WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 42 |

Одновременно с полярной правосторонней системой координат мы рассматриваем систему Кеплера и как прямоугольную правостороннюю декартову систему координат, у которой с полярной системой совпадают следующие характеристики:

- центры координат;

- направление полярной оси и оси абсцисс;

- длины измеряемых отрезков (масштаб).

Иначе говоря, мы накладываем одну систему на другую (совмещаем две системы – полярную и декартову).

Исходя из вышесказанного, будем приводить наши задачи к решению в системе координат Кеплера по известным (1.5.1.-9) формулам преобразования x'= (x - x0)cos + ( y - y0)sin,, (6) y'= -(x - x0)sin + ( y - y0)cos где - угол полярной оси, а x0, y0 - координаты фокуса в исходной системе координат. При переходе к системе координат Кеплера из всех углов, Глава 3. Система координат Кеплера участвующих в расчете и характеризующих направление, нужно вычитать. В частности, их нужно вычитать из граничных углов min,max.

Разность же углов между двумя направлениями (например, углы при вершинах треугольника, полярные углы и т.д.) при поворотах системы координат не изменяется. Этому есть простое объяснение 1'= 1 -, 2'= 2 -, = 2 -1 = (2'-) - (1'-) = '2 -'1. (7) Возвращаясь обратно, в исходную систему координат (программа должна это делать после каждого расчета), нужно переводить результаты из системы координат Кеплера в исходную систему координат по формулам (1.5.1.-10) x = x0 + x cos - y sin, (8) y = y0 + xsin + ycos К углам, связанным с некоторым направлением, нужно прибавлять, но разности углов между двумя направлениями, аналогично (5), остаются без изменения.

Упражнение 1. Доказать К.Ф.Гаусс [8,стр.7], что:

p 1) r = ; (9) 1+ e - 2esinp 2) r = ; (10) 1- e + 2ecosp 3) r =. (11) (1+ e)cos2 + (1- e)sin2 Доказательство. Докажем (11). Из (1) и 1 = cos2 + sin2, 2 cos = cos2 - sin2 очевидно следует (11). В частности, для параболы ( e = 1) 2 p r =.

2cosГлава 3. Система координат Кеплера 3.1.2. Горизонтальная и вертикальная симметрия полярного уравнения Напомним, что ось и свойство симметрии друг другу. Так, вертикальная ось порождает горизонтальную симметрию, а горизонтальная ось – вертикальную.

1. Вертикальная симметрия Теперь докажем, что конические кривые симметричны относительно p фокальной оси. В уравнении (1) r = функция cos четная, т.е.

1+ ecos cos = cos(-). Отсюда следует, что и r() = r(-). (Напомним, что отрицательные углы откладываются от фокальной оси по часовой стрелке (см.1.2.1.2). В системе Кеплера эта ось совпадает с осью абсцисс).

Таким образом, фокальная ось (или ось абсцисс) является осью вертикальной симметрии.

2. Горизонтальная симметрия Исследуем полярное уравнение (1) на свойство горизонтальной симметрии. Другими словами, мы ищем вертикальную ось, зеркальное отражение от которой нетождественно горизонтально отобразит исследуемую кривую в нее же с сохранением ординаты каждой отображаемой точки кривой.

Будем исследовать отображение в виде (1.5.4.1.-6) xz cos - cos 2 - sin 2 x = 2 pL +.

yz sin - sin 2 cos 2 y Т.к. ординаты при отображении сохраняют свое значение, то зеркальная ось расположена вертикально, следовательно, нормальный вектор Гессе pL{cos,sin }, проведенный из центра координат к зеркальной оси, расположен горизонтально. Отсюда = 0,. Т.к. cos 2 =1, то остается 0, выбор для cos, но отложим его до окончательного анализа.

Нам понадобится еще одно понятие - центр симметрии. Центром симметрии называют точку пересечения вертикальной и горизонтальной осей симметрии.

