WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 42 |

Свойство 3. При замене внешней точки на зеркальную точку относительно исследуемой прямой, знак отклонения меняется на противоположный (см.рис.3) Перед доказательством свойства 3 предлагаем читателю доказать следующее утверждение: в том случае, если зеркальная ось является активно Глава 1. Общие вопросы, функции и методы ориентированной (векторной) прямой, то для применения формул (1.6.1.-5) – (1.6.1.-6) необходимо сделать в них следующую замену pL pVL.

Докажем теперь свойство 3.

xVz = 2 pVL cos - x cos 2 - y sin Из (1.6.1.-6). (7) = 2 pVL sin - xsin 2 - y cos yVz Подставим (7) в формулу отклонения от ориентированной прямой qVz = xz cos + yz sin - pVL = 2 pVL cos2 - x cos cos 2 - y cos sin 2 + 2 pL sin2 - - x sin sin 2 + y sin cos 2 - pVL = 2 pVL - pVL - x cos(2 - ) + y sin( - 2 ) = = -x cos - y sin + pVL = - qV.

1.7. Прямые в новой системе координат. Вращение прямых Получим уравнение прямой в общем виде в новой системе координат. Для этого запишем координаты 2-х точек в новой системе координат (1.5.1.-9) x = (x1 - x0)cos + ( y1 - y0)sin y1 = -(x1 - x0)sin + (y1 - y0)cos,. (*) = -(x2 - x0)sin + (y2 - y0)cos x2 = (x2 - x0)cos + (y2 - y0)sin yДалее напомним формулы коэффициентов прямой в общем виде, проходящей через две точки (1.4.5.-8) A = y2 - y1, B = x1 - x2, C = -x1y2 + x2 y1. (**) Подставляя в (**) (*), получим формулы преобразования прямой в общем виде в новой системе координат A = Acos + B sin, B = -Asin + B cos, C = x0 A + y0B + C. (1) При || перемещении прямой (2) = 0, sin = 0, A = A, B = B, C = x0 A + y0B + C.

Докажем, что уравнение прямой в нормальной форме ( A2 + B2 =1) (1) переходит в уравнение прямой в нормальной форме 2 A + B = (Acos + Bsin )2 + (-Asin + B cos )2 = A2 cos2 + 2AB cos sin + B2 sin2 + + A2 sin2 - 2AB cos sin + B2 cos2 = A2 + B2 = 1.

Рассмотрим задачу вращения прямой относительно центра координатной системы O. Очевидно, что при этом радиус круга вращения будет равен Глава 1. Общие вопросы, функции и методы длине нормального вектора pL, а нормальное уравнение этой прямой будет иметь следующую зависимость от времени x cos( t +0) + y sin( t +0) - pL = 0, (3) где - угловая скорость, t - время, 0 - угол наклона нормального вектора к оси абсцисс в начальный момент времени.

Если же мы вращаем прямую относительно произвольно выбранной точки C, не совпадающей с центром координат, то сведем задачу к предыдущей.

Во-первых, радиус окружности R = CD (см.рис.1) в данном случае будет равен отклонению (расстоянию) от данной точки C до прямой P1P2 (1.5.2.-15) R = Cx cos0 + Cy sin0 - pL. (4) Во-вторых, положение нормального вектора в новой системе координат будет в любой момент времени || положению нормального вектора в старой системе координат, как у двух к одной и той же прямой. Таким образом, все семейство уравнений прямых, вращающихся около центра C, будет в новой системе координат || сдвинуто относительно старой системы на вектор {Cx,Cy} и будет иметь следующее уравнение, как функцию от времени x cos( t +0) + y sin( t +0) + Cx cos0 + Cy sin0 - pL = 0. (3) (Проверим знаки в (3). Допустим, что в начальный (или в некоторый t ) момент в новой системе координат прямая P1P2 проходит через ее центр C. Тогда в этот момент времени свободный член равен 0 и мы имеем векторное равенство Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Cy Cx 2 Cx + Cy {, }- pL{cos, sint} = 0.) Следовательно, знаки t 2 2 2 Cx + Cy Cx + Cy в свободном члене (3) верны).

