WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 42 |

При этом нам известно ang(P1, P2 ) = ang(0,{x2 - x1, y2 - y1}) = ang(0,{r cos, r sin}) =. Построим ~ ~ ~ ~ нормальный вектор pL{cos,sin } к зеркальной оси Z1Z2. Тогда = +, где - угол направления зеркальной оси. Из (1.5.1.1.-4) следует ~ ~ xz x0 - cos 2 - sin 2 x ~ ~ {M0x, M0 y}+ {-cos2 x - sin 2 y, = M0 + ~ ~ y = yz y0 - sin 2 cos ~ ~ - sin 2 x + cos 2 y}. (1) Найдем искомый угол направления зеркального луча ~ ~ z = ang(P1z, P2z ) = ang(0,{- cos 2 (x2 - x1) - sin 2 (y2 - y1), ~ ~ ~ ~ - sin 2 (x2 - x1) + cos 2 ( y2 - y1)}) = ang(0,{- cos 2 r cos - sin 2 r sin, ~ ~ ~ ~ - sin 2 r cos + cos 2 r sin}) = ang(0,- cos(2 -),-sin(2 -)}) = ~ ~ ~ = + ang(0,cos(2 -),sin(2 -)}) = + (2 -) = + (2 + -) = 2 -. (2) Т.к. повороты на 2 не меняют значения тригонометрических формул, то мы отбросили это слагаемое.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Следствие из (2). Как и в случае образов зеркальных точек, чем больше от зеркальной оси отклоняется исходный луч, тем дальше по другую сторону от этой оси отклоняется зеркальный луч.

1.5.5. Преобразование гомотетии( y' ky, x' kx ) У данного преобразования есть целый ряд замечательных свойств (см.

[16,§179, пример 4]).

x'= kx + 0 y x' k 0 x Запишем преобразование гомотетии y'= 0x + ky или y' = k y, x' x = A. Детерминант этого преобразования выражается формулой y' y k Det A = = k > 0. Гомотетия оставляет точку центра координат на месте 0 k (поэтому такое преобразование называется центроафинным), изменяет длину исходного отрезка в k 2 раз (докажите!), а также переводит прямую в || прямую и сохраняет ориентацию.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Докажем гомотетичный перевод прямой в || прямую. Действительно, пусть некоторая прямая задана уравнением y = lx + b. Применим преобразование b гомотетии ky = lkx + b, откуда y = lx +. (1) k Таким образом, мы получили прямую с тем же тангенсом угла наклона l, но с другим свободным членом, т.е. || прямую.

Упражнение 1. Докажите, что между гомотетичным образом некоторой точки{x', y'} и ее прообразом {x, y} расстояние равно k -1 x2 + y2. (2) Упражнение 2. Докажите, что между гомотетичным образом прямой и b(k -1) исходной прямой расстояние равно. (3) k 1+ lРешение. Расстояние между || прямыми равно абсолютной величине разности между ее нормальными векторами. Исходное уравнение нормализуется y - lx - b следующим образом y = lx + b, y - lx - b = 0, = 0. Аналогично 1+ lky - klx - b преобразуется гомотетичное уравнение ky = klx + b, = 0. Отсюда k 1+ lГлава 1. Общие вопросы, функции и методы b b b(k -1) d = - =. Если же уравнение прямой задано в 1+ l2 k 1+ l2 k 1+ lнормальной форме Гессе x cos + y sin - pL = 0, то искомое расстояние равно pL k 2 -d =. (4) k Упражнение 3. Найти площадь трапеции, образованной единичным отрезком и соответствующим ему отрезком гомотетичной прямой.

b Ответ. k -1 (5) 2 1+ lУпражнение 4. Доказать, что преобразование гомотетии, либо сохраняет углы, либо изменяет их при k < 0 на слагаемое (1800).

Доказательство. Для сохранения угла необходимо и достаточно выполнения условий (1.2.1.6): сохранение знаков компонентов вектора {X,Y} и значения Y отношения. Пусть x'1 = kx1, y'1 = ky1, x'2 = x'2, y'2 = ky2. Тогда X ' Y Y {X,Y}'= k{x2 - x1, y2 - y1} и =. Следовательно, при k > 0 угол X X сохраняется, а при k < 0 преобразование гомотетии изменяет его на слагаемое (1800). Если же это углы треугольника, то меняется их порядок.

