WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 42 |

Мы также избегаем употребления термина “кривые 2-го порядка”, поскольку этот термин существенно шире, чем термин “эллипсы, параболы и гиперболы”. Так, известно [18,§257] [16,§188], что кривые 2-го порядка включают в себя 9 аффинных классов. В том числе: мнимый эллипс, различные пары прямых - ||, пересекающиеся, действительные и мнимые.

Поэтому, на данном промежуточном этапе исследований мы используем международный термин “коники” ( от латинского “conica”), собственный термин “конические кривые” или привычное выражение “эллипсы, параболы или гиперболы”.

Несколько слов о методологии. К настоящему времени, уже сложилась устойчивая традиция проводить исследования свойств кривых 2-го порядка Собственно говоря, Данделен удачно доказал результат, который был известен уже Менехму. Данные кривые изучали: Аристей, Эвклид. Эти кривые также изучал современник Аполлония –Архимед [21,стр.32]. Термин “конические сечения” впервые был введен Менехмом, а основные результаты получены в работах Аполлония, носящих название “Коника”.

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства преимущественно в декартовой системе координат, изучая 5 коэффициентов квадратичной формы. В этой работе мы отдаем дань этой традиции только в данной главе при выводе параметров полярного уравнения (1). Делаем это для справочных целей, чтобы читатель мог самостоятельно строить чертежи при решении задач, приведенных ниже.

Что касается полярного уравнения (1) или (2), то в многочисленной учебной литературе для рассматриваемых нами кривых оно выводится скорее со справочной целью. На этом работа с этим представлением заканчивается.

Упоминается только, что полярное уравнение используется в механике и астрономии [16, стр.268]. Как мы уже говорили - этой работой мы хотим хотя бы частично восполнить этот пробел – и показать технику работы с полярным представлением.

Как показывает наш личный опыт, полярное представление (1) очень удобно для компьютерного хранения и обработки, т.е. для перемещений, поворотов, отображений, растяжений-сжатий и др. Объяснение этому простое.

Каждый из 5 его основных параметров1, независимо от других параметров, отвечает либо за расположение дуги, либо за ее ориентацию, либо за ее форму или размеры. Это разделение функций позволяет глубже уловить взаимосвязи изучаемых объектов. Кроме того, полярное уравнение намного проще, чем квадратичная форма общего вида, т.к. не содержит избыточной информации, такой как мнимый эллипс и др. Это существенно говорит в его пользу.

С другой стороны, декартовы координаты (в данной работе мы не используем проективные координаты) также являются удобным инструментом для исследования. В силу этого, как мы уже говорили, мы будем использовать полярные и декартовые координатные методы поочередно, в рамках многослойного подхода.

Формулы или уравнения каждой задачи, решаемой в этой работе, записываются первоначально в полярной системе координат. На следующем этапе исследований мы, как правило, переходим в декартову систему координат, и Напомним, что количество независимых параметров конкретной координатной системы сохраняется при переходе от одной системы координат к другой.

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства окончательные формулы, с применением элементов полярных координат, мы получаем уже в декартовой системе координат. В этой технологии, правда, существенно увеличивается нагрузка на тригонометрический аппарат, но зато уменьшается применение матриц.

Для большинства практических задач, полярное уравнение из фокуса, позволяет работать едиными методами с тремя вариантами конических кривых. Это означает, что математический аппарат для полярного представления получается почти в 3 раза короче, чем альтернативный. Иногда, правда, разница в формулах для эллипса, параболы или гиперболы все-таки возникает – например, при вычислении площади под дугой. (Интегралы берутся различными методами в зависимости от эксцентриситета - e.) Существуют, также, некоторые отличия для гиперболы в связи с ее 2-мя разрывами, которые нужно каждый раз отслеживать. Но это скорее исключения, чем правило.

В связи с этим, нам хотелось, чтобы читатель обратил внимание на следующее. Формулы, записанные в двух системах, как показывает наш личный опыт, легче интерпретируются и запоминаются. Последнее важно не только для успешной сдачи экзаменов, но и при программировании задач по данной тематике.

2.1. Полярное уравнение 1-й этап – получение общего уравнения кривой 2-го порядка в прямоугольных декартовых координатах.

2.1.1. Графический метод Кратко рассмотрим классическую графическую схему получения 5-ти параметров для задания кривой второго порядка. При этом мы будем опираться на выводы из теоремы Якоба Штейнера (Steiner, Jakob (1796-1863)). В работе [21, стр.99] говорится, что данная теорема является обобщением результатов III53 - III56, полученных Аполлонием.

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства Итак, пусть мы имеем 3 различных точки (2 граничные и одну внутреннюю), не лежащих на одной прямой (см.рис.1). Далее, пусть мы имеем еще 2 точки для задания направления касательных. Для этих точек правило аналогично: точка направления касательной, соответствующая ей граничная точка и внутренняя точка также не должны лежать на одной прямой. На практике точка полюса часто выполняет роль направления для двух касательных одновременно (см. рис.2).

(Полярный треугольник с дугой внутри него, называется стрелой прогиба).

