WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 42 |

- min - полярный угол, под которым из фокуса видна P1 (находим этот угол с помощью ang(F, P1) );

- max. - ---------“---------“---------“---------“---------“------- P2 - (и, аналогично, ang(F, P2 ) ).

Обсудим еще несколько вопросов по поводу хранения параметров дуги.

В теоретических вопросах, для удобной интерпретации результатов, мы будем часто рассматривать дугу, которую пересекает полярная ось. В этом случае, направлению полярной оси мы придаем нулевое значение, а углы могут принимать и отрицательные значения. Например, принадлежать интервалу (-, ). При этом значение второго угла всегда должно быть больше первого.

2 Такой способ использования углов, при котором допускаются отрицательные Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства значения углов, и 1 < 2, мы будем называть ненормированным и неранжированным. Заметим, что этот способ удобен для теоретических исследований.

В практических приложениях, удобно хранить min и max в нормированном и ранжированном видах 0 min < 2 и min < max. (*) Мы добиваемся этого, допуская только использование правосторонней системы координат. С другой стороны, если при решении тригонометрических уравнений, получаются отрицательные углы, то одновременно прибавляя к min, max, (угол фокальной оси) по 2 получаем условие (*). В дальнейшем будем напоминать в соответствующих местах о необходимости восстановления условия (*) с помощью ранжирования и нормирования.

В данной работе граничные углы хранятся в абсолютном виде. Однако их можно вычислять, как это сделано ниже при решении задачи о зеркальном отображении дуги, при помощи добавок к углу полярной оси. Тогда вместо нормирования 3-х углов: угла фокальной оси и двух граничных углов достаточно делать нормирование только угла фокальной оси. Операция же ранжирования граничных углов в обоих вариантах идентична. Однако “цена” этого упрощения нормирования связана с необходимостью вычисления граничных углов для всех задач, где они используются min = + min, max = + max. Выбор варианта предоставляем читателю.

2. Известно, что длина дуги кривой 2-го порядка в общем случае выражается через полные эллиптические интегралы [25, стр. 177]. Поэтому для быстродействия работы программ, использующих этот параметр (назовем его здесь L ), рекомендуется хранить и его. Обновление параметра L необходимо делать всякий раз, когда изменяется хотя бы один из параметров, от которых он зависит: p, e, min -,max -. Например, при масштабировании, сжатии (растяжении) и делении дуги на части. С другой стороны, при ортогональных преобразованиях (движениях): при переносах, поворотах (включая зеркальные) и их комбинациях, длина дуги L не изменяется.

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства 2.Преобразование из полярных координат в декартовые p cos psin x = r cos =, y = r sin =. (2) 1+ ecos( -) 1+ ecos( -) Подвергнем некоторую фигуру, описываемую (2), преобразованием гомотетии y' ky, x' kx. Тогда kp cos kpsin x'= kr cos =, y'= kr sin =. (3) 1+ ecos( -) 1+ ecos( -) Сделаем выводы из (3). Очевидно, что преобразование гомотетии меняет только параметр кривой p'= kp, отвечающий за масштаб. Все остальные параметры остаются без изменения. Особенно важно следующее: без изменения остается эксцентриситет. Это означает, что гомотетичное преобразование не изменяет тип кривой: эллипс переходит в эллипс, парабола в параболу, гипербола в гиперболу. (Если k < 0, то кривая масштабируется и поворачивается в другую сторону.) Все симметрии (об этом ниже), которые есть у данного уравнения, также остаются [ср.18, § 207].) 3.Влияние параметров полярного уравнения на форму и расположение дуги Предварительно отметим следующие зависимости:

- от p - параметра - размеры (масштаб) дуги;

- от e - эксцентриситета - форма дуги (степень сжатия);

- от значений координат фокуса F - расположение дуги;

- от угла фокальной оси по отношению к оси абсцисс (полярной оси) - ориентация дуги в пространстве.

2.3. Перемещение дуги на вектор {x, y} Для этого достаточно к декартовым координатам фокуса F(x, y) добавить соответственно, координаты вектора {x, y}.

Остальные параметры дуги при этой операции не изменяются (см.

рис.1).

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства 2.4. Поворот дуги Пусть центр вращения дуги будет размещен в некоторой точке C, а угол поворота дуги -. Наша задача сводится к нахождению нового положения фокуса Fr, а также новых значений угла фокальной оси r и граничных углов 1r, 2r.

Вращаем F старого положения фокуса относительно центраC. Из рис. легко получается формула Fr = polar(C, dist(C,F ),0 + ) = polar(C, dist(C,F ),ang(C,F) + ).

Сумма = 0 + = ang(C,F ) + говорит о том, что результирующий поворот фокуса относительноC состоит, собственно, из двух поворотов - из того поворота, который сложился для старого положения фокуса в его предыстории - ang(C,F ) и нового поворота на угол.

При таком повороте точки фокуса дуги на угол, все искомые угловые параметры также изменяются на угол r = +, 1r = 1 +, 2r = 2 +.