Случай X = 0 предлагаем рассмотреть читателю.

1.5.6. Преобразования симметрии Определение. Для каждой исходной точки из некоторого множества точек проводим прямую, соединяющую эту точку с точкой центра симметрии, и продолжаем эту прямую на расстояние, равное расстоянию от исходной точки до точки симметрии. Полученная на конце данной прямой точка, называется симметричным образом, а данное преобразование - симметричным или центральносимметричным (см. рис.1).

Докажем, что преобразование симметрии сводится к суперпозиции 2-х зеркальных преобразований (некоторые авторы предпочитают в этом месте использовать термин произведение или сумма преобразований), причем Глава 1. Общие вопросы, функции и методы точка центра симметрии является точкой пересечения 2-х взаимно перпендикулярных зеркальных осей.

Для этого возьмем произвольно выбранную точку P :{x,y} в исходной системе координат и отобразим ее через центр симметрии S :{x1, y1} получая симметричный образ PS :{xS,yS}(см.рис.2). С другой стороны, сделаем два взаимно перпендикулярных зеркальных отображения P PZ PS.

Напомним, что расчеты зеркальных отображений удобно делать в специальной новой системе координат, в которой оси координат расположены вдоль зеркальных осей (см.1.5.4.1.). Расположим начало новой системы в центре симметрии S :{x1, y1}, а взаимно перпендикулярные зеркальные оси XY ориентируем произвольно (мы потом убедимся, что их ориентация не имеет значения, т.е. эту пару осей можно вращать на произвольный угол с осью в центре симметрии). В новой системе координат мы сделаем зеркальные отображения (неважно в каком порядке) и от оси X, и от оси Y, получая x = -x, y = - y. Как и в разделе (1.5.4.1.), мы измеряем угол между нормалью к зеркальной оси абсцисс оси X и осью абсцисс исходной системы координат.

Выполним все подстановки, и найдем симметричные координаты (см.1.5.4.10) xS = x1 + x cos - y sin = x1 - ((x - x1)cos + ( y - y1)sin ) cos + (-(x - x1)sin + + (y - y1) cos )sin = x1 - x cos2 + x1 cos2 - y cos sin + y1 cos sin - xsin2 + x1 sin2 + + y cos sin - y1 cos sin = 2x1 - x, (1а) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы yS = y1 + xsin + y cos = y1 - ((x - x1)cos + ( y - y1)sin )sin - (-(x - x1)sin + + (y - y1)cos )cos = y1 - x cos sin + x1 cos sin - y sin2 + y1 sin2 + x cos sin + - x1 cos sin - y cos2 + y1 cos2 = 2y1 + y. (1б) Докажем теперь, что расстояние от исходной точки до центра симметрии равно расстоянию от центра симметрии до симметричной точки. Действительно (2x1 - x - x1)2 + (2y1 - y - y1)2 = (x - x1)2 + ( y - y1)2.

Нам осталось проверить, что все 3 точки лежат на одной прямой x y x1 y1 1 = 0. (2) 2x1 - x 2y1 - y В самом деле, если умножить 2-ю строку определителя на 2 и из результата вычесть 1-ю строку, то получится 3-я строка. Таким образом, строки определителя линейно зависимы.

Поскольку мы выбрали исходную точку произвольно, то мы доказали, что для всех исходных точек произведение двух, взаимно перпендикулярных зеркальных преобразований (отражений) с центром в центре симметрии, есть преобразование симметрии.

На основании (1а), (1б), запишем преобразование симметрии в матричной форме xS x1 x -. (3) = yS y1 y Обратим внимание, что (3) имеет аддитивный характер. В силу этого, легко построить n симметричных отображений от n S :{xi, yi} центров симметрии.