Теперь запишем общее уравнение кривой 2-го порядка в прямоугольных декартовых координатах a11x2 + 2a12xy + a22 y2 + 2a13x + 2a23 y + a33 = 0. (1) Т.к. точность расчетов современных вычислительных машин достаточно высока, то для лабораторных работ, результаты которых вычерчиваются на обычном тетрадном листе, положим a33 =1. Этот выбор удобен для тех же целей и для расчетов с помощью калькулятора. С другой стороны, если x, y могут быть достаточно велики, например, при расчете орбит космических объектов, то по сравнению с ними a33 0. Чтобы этого не происходило, мы рекомендуем (xi2 + yi2) i=масштабировать a33. Например, таким образом a33 =, где xi, yi - 2 координаты трех внутренних точек. Важно следующее: если увеличивается a33, то Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства увеличиваются значения других неизвестных - aij. Это легко доказывается по правилу Крамера, т.к. из a33 образуется один из столбцов определителя, из которого состоит числитель aij (об этом более подробно см. далее в (3.8.

Инварианты)).

В том случае, если орбиты исследуемых тел будут сильно вытянуты, то, как следствие из этого, координаты различных точек могут отличаться на порядки одни от других и получаемая матрица, как в таких случаях говорят, становится плохо обусловленной. Однако “борьба с этими неприятностями” выходит за рамки данной работы.

Рассмотрим простейший вариант. Мы получим уравнения, в которое входят координаты 3 точек a11xi2 + 2a12xi yi + a22 yi2 + 2a13xi + 2a23yi = -1. (2) Используя 2 точки для задания направления касательных {xt(i), yt (i)}i=1,2 и соответствующие им граничные точки {xg (i), yg (i)}i=1,2 (2-й раз!), получим еще линейных уравнения для касательных (a11xg + a12 yg + a13)(xt - xg ) + (a21xg + a22 yg + a23)(yt - yg ) = 0. (3) Теперь мы имеем систему из 5 линейных уравнений с 5 неизвестными, которую решаем, например, методом исключения Гаусса.

(Замечание. Если какая-нибудь из внутренних точек равна {0,0}, т.е.

совпадает с центром координатной системы, то необходимо сделать || сдвиг системы координат в любом направлении. Если это не сделать, то (2) дает в определитель системы нулевую строку a1102 + 2a120 0 + a2202 + 2a130 + 2a230 = -a33, определитель системы становится равным 0 и задача решений не имеет. Но при нахождении координат фокуса в этом случае необходимо сделать сдвиг в обратную сторону.) Как указано в [18, §212], можно получить подобную выше систему из уравнений, если известны координаты 5 точек на дуге или координаты 4 точек на дуге и координаты одной точки, определяющей касательную.

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства 2.1.2. Использование метода наименьших квадратовПри обработке экспериментальных данных, в теоретических исследованиях по естественнонаучным и экономическим дисциплинам, да и в самой математике достаточно часто исследуемую (в явном виде!) функцию в окрестности некоторой точки x0 разлагают до малых 3-его порядка в ряд Тейлора [24,§127] y''(x0) y'''(c) y(x) = y(x0) + y'(x0)(x - x0) + (x - x0)2 + (x - x0)3, c [x0, x]. (*) 2 3! (Последний член называется дополнительный член в форме Лагранжа3.) Если значением дополнительного члена можно пренебречь, то последнее выражение представляет собой параболу (докажите!). С другой стороны известно [16,§188], [18,§§260-261], что нельзя с помощью аффинных (т.е. линейных) преобразований, переводить параболу в эллипс или гиперболу. (Это можно делать с помощью проективных – дробно-линейных преобразований [16, дополнение IV,2].) В силу этого, если исследуемый процесс (в геометрии кривые) описываются эллиптической или гиперболической зависимостями, то параболическое представление сопровождается дополнительной погрешностью. (В данной работе мы не имеем возможности заниматься оценкой этой погрешности.) Для того, чтобы избежать нежелательных эффектов параболического приближения, мы будем исследуемую функцию в окрестности некоторой точки {xi, yi} в неявном виде разлагать в ряд Тейлора F(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22 y2 + 2a13x + 2a23 y +1 = i, (1) где i - отклонение F(xi, yi ) от 0.

При этом мы будем добиваться, пользуясь основной идеей метода наименьших квадратов [9,гл.VI],[5,стр.272],[1,22.19],[15], чтобы сумма квадратов n отклонений в исследуемых точках была минимальной i i= Основателем данного метода являются французский ученый Андриен Мари Лежандр (A.M.

Legendre (1752 - 1833)) и выдающийся немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс (С.F.Gauss (1777 - 1855)). Дальнейшее развитие данного метода определили работы П.С. Лапласа, П.Л. Чебышева, А.А.Маркова, Ф.Гельмерта, А.Н. Колмогорова [15, §2. Краткий исторический обзор].

Лагранж (Lagrange,Josef Louis (1736-1813)) - выдающийся французский математик, механик, астроном.

