Хорда, соединяющая точки касания двух || касательных, называется диаметром. На (рис.3.2.6.-1..4) это точки D1, D2. Диаметр обладает целым рядом замечательных свойств, которым в данной работе кроме этого раздела посвящена глава 6.

Касательные, которые найдены в предыдущем разделе, были || сопряженной прямой, расположенной, вообще говоря, произвольно относительно исследуемой кривой. Т.е. сопряженная прямая могла пересекать коническую кривую, касаться ее или проходить вне ее. При этом создавались геометрические конструкции, однозначно определяющие диаметр. Для этих конструкций в данной работе употребляется термин модель. В частности, задавая одну касательную (модель 2), мы легко найдем 2-ю || касательную. Тоже самое произойдет, если в качестве исходной прямой мы зададим хорду (модель 3) или полюс (модель 4).

Рассматривая задачу с сопряженной прямой, получен самый общий подход к построению диаметра.

Зная концевые точки D1, D2 диаметра (3.2.6.-11), легко построить внутри коники уравнение прямой, совпадающей с диаметром, как с хордой. Это уравнение называют уравнением диаметра. Вне кривой о точках данной прямой будем говорить как о продолжении диаметра.

Будем искать сначала уравнение диаметра в общем виде Ax + By + C = 0, где A = y2 - y1, B = x1 - x2, C = x2 y1 - x1y2.

Введем, также, следующее сокращение L =1- e2 sin2 (в (3.2.6.-11) оно встречается 4 раза).

Запишем декартовы координаты концевых точек в компонентах p(-esin2 + cos L) p(-esin2 - cos L) p sin (ecos + L) x1 =, x2 =, y1 =, L + ecos L L - ecos L L + ecos L p sin (ecos - L) y2 =. (1) L - ecos L Глава 3. Система координат Кеплера 1 esin cos - sin L2 e sin cos + sin L2 p sin A = y2 - y1 = p - = 1 (L2 - e2 cos2 L) L - ecos L2 L + ecos L 1 3 1 (ecos L + e2 cos2 L2 - L2 - ecos L - ecos L + e2 cos2 L2 - L2 + ecos L) = 1 2 p sin (e2 cos2 L2 - L2 ) - 2 psin = =, (L2 - e2 cos2 L) L1 - esin2 + cos L2 - esin2 - cos L2 p B = x1 - x2 = p - = 1 (L2 - e2 cos2 L) L + ecos L2 L - ecos L 1 3 (-esin2 L + e2 cos sin2 L2 + cos L2 - ecos2 L + esin2 L + e2 cos sin2 L2 + 1 2 p cos (e2 sin2 L2 + L2 ) 2 p cos + cos L2 + ecos2 L) = =, (L2 - e2 cos2 L) L2 (1- e2) 1 - esin2 - cos L2 sin (ecos + L2 ) C = x2 y1 - x1y2 = p2 1 L - ecos L2 L + ecos L 1 - esin2 + cos L2 sin (ecos - L2 ) p2 sin - = (-e2cos sin2 - esin2 L2 1 (L2 - e2 cos2 L) L + ecos L2 L - ecos L 1 1 - ecos2 L2 - cos L + e2 cos sin2 - esin2 L2 - ecos2 L2 + ecos L) = 2 p2esin 2 p2esin = - = -. (2) 1 L2 (L - e2 cos2 ) L2 (1- e2) 2 pe Сокращаем все коэффициенты на и окончательно получаем L2 (1- e2) уравнение диаметра в общем виде - (1- e2)sin x + cos y - pesin = 0. (3) Нормальное уравнение диаметра s = +1, sin > - (1- e2)sin x + cos y - pesin = 0. (4) s = -1, sin < 0. s cos2 + (1- e2)2 sinВ данном разделе будут исследованы только декартовые координаты x1 + x2 y1 + yважной точки – центра диаметра {xO, yO} = {, }, где {xi, yi}i=1,2 - 2 координаты концевых точек. Остальные полезные точки, принадлежащие диаметру, продолжим изучать в главе (6.).

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.