WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 49 |

2.2. Накрытия 1-мерных комплексов Пусть X и X – линейно связные топологические пространства (напри– мер, связные 1-мерные комплексы). Отображение p : X X называют накрытием, если p(X) = X и у каждой точки x X есть такая окрестность U, что прообраз p-1 (U) этой окрестности гомеоморфен U D, где D – дискретное множество, причём ограничение отображения p – на p-1 (U) устроено как естественная проекция U D U (рис. 26).

При этом X называют накрывающим пространством, а X – базой – накрытия. Если дискретное множество D состоит ровно из n точек, то говорят, что накрытие n-листно. Прообраз точки x0 X называют слоем над точкой x0. Слой n-листного накрытия состоит ровно из n точек.

З а д а ч а 2.3. а) Пусть Kn полный граф с n вершинами, p : Kn — G – некоторое накрытие. Докажите, что число листов этого накрытия – нечётно.

§ 2. Гомотопические свойства графов R Рис. 28. Незамкнутое Рис. 26. Накры- Рис. 27. Экспоненциальподнятие замкнутого тие 1-мерного ное накрытие окружнопути комплекса сти б) Докажите, что существует накрытие p : Kn G с любым нечётным числом листов.

В этой главе мы будем рассматривать только накрытия 1-мерных комплексов.

Прямую R можно рассматривать как 1-мерный комплекс с вершинами в точках с целочисленными координатами. Отображение exp: R S1, переводящее точку t R в точку exp(2it) S1, является накрытием (рис. 27).

Назовем поднятием пути (t) X такой путь X, что p( (t)) = (t) = (t) при всех t. Если x0 – начало пути (t), а x p-1 (x0), то существу– ет единственное поднятие пути (t) с началом в точке x. Пример отображения exp показывает, что поднятие замкнутого пути не обязательно будет замкнутым путём (рис. 28). Накрытие p : X X индуцирует го моморфизм p : 1 (X, x ) 1 (X, x0), где x0 = p(x ). Класс петли (t) 0 X с началом в точке x0 принадлежит подгруппе p1 (X, x ) 1 (X, x0) тогда и только тогда, когда поднятие этой петли с началом в точке x замкнуто. Если рассмотреть другую точку x из прообраза точки x0, то груп пы G0 = p1 (X, x ) и G1 = p1 (X, x ) не обязательно будут совпадать.

0 В самом деле, G1 = -1G0, где – проекция пути в X, соединяющего – точки x и x. Совпадение групп G0 и G1 эквивалентно тому, что подня0 тие петли с началом в точке x замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто поднятие этой петли с началом в точке x. Ясно также, что для петли с началом и концом в точке x0 любое её поднятие соединяет некоторые точки прообраза точки x0. Поэтому для любой петли с нача48 Глава I. Графы лом x0 её поднятия, начинающиеся в разных точках прообраза точки x0, одновременно замкнуты или одновременно незамкнуты лишь в том случае, когда -1G0 = G0 для всех 1 (X, x0), т. е.

p1 (X, x ) – нормальная подгруппа в 1 (X, x0).

0 – В таком случае накрытие p называют регулярным. Пример нерегулярного накрытия изображён на рис. 29. По-другому то же самое накрытие изображено на рис. 30.

Изучим теперь более подробно гомоморфизм p : 1 (X, x ) 1 (X, x0). Прежде всего покажем, что p – мономорфизм. Для этого нужно прове– рить, что если петли 0 и 1 с началом в точке x проецируются в гомотопные петли 0 и 1, то петли Рис. 29. Нерегуляр0 и 1 тоже гомотопны. Пусть s (t) – гомотопия, – ное накрытие соединяющая петли 0 и 1. Тогда при фиксированном t = t0 получаем путь (s, t0) = s (t0), соединяющий точки 0 (t0) и 1 (t0). Рассмотрим его поднятие (s, t0) с началом в точке 0 (t0) (рис. 31).