Последнее утверждение доказывается следующим образом. Возьмем, например, копию вектора FP1 и переместим эту копию до совмещения точки F' с центром вращения C. Теперь будем вращать всю конструкцию CP1P2 как “твердое тело”. Очевидно, что при вращении векторы FP1 и F' P'1 также, в силу жесткости конструкции, останутся. Но после поворота угол наклона вектора F' P'1 изменится по отношению к своей локальной горизонтальной оси на угол.

На такой же угол по отношению к своей локальной горизонтальной оси в силу параллельности изменится и угол наклона FP1. Аналогично изменятся углы наклона для всех остальных векторов.

В конце работы алгоритма “поворот дуги” мы рекомендуем произвести нормирование угла фокальной оси и граничных углов, а также ранжирование граничных углов. Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства 2.5. Зеркальное отображение дуги Зададим положение зеркальной оси двумя точками Z1 и Z2. В качестве первого шага, мы должны отобразить зеркально точку фокуса. Для этого можем воспользоваться одним из 3-х способов, указанных в (1.6.1.) Т.к. 2-й способ нагляднее (но не эффективнее!), то воспользуемся им. Для этого опустим перпендикуляр из старого положения фокуса в F на зеркальную ось Z1, Z2 (см.

рис.1) Пусть основание перпендикуляра лежит в ZF. Рассматривая эту точку как центр, повернем старый фокус относительно нее на угол Fz = polar(ZF, dist(ZF, F ), ang(ZF, F ) + ) = polar(ZF,dist(ZF,F ), + ).

Теперь остается зеркально повернуть угол фокальной оси и граничные углы дуги min = 1, max = 2. Для этого введем угол = ang( Z1, Z2) между зеркальной осью и осью абсцисс. На основании формул (1.6.2.-1) z = 2 -. При зеркальном повороте граничные точки меняются местами, т.к. ориентация дуги меняется на противоположную (см.рис.1). Поэтому min z = 1z = 2 - max, max z = 2 z = 2 - min. (1) Существует и другой способ вычисления зеркальных граничных углов:

находим разности между исходным углом оси и исходными граничными углами min = min -,max = max -, (2) находим z и будем соответствующие добавки не прибавлять, а вычитать z min = z -max, z max = z -min. (3) На последнем этапе данного алгоритма рекомендуем нормировать все пересчитанные углы, и, кроме того, граничные углы ранжировать.

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства 2.6. Определение расположения точки по отношению к кривой В данном разделе решим следующую задачу: находится ли точка а) внутри кривой (т.е. между кривой и фокусом); б) на кривой; c) за кривой.

Эта задача решается за 5 шагов:

- найдем расстояние между P1 и фокусом - d1 = dist(P1, F ) ;

- найдем угол, под которым точка P1 видна из фокуса - = ang(F, P1) ;

- вычислим расстояние до ближайшей точки кривой по направлению фокусp P0 : r = ;

1+ ecos( -) - найдем разность s = d1 - r ;

- проанализируем разность если ABS(s), где очень малое число, то P1 лежит на кривой;

если s < 0, то P1 лежит внутри кривой;

иначе P1 лежит за кривой. Если мы рассматриваем две ветви гиперболы, то данная задача перестает быть тривиальной. Мы продолжим ее рассмотрение в (5.3.).

2.7. Вектор направления касательной в полярных координатах Учитывая (2.1.-2), найдем методами дифференциального исчисления тангенс угла наклона (или угловой коэффициент) касательной p sin() dy 1+ ecos( -) cos()(1+ ecos( -)) + esin sin( -) dy d = = = = dx dx - sin()(1+ ecos( -)) + esin sin( -) p cos() d 1+ ecos( -) cos + ecos cos( -) + esin sin( -) cos + ecos = =. (1) - sin - esin cos( -) + ecos sin( -) - sin - esin Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства Мы нашли угловой коэффициент k прямой линии (в данном случае касательной) для приведенного уравнения y = kx + b. С другой стороны, запишем A A k = - = для той же прямой, но для уравнения общего вида Ax + By + C = 0.

B - B Принимая во внимание [16,стр.139, стр.157], что вектор {-B, A} || этой прямой, получаем единичный вектор направления касательной t = {-sin - esin, cos + ecos}, t где t = (sin + esin)2 + (cos + ecos)2 = = sin2 + 2esin sin + e2 sin2 + sin2 + 2ecos cos + e2 cos2 = = 1+ e2 + 2ecos( -). (2) Обратим внимание на два обстоятельства. Во-первых, на то, что, пользуясь правосторонней системой координат, мы выбрали в векторе {-B, A} знак минус у первого компонента вектора. В этом случае, касательная на рис.1 направлена “налево”, или, более точно выражаясь, против часовой стрелки. (Сравните с [18,стр.192,4], где выбор знаков другой {B,-A}. У этих векторов противоположные направления ang(0,{B,-A}) = ang(0,{-B, A}) +.) Во-вторых, вектор направления касательной не зависит от параметра p. Поэтому, варьируя только параметр p, мы получим для данного направления семейство дуг с параллельными касательными (см. рис.1).