В старой системе координат (см. 1.5.1.-3), очевидно, следующее уравнение искомой прямой (x + Cx ) cos( t +0) + ( y + Cy )sin( t +0) - pL = 0. (5) Учитывая, что в обеих системах (старой и новой) направления нормальных векторов совпадают, то можно уравнение (3) свести к периодическому изменению величины нормального вектора x cos( t +0) + y sin( t +0) - (- Cx cos( t +0) - Cy cos( t +0) + pL) = 0. (6) Мы видим, что (6) следует из (2).

Опустим из центра старой системы координат O на данную вращающуюся прямую. Найдем геометрическое место точек основания D2 этого (см.рис.2,3).

(Предлагаем читателю получить соответствующие уравнения. Более подробное исследование получающихся кривых см. в [24, стр.528-530].) 1.8. Идентификация областей на плоскости 1. Определение задачи центральной идентификации Возьмем на плоскости некоторую точку O1, из которой выходят под разными углами конечное число лучей (больше одного). Тем самым плоскость разбивается на множество секторов. Читатель может убедиться, что количество секторов, на которое разбивается плоскость, всегда равно количеству лучей, выходящих из O1 (элементарное доказательство данного утверждения может быть проведено методом математической индукции). Возьмем далее вторую точку на этой плоскости - R, которая либо будет совпадать с O1, либо лежать на одном из лучей, либо будет находиться внутри одного из секторов,.

Нашей целью является построение эффективного алгоритма, позволяющего найти, какому из этих 3-х взаимоисключающих вариантов удовлетворяет местоположение R.

2. Алгоритм центральной идентификации Начало алгоритма Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Шаг 1. Если dist(O,R), // O и R совпадают.

то Выход, код_возврата( 0 ).

Шаг 2. Если лучи определяются декартовыми координатами точек Pi, то найти i = ang(O,Pi ). Если углы задаются из внешних условий задачи, то нормализовать их.

Упорядочить углы по возрастанию, убрать совпадающие.

Шаг 3. Найти R = ang(O,R).

Шаг 4. Добавить к множеству углов последним угол 1 + 2.

Шаг 5. Найти количество углов i и поместить в количество_углов.

Шаг 6. // Найти в цикле искомый луч или номер области Цикл от i = 1 до количество_углов Шаг 7. Если ABS(R -i ) // угол R и луч i совпали Шаг 8. Выход, код_возврата(i ) Шаг 9. ИначеЕсли R < i //предварительно найдена область, в которой //находится R, уточнение номера области Шаг 10. z: = i -1 // номер определяемой области Шаг 11. Если z = Шаг 12. z := количество_углов -1.

Конец_Если.

Выход, код_возврата( z ).

Конец_Если Конец_Цикла Конец_Алгоритма 1.9. Пучки прямых (продолжение). Биссектриса угла между пересекающимися прямыми Дадим другое определение пучка прямых и докажем, что новое определение эквивалентно соответствующему определению в (1.4.5.).

Рассмотрим систему двух линейных уравнений в общем виде, A1x + B1y + C1 = (*) x + B2 y + C2 = Aинтерпретируемых (1.4.5.) как уравнения двух плоских прямых.

Как мы знаем, у этих прямых есть точка пересечения (1.4.8.-2) B1C2 - B2C1 C1A2 - C2AP :{, }, находящаяся на конечном или бесконечном A1B2 - A2B1 A1B2 - A2Bрасстоянии от начала координат.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Умножим каждое уравнение (*) соответственно на действительные коэффициенты,µ, где -,µ (т.е. принадлежащие области действительных чисел,µ R ). Сложим эти уравнения (A1 + µA2)x + (B1 + µB2)y + (C1 + µC2) = 0. (**) Задание множества прямых при помощи вариации параметров, µ и есть другое определение пучка. Заметим, что важным является соотношение между, µ : если 0, то, разделив все коэффициенты на, имеем коэффициенты µ µ µ прямой пучка A'= A1 + A2, B'= B1 + B2, C'= C1 + C2.