Рис. 30. Другое изображение нерегулярного накрытия Концы путей (s, t) образуют путь, проецирующийся в 1, причём началом (и концом) пути служит точка x. Поэтому совпадает с 1, а значит, s (t) = (s, t) – гомотопия, соединяющая петли 0 и 1.

– Для подгруппы H = p1 (X, x ) 1 (X, x0) = = G можно рассмотреть правые смежные классы Hgi, gi G. Смежные классы Hg1 и Hg2 сов - падают, если g1 g2 H, и не пересекаются, если -g1 g2 H. Между множеством правых смежных классов Hgi и точками p-1 (x0) существует есте ственное взаимно однозначное соответствие. При построении этого соответствия мы воспользуем ся тем, что среди точек p-1 (x0) есть выделенная точка, а именно, точка x. Сопоставим петле Рис. 31. Поднятие в X с началом x0 конец поднятия этой петли гомотопии с началом x. В результате получим отображение G p-1 (x0). Покажем, что это отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между правыми смежными классами и точками § 2. Гомотопические свойства графов множества p-1 (x0). Пусть 1 и 2 – поднятия с началом x петель 1 и 2.

– Конец пути 1 совпадает с концом пути 2 тогда и только тогда, когда 12 – замкнутый путь с началом x0, т. е. 12 H. Остаётся заметить, -1 – -что рассматриваемое отображение G p-1 (x0) является отображением на всё множество p-1 (x0). В самом деле, в точку x p-1 (x0) отобра жается элемент группы 1 (X, x0), соответствующий проекции пути в X с началом x и концом x ; проекция этого пути является петлей в X 0 с началом x0. Итак, доказано следующее утверждение.

Т е о р е м а 2.4. Если p : X X – накрытие и p(x ) = x0, то су– ществует взаимно однозначное соответствие между множе ством смежных классов 1 (X, x0) p1 (X, x ) и слоем p-1(x0).

/ В общем случае множество смежных классов не имеет естественной структуры группы. Например, если однозначно определено произведение классов Hg и Hg-1, то для всех g G должно выполняться равенство HgHg-1 = H, т. е. gHg-1 = H. Это означает, что H – нормальная под– группа в G, т. е. p – регулярное накрытие. Ясно также, что если H – – – нормальная подгруппа, то Hg1Hg2 = Hg1 g2, так как g1H = Hg1.

Итак, если накрытие p регулярное, то множество G H, находяще/ еся во взаимно однозначном соответствии с множеством p-1 (x0), имеет естественную структуру группы. В таком случае, фиксировав точку x p-1 (x0), множество p-1 (x0) тоже можно снабдить структурой группы. Эта группа допускает более геометрическое описание, чем фактор группа 1 (X, x0) p1 (X, x ). Дело в том, что для регулярных накрытий / в соответствие G H p-1(x0) можно вставить промежуточную груп/ пу Aut(p):

G H Aut(p) p-1(x0).

/ Здесь Aut(p) – группа автоморфизмов накрытия p, которую мы сей– час определим.

Гомеоморфизм f : X X называют автоморфизмом накрытия p : X X, если p(f(x)) = p(x) для всех x X. Если y = f(x), то p() = = p(f(x)) = p(x), поэтому автоморфизм накрытия переставляет точки каждого слоя.

Т е о р е м а 2.5. Любой автоморфизм накрытия полностью задаётся образом одной точки при этом автоморфизме.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что для накрытия p : X X су ществует не более одного автоморфизма f : X X, переводящего точку x X в заданную точку x X. Пусть y X – произвольная точка. Рас0 1 0 – смотрим путь 0, соединяющий точки x и y. Пусть = p0 – проекция – 0 пути 0, а 1 – поднятие пути с началом в точке x. Тогда автомор – физм f переводит путь 0 в путь 1, а значит, f(y ) = y. Таким образом, 0 50 Глава I. Графы автоморфизм f определён однозначно. Ясно также, что автоморфизм f, переводящий точку x в точку x, существует тогда и только тогда, когда 0 точка 1 однозначно определяется точкой y, т. е. поднятие с началом в точке x проекции любого замкнутого пути с началом в точке x тоже 1 будет замкнуто.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что любой автоморфизм накрытия, изображённого на рис. 29, тождествен.