Глава 3. Система координат Кеплера Запишем, теперь, уравнение (1), связывающее абсциссы двух исследуемых точек. Они расположены симметрично относительно вертикальной оси симметрии и у этих точек разные полярные углы - 1,2.

p cos2 p cos= 2 pL cos -. (1) 1+ ecos2 1+ ecosВ данном уравнении ищем положение зеркальной оси pL cos.

cos2 cos1 pL Преобразовываем (1) + = 2, 1+ ecos2 1+ ecos1 p cos2 + ecos2 cos1 + cos1 + ecos2 cosпричем вначале только левую часть = 1+ e(cos2 + cos1) + e2 cos2 cos2 +1 2 -2cos cos + ecos(2 -1) + ecos(2 -1) 2 = = 2 +1 2 -1 e2 e1+ 2ecos cos + cos(2 -1) + cos(2 +1) 2 2 2 2cos0 cos + 2ecos2 - e + 2ecos2 0 - e = = e2 e1+ 2ecos0 cos + e2 cos2 - + e2 cos2 0 2 2(-ecos2 + ecos2 + e3 cos2 - e) - 2e(1- cos2 ) - 2e = = =. Отсюда 1- 2e2 cos2 + e2 cos2 + e4 cos2 - e2 (1- e2)(1- cos2 ) (1- e2) - pe pL =. (2) (1- e2) Подставим полученное решение в нормальное уравнение вертикальной - pe зеркальной оси x cos - = 0. (3) (1- e2) (Выше мы выяснили, что для вертикальной оси симметрии = 0,, отсюда y sin = 0.) Исследуем (3) в зависимости от угла и знака знаменателя 1- e2. По условию нормального уравнения прямой необходимо, чтобы свободный член был отрицательный. Следовательно, нам подходит следующие решения, которые поместим в таблицу 1.

Глава 3. Система координат Кеплера Кривая e 1- e2 центр симметрии 1 2 3 4 эллипс e < 1 > 0 - pe {,0} (4) 1- eпарабола e = 1 0 - - гипербола e > 1 < 0 0 pe {,0} (5) e2 - Табл.1.

Мы видим, что центры симметрии эллипса и гиперболы вычисляются при помощи одной и той же формулы (правда, в разных видах). И расположены они различным образом относительно фокуса (начала системы координат) (см.рис.1,2). Так, у эллипса центр симметрии находится слева, а у гиперболы справа относительно начала координат, у параболы нет вертикальной оси симметрии.

Упражнение 1. Почему у эллипса и гиперболы центры симметрии расположены по разные стороны от выбранного нами центра системы координат На (рис.1,2) изображены элементы эллипса и гиперболы после отображения от оси симметрии B1B2. Подробный смысл каждого элемента будет объяснен позже.

Глава 3. Система координат Кеплера 3.2. Касательная 3.2.1. Уравнение касательной Запишем уравнение касательной в виде y = kx + b. Из (3.1.2.-3) известно, cos + e yt что в точке касания k = =. Как мы увидим впоследствии, достаточно - sin xt большое число формул в этой работе, как промежуточных, так и окончательных, являются функциями от числителя и знаменателя касательной xt, yt.

p cos p sin Запишем, далее, координаты точки касания x =, y =.

1+ ecos 1+ ecos Отсюда получаем уравнение для b p sin (cos + e) p cos = + b.

1+ ecos - sin(1+ ecos) p(sin2 + ecos + cos2 ) p Или b = =. (1) (1+ ecos)sin sin Из этой формулы, кстати, следует, что касательная p пересекает ось ординат в Ty :{0, } (см. рис.1) (Геометрическое sin нахождение этой точки приведено в (3.2.4.) Собираем все части в одно уравнение (cos + e)x p y = + или (cos + e)x + sin y - p = 0. (2) - sin sin Находим коэффициент нормирования s A2 + B2 = s (cos + e)2 + sin2. (Знак s перед корнем берем всегда "+", чтобы p - < 0 (см. [18, стр.194]), [16, стр.155]). Нормируем (2) (cos + e)2 + sin(cos + e)x - (-sin)y - p = 0. (3) (cos + e)2 + sin(cos + e)x + (sin)y - p или = 0. (3а) 1+ 2ecos + eЗамечание 1. Выражение всегда (cos + e)2 + sin2 > 0, за исключением случая =, e =1. В этом случае получаем cos = -1, sin = 0 и выражение под Глава 3. Система координат Кеплера корнем (3), (3а), а вместе с ним и весь знаменатель равен 0. Т.к. e = 1, то это случай относится к асимптотическому направлению параболы и он будет разобран ниже.