Так, при двух последовательных отображениях Глава 1. Общие вопросы, функции и методы xS 2 x2 x1 x - 2 + (4) = 2 yS y2 y1 y 2 мы получим || перенос (см.рис.4), в силу того, что знаки у xS, x и yS, y совпадают.

xSn n i+1 xi x При n отображениях получаем = (5) (-1) 2 yi + (-1)n y, ySn i= причем при четных n мы имеем || перенос, при нечетных – результирующее симметрическое отображение [27,§2].

Упражнение 1. Доказать, что 4 точки (исходная, две зеркальных, последовательно отраженных относительно 2-х взаимно перпендикулярных осей, и одна симметричная) лежат на одной окружности. (В случае, если одна из зеркальных осей совпадает с исходной точкой, то в этом случае только 2 точки лежат на окружности – исходная и симметричная). Центр окружности совпадает с центром симметрии (см. рис.3).

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Упражнение 2. На плоскости даны n точек ( n нечетно и n 3 ) – середины сторон n - угольника. Постройте его вершины [27, §2,N13].

Решение. Предположим, что мы нашли 1-ю вершину. Начинаем симметричные отображения от нее, используя середины сторон. После первого отображения, используя (3), мы получим 2-ю вершину, потом 3-ю и т.д. На последнем шаге отображений мы опять вернемся к 1-й вершине. Таким образом, эта вершина для произведения всех промежуточных отображений (5) – неподвижна. Перепишем (5) для этого случая xV1 n i+1 xi xV = (6) (-1) 2 yi - yV.

yV1 i= xV1 n i+1 xi Отсюда координаты 1-й вершины = (7) (-1).

yV1 i=1 yi Далее очевидно.

Упражнение 3. Найти вершины треугольника, если известны координаты основания его медиан.

Решение. В соответствии с (7), если даны точки основания медиан произвольного треугольника (см.рис.5), то вершины треугольника определяются так P1 :{M12x - M23x + M13x, M12 y - M23 y + M13 y}, P2 :{M12x + M23x - M13x, M12 y + M23 y - M13 y}, P3 :{-M12x + M23x + M13x, - M12 y + M23 y + M13 y}. (8) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 2) Заметим, что если мы вычисляем координаты какой-нибудь из 3-х вершин, то координаты основания медианы напротив этой вершины берутся с отрицательным знаком, Упражнение 4. Построить чертеж с собственными данными наподобие (рис.6) и найти вершины n - угольника, если известны середины его сторон.

Упражнение 5. Доказать, что преобразование симметрии ортогонально.

1.5.7. Сохранение углов при движениях В данном разделе речь пойдет о сохранении углов некоторого треугольника (более корректно говорить о сохранении интервалов углов) и о линейных преобразованиях.

Очевидно, что || перенос, вращения сохраняют треугольник, как “жесткую” фигуру. Более того: любые ортогональные преобразования (или движения) (напомним - сохраняющие длину) с определителем, равным 1 оставляют преобразованный треугольник равный данному. Это доказывается по 3-му признаку равенства треугольников. А напротив равных сторон, как мы знаем, в равных треугольниках лежат равные углы.

Если же определитель ортогонального преобразования равен -1 (это происходит при зеркальных отображениях), то равенство углов сохраняется, однако меняется порядок этих углов. (Сделайте чертеж!) Кроме того, соответствующие углы равны и у подобных треугольников. Если коэффициент подобия больше нуля, но меньше единицы, то мы получаем Глава 1. Общие вопросы, функции и методы подобный треугольник меньший по размеру, чем исходный. Однако соответствующие углы у них фигур будут равны. Аналогичная картина получается при k > 1 (рассмотрите ее сами).

Мы, также, предлагаем читателю самостоятельно исследовать варианты, когда k < 0.

Выскажем итоговое высказывание: суперпозиция преобразований, каждое из которых сохраняет углы, сохраняет углы последнего треугольника по отношению к первому.

(Известно, что суперпозиция линейных преобразований, есть линейное преобразование.) Т.к. мы рассматриваем углы треугольника как разность между лучами, т.е.

корректнее в данном месте говорить о том, что суперпозиция линейных преобразований, каждое из которых сохраняет интервал углов, оставляет после последнего преобразования интервал углов равный интервалу углов до преобразования.