Иначе A'= A2, B'= B2,C'= C2.

На (рис.1) показаны прямые пучка при различных,µ.

Теорема 1. Точка пересечения двух прямых принадлежит пучку, образованному эти прямыми.

Доказательство. Докажем, что отклонение точки пересечения P от прямой (**) равно 0. В самом деле (A1 + µA2) (B1C2 - B2C1) + (B1 + µB2) (A2C1 - A1C2) + (C1 + µC2)(A1B2 - A2B) = = A1B1C2 - A1B2C1 + µA2B1C2 - µA2B2C1 + A2B1C1 - A1B2C2 + µA2B2C1 - µA1B2C2 + + A1B2C1 - A2B1C1 + µA1B2C2 - µA2B1C2 = 0.

Докажем известные простые теоремы Теорема 2. Уравнение биссектрисы угла, образованного пересекающимися прямыми, можно получить, например, попарно складывая компоненты нормальных уравнений пересекающихся прямых xcos1 + ysin1 - pL1 =, т.е.

+ ysin2 - pL2 = xcosx(cos1 + cos2) + y(sin1 + sin2) - ( pL1 + pL2) = 0. (1) (В данном случае параметры пучка = µ = 1).

1 + 2 1 -Доказательство. Т.к. cos1 + cos2 = 2cos cos, 2 Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1 +2 1 - sin1 + sin2 = 2sin cos, то уравнение прямой (1) имеет тангенс 2 1 + cos1 + cos2 cos угла наклона (1.4.6.-2) k = =, совпадающий с тангенсом угла sin1 + sin2 sin 1 + наклона биссектрисы угла между пересекающимися прямыми. (Напомним, что нормальный вектор прямой, а тангенсу угла наклона прямой соответствует котангенс нормального вектора.) Т.к. совпадение тангенсов углов наклона прямых эквивалентно || этих прямых, то прямая (1) || биссектрисе угла между пересекающимися прямыми.

В связи с тем, что прямая (1) построена по правилам пучка, следовательно, она проходит через точку пересечения, определяющую пучок. Таким образом, прямая (1) имеет с биссектрисой одинаковый тангенс угла наклона и общую точку пересечения. Этого достаточно, чтобы сделать вывод: прямая (1) и биссектриса совпадают.

Теорема 3. Биссектрисы смежных углов взаимно.

Доказательство. Т.к. смежные углы дополнительны до, то (см. рис.1) + + + = и + =.

1.10. Разные задачи Упражнение 1. (Задача Герона Александрийского) Даны прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее1, [27, стр.44,24.]. Найдите на прямой MN точку C такую, чтобы отрезки AC и BC составляли с этой прямой равные углы (рис.1).

В.М.Тихомиров. Рассказы о максимумах и минимумах. Библиотечка «КВАНТ» выпуск 56, М., «НАУКА», 1986г.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Решение. (На (рис.2) приведено 3 классических решения точка пересечения C прямых ABZ, MN, AZ B (можно взять любую пару прямых). Мы приведем аналитическое решение на основе ang().

1. Предположим сначала, что прямая MN расположена вдоль оси абсцисс и Ax = 0. Пусть координаты у точек будут следующие A :{0, Ay}, B :{Bx, By},C :{Cx,0}. Cy = 0, т.к. прямая MN расположена вдоль оси абсцисс (рис.3).

Запишем условие равенства углов ang(C, B) = - ang(C, A). (3) Используя (1.2.1.-3), (1.2.1.-6), мы приходим к следующему равенству ang({Cx,Cy},{Bx, By}) = ang({-Cx,-Cy},{-Ax, Ay}), (4) By Ay AyBx =, CxBy = AyBx - AyCx, Cx (Ay + By ) = AyBx, Cx =. (5) Bx - Cx Cx Ay + By Заметим, что у данной задачи есть физическая интерпретация. Если рассматривать MN как зеркальную прямую (см.рис.3), то в данной задаче мы находим углы падения и отражения (например, звука, света, радиоволн, биллиардных шаров от борта стола и т.д.) от точечного источника A, а вместе с этими углами и точку на прямой C, где выполняется равенство этих углов.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 2. Теперь рассмотрим случай, когда прямая MN расположена произвольно относительно оси абсцисс (см.рис.4). Тогда начало отрезка (пусть это будет M ) расположено в точке проекции A на MN, а конец отрезка – в точке проекции B на MN - в N. Тогда (5) можно интерпретировать следующим образом:

Bx - длина отрезка MN (расстояние между проекциями точек), Ay, By - отклонения точек A, B от прямой MN.