Линейные уравнения (2), а также (3) или (3а), с учетом замечания 1, для всех направлений полярного угла и значений эксцентриситета e имеют конечные непрерывные коэффициенты. Следовательно, касательная существует для любых конечных значений параметров p, e,.

Переписывая (3а) в виде в нормальном виде cos x + sin y - pL = 0, мы сразу можем получить компоненты уравнения касательной cos + e sin p cos =, sin =, pL =. (4) 1+ 2ecos + e2 1+ 2ecos + e2 1+ 2ecos + eВ уравнении (4) = ang(0,{cos + e,sin}), (5) - угол между направляющим вектором нормали к касательной FTn и осью абсцисс (см. рис.2) (мы сократили (1.2.1.-9) на нормирующий коэффициент > 0 ).

(cos + e)2 + sinНормируя направляющий вектор нормали к касательной FTn, вычислим единичный направляющий вектор нормали n = {A, B} = {cos,sin} = A2 + B{cos + e,sin} =. (6) 1+ 2ecos + eТеперь еще раз получим единичный вектор направления касательной 1 {-sin,(cos + e)} t = {-B,A} = = s A2 + B2 (cos + e)2 + (-sin){-sin,(cos + e)}. (7) 1+ 2ecos + e (Сравните с (2.7.-1), (2.7.-2),(3.1.2.-4), [16, стр.157].) Для того, чтобы убедиться в правильности выбранного направления вектора t из некоторой произвольной точки, нужно взять 2-ю рядом лежащую точку с соблюдением правила обхода (против часовой Глава 3. Система координат Кеплера стрелки). Тогда вектор t с небольшой погрешностью будет показывать из 1-й точки на 2-ю.

Из (7), с учетом (1.2.1.-9), имеем угол наклона касательной к оси абсцисс = ang(0,{-sin,(cos + e)}. (8) Расстояние от некоторой произвольной точки с координатами {x, y} до (cos + e)x + (sin) y - p касательной получим из (3а) и (1.5.2.-15) d =. (9) 1+ 2ecos + eТ.к. фокальная ось в системе координат Кеплера совпадает с осью абсцисс, то, подставляя в (2) y = 0, найдем точку пересечения Tx касательной с фокальной осью p p (cos + e)x - p = 0, x = и Tx :{,0}. (10) cos + e cos + e 3.2.2. Расстояние от фокуса до касательной и координаты проекции фокуса на касательную Из уравнений (3.2.1.-3) или (3.2.1.-3а) получаем расстояние от фокуса до касательной d1. Для этого подставим в эти уравнения координаты F :{0,0}, берем результат со знаком “+” (по абсолютной величине) и получаем p d1 =, (1) (cos + e)2 + sinp или d1 =. (1а) 1+ 2ecos + e Упражнение 1. Доказать, что расстояние от фокуса до касательной, за исключением асимптотического направления параболы, конечно.

pr Упражнение 2. Доказать, что для параболы d1 =, где p - фокальный параметр, а r - радиус-вектор.

Теперь найдем координаты проекции фокуса на касательную. Для этого воспользуемся (1.5.-8), (1а), (3.2.1.-3а), (3.2.1.-6)) Глава 3. Система координат Кеплера p {cos + e,sin}, (2) 1+ 2ecos + e d {cos + e,sin,}, (3) {x, y} = pL{cos,sin} = 1+ 2ecos + e p. (4) n 1+ 2e cos + e На рис.1 показана геометрическая интерпретация выражений (2), (3) и (4).

Фактически (3) можно интерпретировать как полярное уравнение для основания перпендикуляра, где FP = d1 - есть радиус-вектор, а F = ang(0,{cos + e,sin}) (5) - полярный угол. График данной функции для эллипса нарисован на рис.2. В (3.5.1. упр.4) будет доказано, что геометрическое место точек проекции фокуса pe p на касательную есть окружность с центром {-,0} и радиусом.

1- e2 1- eВернемся к рис.1. и вычислим расстояние t1 = PP. Из (3.2.1.-6) cos + e sin cos =, sin =. Отсюда 1+ 2ecos + e2 1+ 2ecos + epesin r sin( - ) = r(sin cos - cos sin ) =. (6) (1+ ecos) 1+ 2ecos + eИз числителя (6) видно, что при = 0, - расстояние PP = 0. Это заметно зрительно на рис.2., где в этих углах функция основания касается эллипса.