1.5.8. Преобразование инверсии См.[4], [13, стр.167], [2, стр.34].

Возьмем некоторую окружность радиуса r, называемую окружностью инверсии или основной окружностью, и из ее центра инверсии O под некоторым углом к полярной оси проведем луч OL. Возьмем на этом луче две точки (см. рис.1): A1 внутри окружности и B1 вне окружности так, что OP1 OP2 = r2 или r1r2 = r2. (1) Очевидно, что положение на луче OL точки A1 однозначно определяет rположение B1 OA1 = и обратно, положение на луче B1 однозначно OBrопределяет A1 OB1 =. Такое взаимно однозначное соответствие между OAточками внутри окружности и точками вне ее называется инволюционной зависимостью. Исключением является точка центра инверсии – ей соответствуют все бесконечно удаленные точки по любому направлению.

Еще раз рассмотрим принцип инверсии в полярных координатах: мы выбираем полярный угол (направление луча OL ), а затем откладываем на луче Глава 1. Общие вопросы, функции и методы полярный радиус -OA1 или OB1. (Собственно говоря, мы могли сначала выбирать значение радиуса, а затем угол.) Величину r2 называют степенью инверсии. Если взять r =1, то r1 =.

rПоэтому принцип отображения инверсии называют еще принципом обратных радиусов.

Очевидно, также следующее:

1) если A1 изнутри стремится к окружности инверсии (OA1 r ), то B1 стремится к той же окружности с внешней стороны (OP2 r );

2) если A1 стремится к центру окружности инверсии (OA1 0 ), то B1 стремится к бесконечно удаленной точке по направлению луча (OB1 );

3) дважды выполненное преобразование инверсии равно тождественному преобразованию. В самом деле: после первого преобразования A1 переходит в B1, а после второго Bпереходит в A1. Формально эти операции записываются так:

In( A1) = B1 ; In(B1) = A1, а двойное применение инверсии In(In(A1)) = A1.

Заметим, что каждая точка на окружности при инверсии преобразуется сама в себя. Точки, соответствующие самим себе, называются двойные.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Рассмотрим преобразование прямых и окружностей с помощью преобразования инверсии.

Прямые 1) Прямые, проходящие через центр инверсии O (в дальнейшем центр), преобразуются в прямые, проходящие через центр O (см.рис.1).

2) Прямые, не проходящие через центр O, преобразуются в окружности, проходящие через центр O (см.рис.2).

Окружности 3) Окружности, проходящие через центр O, преобразуются в прямые, не проходящие через центр O (см.рис. 2).

4) Окружности, не проходящие через центр O, преобразуются в окружности, не проходящие через центр O (см.рис.3)..

Углы При инверсии происходит сохранение углов (конформность) (см.рис. 4а, 4б).

Доказательство 1) очевидно. Докажем 2) - 4). Мы выбрали метод подобный [23,стр.163].

Рассмотрим уравнение A(x2 + y2 ) + Bx + Cy + D = 0 (2) и докажем, что (при незначительных ограничениях) это уравнение является уравнением окружности, т.е. сведем (2) к виду u2 + v2 = r2. Сразу заметим, что при A = 0 данное уравнение описывает прямую (говорят, что данная окружность имеет бесконечный радиус). При D = 0 окружность (или прямая) проходят через центр системы координат -{0,0}.

Пусть вначале A 0. Тогда мы имеем возможность разделить все члены (2) B C D на A x2 + y2 + x + y + = 0. Выделим полные квадраты:

A A A B C D B B2 B2 C C2 D x2 + y2 + 2 x + 2 y + = x2 + 2 x + - + y2 + 2 y + + = 2A 2A A 2A 4A2 4A2 2A 4A2 A 2 B C B2 + C2 - 4AD = x + + y + - = 0. Таким образом, получено уравнение 2A 2A 4A B C и радиусом R = B2 + C2 - 4AD.

окружности с центром,- (3) - 2A 2A 2A Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Кстати, из (3) видно, что при A 0 радиус окружности R.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.