WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 42 |
M. Шпигельман Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещенных полярно-декартовых координатах Многослойные системы Компьютерные технологии 2006

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschftigt sich mit den Kegelschnitten. Sie ist fr einen breiten Leserkreis bestimmt fr Schler der hheren Klassen, Studenten, Lehrer, Mathematiker und Ingenieure. Die Darstellung ist einfach, aber dennoch streng. Mit Hilfe einer neuen Methode werden alte und neue Stze ber Kegelschnitte bewiesen.

Die grundlegenden Besonderheiten dieser Darstellungsmethode liegen in der durchgehenden Verwendung von Polarkoordinaten und winkelerhaltenden Transformationen, womit sich anschauliche Zeihungen herstellen lassen.

В предлагаемой работе исследуются эллипсы, параболы и гиперболы в многослойной системе - совмещенных полярно-декартовых координатах. Этот эффективный метод придуман в древней Греции, однако сейчас в математике используется редко. С новых позиций доказаны многочисленные классические результаты, а также совершенно новые. В последних главах приведены несколько коротких биографий. Изложение ведется доступно, но строго. Работа предназначена широкому кругу читателей: школьникам старших классов, студентам, преподавателям, инженерам, математикам.

Mихаил Шпигельман Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещенных полярно-декартовых координатах, М., 2006.- 460 с., ил.

© М. Шпигельман, 2006 Содержание 1 Содержание………………………………………………………............………………….…1 Предисловие ………........................................................................................................8 Термины, соглашения, сокращения, структура работы.............................................17 1. Общие вопросы, функции и методы........................................................................21 1.1. Функция длины.....................................................................................................21 1.2. Функция направления ang()...............................................................................1.2.1. Определение и свойства функции направления.........................................1.2.2. Обратные тригонометрические функции, выраженные через функцию ang()...................................................................................1.2.3. Прямые тригонометрические функции от функции ang()...........................1.2.4. Геометрическая интерпретация функции ang().........................................1.2.5. Решение тригонометрических уравнений при помощи функции ang().....1.2.5.1. Простейшие уравнения..........................................................................b 1.2.5.2. Уравнение tg() =.............................................................................a 1.2.5.3. Система уравнений cos = a, sin = b; a, b 1, a2 + b2 = 1……..1.2.5.4. Уравнение cos + sin = 1. Смежные преобразования................1.2.6. Некоторые вопросы нахождения углов........................................................ 1.2.7. Измерение углов с помощью ang() после операций копирования и перемещения..................................................................................................1.2.8. Особенности измерения углов внутри окружности бесконечного радиуса...........................................................................................................1.3. Функция перемещения точки.............................................................................1.4. Уравнение прямой..............................................................................................1.4.1. Общие положения........................................................................................1.4.2. Приведенное уравнение прямой y = kx + b.........................................1.4.3. Уравнение прямой, проходящей через центр координат.........................1.4.4. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.........................................1.4.5. Уравнение прямой в общем виде Ax + By + C = 0. Пучки прямых..........1.4.6. Нормальное уравнение прямой x cos + y sin - pL = 0.........................1.4.7. Уравнение прямой в отрезках на осях.......................................................1.4.8. Пересечение прямых..................................................................................1.5. Преобразования……..………………………………………………………………..1.5.1. Преобразования декартовых координат.....................................................1.5.2. Координаты проекции точки на прямую.....................................................Содержание 1.5.3. Вращение точек...........................................................................................1.5.4. Зеркальные отображения точек и углов....................................................1.5.4.1. Зеркальные отображения точек..........................................................1.5.4.2. Зеркальные отображения лучей.........................................................1.5.5. Преобразование гомотетии ( y' ky, x' kx )...........................................1.5.6. Преобразования симметрии.......................................................................1.5.7. Сохранение углов при движениях…………………….................................1.5.8. Преобразование инверсии ………………………………..............................1.6. Отклонения точек от прямой..........................................................................1.6.1. Отклонение точки от пассивно ориентированной прямой...................1.6.2. Отклонение точки от активно ориентированной (векторной прямой).