Глава 3. Система координат Кеплера 3.2.3. Зеркальные координаты точки фокуса относительно касательной Т.к. координаты фокуса F :{0,0} имеют нулевые координаты, то его зеркальное преобразование сводится только к преобразованию 1-го слагаемого из (1.5.4.1.-6) 2 pL{cos,sin}. Это слагаемое отличается лишь коэффициентом “2” от формулы нахождения проекции фокуса на касательную (3.2.2.-2), поэтому 2 p Fz = {cos + e,sin}. (1) (1+ 2ecos + e2) Упражнение 1. Докажите, что геометрическое место точек (1) при e - 2 pe (эллипс и гипербола) есть окружность с центром в {,0} (2) 1- e2 p и радиусом = 2a, (3) 1- eа при e = 1 (парабола) – прямая линия x = p (директриса).

Рисунки к данному упражнению даны в следующих разделах: (3.2.2. рис.2.) – эллипс, (3.6.2. рис.2.) – парабола, (3.7.6. рис.4.) – гипербола.

3.2.4. Построение касательной при помощи циркуля и неразмеченной линейки Задача, которую мы сейчас решим, относится к серии задач на построение, использующих только циркуль и линейку (слово неразмеченную мы далее опускаем). При этом предполагается, что читатель знаком с возможностями и ограничениями данного метода. Вкратце напомним, что с его помощью [3],[4, стр.137] возможно:

- проводить прямые любой конечной длины и окружности конечных радиусов;

- строить перпендикуляры к данной прямой из внешней точки и из точки на прямой;

- поводить прямую через внешнюю точку, параллельную данной прямой;

- делить отрезок в данном отношении;

- делить угол на 2 части (строить биссектрису угла);

Глава 3. Система координат Кеплера a - строить по исходным отрезкам a, b новые отрезки a ± b, ab,, a ;

b - строить правильные многоугольники с числом сторон ( n = 3, 4, 5,6...,17,...257,...) тогда и только тогда, когда n представлено в виде k 2m p1p2...pS, где p1 p2...pS различные простые числа Ферма вида 22 +1 (1796 г.

К.Ф.Гаусс).

Нельзя:

- делить произвольный угол на 3 части (задача о трисекции угла);

- построить окружность, площадь которой была бы вдвое больше площади заданной окружности (задача о квадратуре круга), n - если дан исходный отрезок a построить отрезок равный a, n 2k и n > (частный случай - задача удвоения объема куба) и другое.

(В [3] есть достаточно полный список литературы до 1957г.) Рассмотрим следующую задачу: зная точку касания на дуге (это первая точка), построить касательную к этой дуге (т.е. найти вторую точку и провести через обе точки прямую). Если мы захотим построить касательную только при помощи циркуля и линейки, то мы должны проводить дополнительные геометрические построения, характерные для этих построений.

Решение подобной задачи приведено в [18,стр.458], [24,стр.525]. Там, с помощью касательной к вспомогательной окружности, пересекающую ось абсцисс, найдена вторая точка касательной к дуге.

Построим аналогичную конструкцию, но с учетом особенности расположения коник в системе координат Кеплера.

Пусть нам дана дуга P1P2 (см. рис.1), известно местоположение фокуса F и одна из точек пересечения оси Y - P1 или P2. На доступной нам части дуги под полярным углом отложена T.

Глава 3. Система координат Кеплера Мы хотим найти вторую точку касательной – Ty, отстоящую от фокуса p (центр координат) на расстоянии (1) sin по вертикали.

Решение. Построим из центра (фокус) окружность радиусом p. Этот радиус легко найти– он равен расстоянию от фокуса до ближайшей точки дуги по вертикали – на рисунке P2 (предполагается, что эта точка присутствует, т.е.

второй конечный угол дуги 2 ). Заметим, что Pнаходится одинаково для эллипса, параболы и гиперболы p P2 : {cos,sin} = {0, p}.

= 1+ ecos (Если на чертеже не нанесена ось ординат, то проведем отрезок из фокуса, фокальной оси. Точки пересечения с дугой будут {0,m p}).

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.