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства n n (F(xi, yi ) - (a11xi2 + 2a12xi yi + a22 yi2 + 2a13xi + 2a23yi +1)) = min. (2) = i i=1 i= В силу малой теоремы П.Ферма, в точках экстремума частные производные по каждому из неизвестных aij от (2) равны 0 (необходимое условие). Сведем все вычисления в таблицу 1 2 n n n n n n a a11 F = 2 = a11 x1 + 2a12 xi3 yi + a22 xi3 yi2 + 2a13 xi3 + 2a23 xi2 yi = ()xi a11 i=i=1 i=1 i=1 i=1 i=n = - xi i=n n n n n n aF = 2 2 yi = 0 a11 x1 yi + 2a12 xi2 yi2 + a22 xi yi3 + 2a13 xi2 yi + 2a23 xi yi2 = ()xi a12 i=i=1 i=1 i=1 i=1 i=n = - xi yi i=n n n n n n aF 2 = 2 = 0 a11 x1 yi2 + 2a12 xi yi3 + a22 yi4 + 2a13 xi yi2 + 2a23 yi3 = ()yi a22 i=i=1 i=1 i=1 i=1 i=n = - yi i=n n n n n n aF = 2 2 = 0 a11 x1 + 2a12 xi2 yi + a22 xi yi2 + 2a13 xi2 + 2a23 xi yi = ()xi a13 i=i=1 i=1 i=1 i=1 i=n = - xi i=n n n n n n aF = 2 2 = 0 a11 x1 yi + 2a12 xi yi + a22 yi3 + 2a13 xi yi + 2a23 yi2 = ()yi a23 i=i=1 i=1 i=1 i=1 i=n = - yi i=Табл.1.

n m Определим любой коэффициент из 3-его столбца таблицы 1 Kmn = yin.

xi i=В 3-ем столбце таблицы 1 таких оригинальных коэффициентов 14. Теперь перепишем эти уравнения Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства K40a11 + 2K31a12 + K22a22 + 2K30a13 + 2K21a23 = -K K a11 + 2K22a12 + K13a22 + 2K21a13 + 2K12a23 = -K. (3) K a11 + 2K13a12 + K04a22 + 2K12a13 + 2K30a23 = -KK a11 + 2K21a12 + K12a22 + 2K20a13 + 2K11a23 = -K a11 + 2K12a12 + K03a22 + 2K11a13 + 2K02a23 = -KKНаходим все 14 коэффициентов Kmn. Если точки {xi, yi} выбраны правильно, то детерминант системы (3) отличен от 0, т.е. система невырождена и имеет единственное решение a11, a21, a22, a13, a23.

2.2. Полярные параметры для конических кривых. Получение, анализ, преобразования, хранение, взаимосвязи 1.Некоторые вопросы при получении полярного уравнения После нахождения корней a11, a21, a22, a13, a23, мы можем известными методами [18], [16] найти 5 основных параметров кривой второго порядка координаты фокуса (фокусов для эллипса и гиперболы), p - параметр, e - эксцентриситет, - угол между фокальной осью кривой 2-го порядка и осью абсцисс (или между фокальной и полярной осями). Заметим, что из перечисленных 5 параметров только параметры p и e инвариантны, т.е. для данной кривой не зависят от выбора начала координат и ориентации осей координат. Для построения рисунков к задачам достаточно варьировать параметры полярного уравнения. (Таким образом, нами построены все рисунки данной работы.) Преобразования квадратичной формы к параметрам полярного уравнения для коник даны в (3.8. Инварианты).

Следующий этап получения полярного уравнения – выбор локальной системы координат (ЛСК). Этот выбор определяется целью исследования. Вообще говоря, математики стараются поместить начало ЛСК в один из центров (если он не один) симметрии изучаемого объекта, чтобы изучаемые уравнения имели наиболее простой вид. В этом случае исследование проходит наиболее эффективно. Следуя этим принципам, мы будем изучать кривую в локальной системе координат, а на втором этапе, если это еще требуется, по известным Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства правилам преобразования переводить полученные результаты в исходную систему координат.

На настоящий момент, в силу сложившейся традиции, ЛСК выбирают:

1) в левом фокусе эллипса, правом фокусе гиперболы, фокусе параболы (наиболее используемый вариант);

2) в правом фокусе эллипса, фокусе параболы, левом фокусе гиперболы;

3) в центре симметрии - между фокусами эллипса или гиперболы. (В этом случае полярное уравнение имеет принципиально другой вид [18,стр. 391], 4) в левой вершине коники, которую разворачивают таким образом, что фокальная ось совпадает с осью абсцисс К.Ф.Гаусс [8].

Следуя [18, стр.390], мы будем использовать вариант 2. Ниже покажем, что варианты 1) и 2) эквивалентны. Выбор на вариант 2) пал как на менее изученный.

Поскольку в целом ряде задач, рассмотренных ниже, мы будем иметь дело не со всей кривой, а только с некоторой ее частью, то добавим к вышеуказанным 5-ти параметрам еще 2, идентифицирующими концы дуги. (Заметим, что полностью всю кривую мы можем увидеть только у эллипса и его разновидности – окружности. Размеры параболы и гиперболы – бесконечны. Ниже этот факт мы докажем.) Обозначим точку начала обхода дуги P1, а вторую граничную точку - P2.

Теперь можем ввести:

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.