Площадь ориентированного параллелограмма, построенного на 3-х точках…........................................................................................1.7. Прямые в новой системе координат. Вращение прямых..............................1.8. Идентификация областей на плоскости..........................................................1.9. Пучки прямых (продолжение). Биссектриса угла между пересекающимися прямыми……………………………………………………1.10. Разные задачи..................................................................................................2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства…………………………2.1. Полярное уравнение…………………………………………………………………2.1.1. Графический метод……………………………………………………………..2.1.2. Использование метода наименьших квадратов……………………………2.2. Полярные параметры для конических кривых. Получение, анализ, преобразования, хранение, взаимосвязи……………………………..2.3. Перемещение дуги на вектор {x,y} ……….…………………………………2.4. Поворот дуги………………………………………………………………………….2.5. Зеркальное отображение дуги…………………………………………………….2.6. Определение расположения точки по отношению к кривой………………...2.7. Вектор направления касательной в полярных координатах…...………........3. Система координат Кеплера……………………………………………………………3.1. Общие вопросы……………………………………………………………………...3.1.1. Определение системы координат Кеплера и преобразования между этой системой и исходной системой координат………………………….3.1.2. Горизонтальная и вертикальная симметрия полярного уравнения…...3.2. Касательная………………………………………………………………………….3.2.1. Уравнение касательной.............................................................................Содержание 3.2.2. Расстояние от фокуса до касательной и координаты проекции фокуса на касательную......................................................................................3.2.3. Зеркальные координаты точки фокуса относительно касательной..3.2.4. Построение касательной при помощи циркуля и неразмеченной линейки……………………………………………………………................3.2.5. Условие, при котором касательная || оси абсцисс..............................3.2.6. Полярные координаты точек на дуге, в которой концевая касательная || заданной прямой................................................................................3.2.7. Декартовые координаты точек касания концевых касательных........3.2.8. Определение диаметра. 1-я модель построения диаметра...............3.3. Секущие.........................................................................................................3.3.1. Точки пересечения прямой линии и дуги. Фокальная хорда...............3.3.2. Проекции и длина хорды......................................................................3.3.3. Обратная задача: найти параметры секущей по полярным координатам точек пересечения.............................................................3.4. Общий подход при расчете некоторых элементов эллипса, параболы и гиперболы......................................................................................................3.4.1. Одинаково рассчитываемые точки для всех типов коник………...3.4.2. Директриса..............................................................................................3.5. Основные элементы и соотношения в эллипсе.........................................3.5.1. Основные точки и элементы эллипса...................................................3.5.2. Преобразования между правым и левым фокусом эллипса..............3.5.2.1. Радиус-вектор r2 () из левого фокуса эллипса...........................3.5.2.2. Сумма длин радиус-векторов от фокусов эллипса до некоторой точки на дуге эллипса...................................................3.5.2.3. Полярный угол 2 () и радиус r2 () из левого фокуса эллипса.3.5.2.4. Проекция левого фокуса эллипса на касательную......................3.5.2.5. Зеркальное отображение левого фокуса эллипса относительно касательной.....................................................................................3.5.3. Оптические свойства касательной эллипса.........................................3.5.4. Упражнения на свойства эллипса........................................................3.6. Основные элементы и соотношения в параболе.......................................3.6.1. Свойство касательной параболы..........................................................3.6.2. Оптические свойства касательной параболы......................................3.7. Основные элементы гиперболы...................................................................3.7.1. Особенности работы с полярным уравнением в обобщенной полярной системе координат – ОПСК..................................................Содержание 3.7.2. Интервалы монотонности гиперболы......................................................3.7.3. Основные точки и элементы гиперболы.................................................3.7.4. Асимптоты гиперболы...............................................................................3.7.5. Преобразования между левым и правым фокусом гиперболы............3.7.5.1. Расстояние d2 () из правого фокуса гиперболы до некоторой точки на ней.................................................................3.7.5.2. Разность расстояний от фокусов до некоторой точки на ветви гиперболы...........................................................................................3.7.5.3. Полярный угол 2 () и длина радиус-вектора из правого фокуса гиперболы...........................................................3.7.6. Оптические свойства касательной гиперболы........................................3.7.7. Софокусные эллипс и гипербола.............................................................3.7.8. Упражнения на свойства гиперболы........................................................3.8. Инварианты. Получение параметров полярного уравнения.....................4. Биссектриса фокального угла................................................................................4.1. Свойство биссектрисы фокального угла. Теорема Лагира (de la Hire) (обобщенный вариант)……………………………………………………………...4.2. Координаты полюса.........................................................................................4.3. Свойство прямой, соединяющей фокус с полюсом......................................4.4. Нормальное уравнение стороны фокального угла.......................................4.5. Отклонения от полюса до сторон фокального угла......................................4.6. Некоторые следствия из теоремы о биссектрисе фокального угла............5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение...............................5.1. Расстояние от фокуса до полюса...................................................................5.2. Координаты полюса. Полярное уравнение точки полюса.

Смежные и полюсные преобразования..........................................................5.3. Половина фокального угла, как функция координат полюса.

Координаты точек касания..............................................................................5.4. Отклонение от полюса до стороны фокального угла...................................5.5. Уравнение биссектрисы фокального угла.....................................................5.6. Хорда................................................................................................................5.6.1. Уравнение хорды......................................................................................5.6.2. Квадрат длины хорды...............................................................................5.6.3. Расстояния и отклонения от фокуса и от полюса до хорды..................5.6.4. Координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника фокус-полюс и расстояние от этой точки до фокуса..............................Содержание 5.6.5. Координаты основания медианы полярного треугольника....................5.7. Углы четырехугольника фокус-полюс............................................................5.7.1. Внутренние углы четырехугольника фокус-полюс................................5.7.2. Углы между радиус-векторами и хордой...............................................5.7.3. Углы между биссектрисой фокального угла и хордой..........................5.8. Длина касательной от точки касания до полюса..........................................5.9. Некоторые площади фигур, ограниченные прямыми..................................5.9.1. Площадь фокального треугольника ………………………………………5.9.2. Площадь четырехугольника фокус-полюс и расстояния от точек касания до биссектрисы фокального угла..............................................5.9.3. Площадь полярного треугольника, ограниченного касательными и хордой....................…………………………….............................................5.10. Автополярные (самосопряженные) треугольники.....................................5.11. Точка пересечения двух хорд........................................................................5.12. Точка пересечения диагоналей вписанного четырехугольника..................5.13. Теорема Паскаля............................................................................................5.14. Теорема Брианшона.......................................................................................5.15. Принцип двойственности (взаимности, корреляции)...................................5.16.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.