3. Найдите ортогональное преобразование, которое бы сводило произвольно расположенную прямую и две точки вне ее к 1-му варианту решения.

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства Выберем на плоскости некоторую точку F, которую будем называть фокусом (термин И.Кеплера, что в переводе с латинского означает очаг).

Запишем формулу радиус-вектора, проведенного из фокуса F p r =, (1) 1+ ecos( -) Это и есть полярное уравнение1, которое мы в честь его первооткрывателей, великих французских астрономов и математиков, будем называть уравнением Лаланда-Лапласа.

Рассмотрим параметры этого уравнения (см.рис.1 ):

r - радиус-вектор, p - фокальный параметр, e - эксцентриситет, - угол между радиусом вектором и осью абсцисс, - угол между главной осью кривой и осью абсцисс.

В иностранной литературе часто используется латинское название удвоенной величины фокального параметра – latus rectum.

Таким образом, в данной работе исследуется уравнение (1) и его модификации. Как мы увидим ниже, это уравнение описывает эллипсы, гиперболы 1. Astronomie, Par Jerome LeFrancais de Lalande.-Troisieme Edition, Revue Et Augmentee.-A Paris, Chez la Veuve Desaint... De L’imprimerie De P.Didot L’Aine, 1792, S. 2. Traite de Mecanique Celeste, par P.S.Laplace,Tome Preemier. De L’imprimerie De Crapelet. A Paris, Chez J.B.M. Duprat, Libraire pour les Mathematiques,quai des Augustins, AN VII (1800), S. 2a. Mechanik des Himmels von P.S.Laplace, aus dem Franzsischen bersetzt und mit erluternden Anmerkungen versehen von J.C.Burckhardt. Erster Theil. Berlin bey F.T. LaGarde,1800, S.Данное уравнение выводит и исследует К.Ф.Гаусс [8, стр.4]. Исследование свое он, вообще говоря, делает иначе, чем делаем мы, а ссылку приводит только на французский вариант работы P.S.Laplace “Traite de Mecanique Celeste” [8, стр.3].

Работа С.Лакруа “Элементарный курс прямолинейной и сферической тригонометрии и приложений алгебры к геометрии”, имеющей также вывод полярного уравнения, вышла в Париже в 1798/99, т.е. более чем на лет позже, чем “Астрономия” Лаланда [26, стр.245-246].

Глава 2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства и параболы – т.е. кривые, известные под названием “кривые 2-го порядка” или “конические сечения”.

Вернемся к (1). Сравнивая (1) с подобной формулой [16 стр. 268] варианта 1), заметим, что впереди e стоит знак “-“. Это вариант (1), впервые предложенный Лаландом. В данной работе несколько слов мы уделим и данному варианту. Предварительно заметим, что у кривых, имеющих 2 фокуса, есть возможность делать расчет полярного радиуса из 2-го фокуса p r =. (2) 1- ecos( -) Что касается параболы, имеющую 1 фокус, то и ее свойства можно исследовать, как и двухфокусных кривых, как на основе (1), так и на основе (2).

Выбор нами варианта (1), как основного, обусловлен тем, что он реже, чем вариант (2), встречается в математической литературе. В этом смысле у нас была цель стереть это “белое пятно”.

Несколько слов о терминах. Как мы уже говорили, мы не используем в настоящей работе прекрасный термин конические сечения, т.к. не имеем на это права. Действительно, для этого мы должны бы были хотя бы часть наших исследований проводить в трехмерном пространстве. И доказать основную теорему – теорему Данделена (1822) о сечении конуса плоскостями1.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.