Однако, эти дуги, за исключением окружности, не являются ни огибающими, ни параллельными дугами для исходной дуги (термин параллельная дуга, а также причины сказанного здесь мы выясним ниже в главе «7.Нормаль»). Сейчас только обратим внимание на то, что на рис.1. зрительно заметно, что расстояние Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства между дугами с постоянной разницей в параметрах p = p2 - p1 изменяется как, функция угла от. Это расстояние является наименьшим по направлению фокальной оси A.

А теперь проверим формулу (1) для окружности. В этом случае роль параметра играет радиус R, эксцентриситет e = 0, и полярный угол = 0. Найдем скалярное произведение для некоторого угла направляющих радиус-вектора и вектора направления угла касательной ({R cos, R sin},{-sin,cos}) = = -cos sin + cos sin = 0. Таким образом, эти векторы перпендикулярны, что для окружности и следовало ожидать.

Решим полезную задачу - отложить от некоторой точки P1 вдоль вектора касательной отрезок длиной R, получая новую точку - P2.

p Найдем P1 на дуге с помощью формулы polar(F,,).

1+ ecos( -) Временно считая P1 началом ЛСК, найдем угол, под которым ‘видна’ P = ang(P1,{-(sin + esin),cos + ecos }. Возвращаясь к исходной системе координат, из точки P1 под углом отложим радиус R P2 = polar(P1, R,).

Ту же задачу можно решить с помощью векторов P2 = F + r + Rt = p cos R(sin + esin) p sin R(cos + ecos) = {Fx + -, Fy + + } 1+ ecos( -) 1+ ecos( -) 1+ e2 + 2ecos( - a) 1+ e2 + 2ecos( - a). (3) Глава 3. Система координат Кеплера 3. Система координат Кеплера 3.1. Общие вопросы 3.1.1. Определение системы координат Кеплера и преобразования между этой системой и исходной системой координат Напомним, что фокальная ось - это ось симметрии, проходящая через соответствующие фокусы эллипса, гиперболы или параболы [18, стр.390].

Назовем системой координат Кеплера1 такую полярную систему координат, у которой центр системы координат находится в правом фокусе эллипса, единственном фокусе параболы, или левом фокусе гиперболы, а фокальная ось совпадает с полярной осью данной кривой. Аналитически это означает, что угол между полярной осью и осью абсцисс будет = 0. В этом случае упростится формула Лаланда-Лапласа для радиус-вектора p p r = =, (1) 1+ ecos( -) 1+ ecos и все, образованные от нее формулы. В частности, станут проще координаты точки дуги p {cos,sin}, (2) 1+ ecos тангенс угла наклона касательной cos + ecos cos + e =, (3) - sin - esin - sin Мы назвали данную систему координат в честь величайшего немецкого ученого Иоганна Кеплера (Kepler, Johannes (1571-1630))). И.Кеплер на основе данных, собранных в лаборатории его руководителя Тихо Браге (1546-1601), создал в несколько этапов теорию, доказав, что орбита Марса есть эллипс (”Новая Астрономия” 1609). Там же доказано, что в в одном из фокусов эллиптической орбиты Марса лежит Солнце. Мы в данной работе следуем подобно И.Кеплеру и помещаем центры наших координатных систем в соответствующие фокусы кривых.

Мы также настоятельно рекомендуем ознакомиться с биографией ученого в одной из следующих книг.

1.В.П.Лишевский “Иоганн Кеплер”. Библиотечка •Квант•, выпуск 9, ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ УЧЕНЫЕ.

Под редакцией С.П. Капицы. М., «Наука», 1980.

2. Max Caspar “Johannes Kepler”, W. Kohlammer Verlag Stuttgardt,1948.

3. Prof.Dr.Johannes Hoppe, Jena “Johannes Kepler”, BSB,B.G.Teubner Verlaggesellschaft,1982, 4.

Auflage.

4. Gnter Doebel “Johannes Kepler. Er vernderte das Weltbild”, Verlag Styria, 1983.

5. Ф.Араго. Биографии знаменитых астрономов, физиков и геометров в 2-х томах. Москва-Ижевск 2000.

6. Биография И.Кеплера есть, практически, во всех больших энциклопедиях.

Глава 3. Система координат Кеплера вектор направления касательной 1 t = {-sin, cos + e} или {-sin, cos + e}. (4) (cos + e)2 + sin2 1+ 2ecos + eКроме того, уравнения всех прямых линий, выходящих из фокуса (т.е.

из центра координат) и записанных в декартовой системе координат, будут без свободного члена Ax + By = 0 или y = kx.

В качестве примера построим прямую, совпадающую с радиус-вектором (2) во всех точках последнего (прямая бесконечна, а радиус-вектор конечен).

Воспользуемся для этого уравнением прямой, проходящей через 2 точки x - x1 y - y1 x y =. Т.к. {x1, y1} = {0,0}, то =, и, окончательно, имеем p cos p sin x2 - x1 y2 - y1+ ecos 1+ ecos нормированное (докажите!) уравнение радиус-вектора xsin - y cos = 0. (5) Учитывая приведенные выше доводы, заметим, что в системе координат Кеплера все вычисления существенно проще, чем в полярной системе координат общего вида.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.