Т е о р е м а 2.6. а) Накрытие p : X X регулярно тогда и только тогда, когда группа Aut(p) транзитивно действует на слое p-1 (x0), т. е. переводит любой элемент слоя в любой другой элемент того же слоя.

б) Для регулярного накрытия p : X X группа Aut(p) изоморф на 1 (X, x0) p1 (X, x ).

/ Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть накрытие p регулярно и x, x 1 p-1 (x0). Построим автоморфизм g Aut(p), переводящий x в x.

1 Пусть y X – произвольная точка; 1 – произвольный путь из x в y ;

– 1 – 1 = p – проекция пути ; 2 – поднятие пути с началом в точ – – ке x. Положим g(1) = y, где y – конец пути 2. Отображение g 2 2 2 – определено корректно, т. е. 2 не зависит от выбора пути 1. В са мом деле, из регулярности накрытия p следует, что если путь замкнут, то любое поднятие пути p(11) тоже является замкнутым путём.

Предположим теперь, что группа Aut(p) транзитивно действует на слое p-1 (x0). Пусть – замкнутый путь с началом и концом в точке – x p-1 (x0) и g – автоморфизм, переводящий x в x. Тогда g – – – 1 1 поднятие пути p с началом в точке x. Ясно, что путь g замкнут.

б) Пусть – петля в X с началом и концом x0, [] 1 (X, x0) – – – класс гомотопных петель, содержащий петлю. Сопоставим классу [] следующий автоморфизм g накрытия p. Пусть x p-1 (x0) – фикси– рованная точка слоя, y X – произвольная точка. Соединим x и y 0 – 0 путём и рассмотрим путь = p. Положим g (0) = 1, где 1 – конец – поднятия пути с началом x.

Ядром гомоморфизма 1 (X, x0) Aut(p) служит подгруппа 1 (X, x ).

Этот гомоморфизм эпиморфен. В самом деле, для любой точки x i p-1 (x0) можно рассмотреть петлю i, являющуюся проекцией пути из x в x. Петле i соответствует автоморфизм, переводящий x в x.

0 i 0 i Но автоморфизм накрытия, переводящий x в x, единствен.

0 i С л е д с т в и е 1. Если p : X X накрытие и 1 (X) = 0, то Aut(p) 1 (X).

= С л е д с т в и е 2. Если p : X X – регулярное накрытие и A = – = Aut(p), то X = X A и накрытие имеет вид p : X X A.

/ / § 2. Гомотопические свойства графов З а д а ч а 2.4. Докажите, что отображение f : S1 S1 гомотопно нулю тогда и только тогда, когда f можно представить в виде f = f1 f2, где f1 : R S1 и f2 : S1 R.

2.3. Накрытия и фундаментальная группа С помощью накрытий можно вычислить фундаментальную группу любого 1-мерного комплекса. Начнем с вычисления фундаментальной группы окружности S1.

Т е о р е м а 2.7. 1 (S1) = Z.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим экспоненциальное накрытие p : R S1, переводящее точку t R в точку exp(it) S1. Накрывающее пространство R стягиваемо, поэтому 1 (R) = 0. Из следствия 1 теоремы 2.6 получаем, что группа 1 (S1) изоморфна группе автоморфизмов накрытия p.

Любой автоморфизм g Aut(p) однозначно задаётся своим действием на элемент 0 R. Ясно, что g(0) = 2ng, где ng Z. При этом g(t) = t + 2ng, а значит, hg(t) = t + 2(nh + ng). Таким образом, Aut(p) Z. Целому числу n соответствует автоморфизм t t + 2n, = а этому автоморфизму соответствует петля, обходящая n раз окружность S1.

Мы уже доказывали, что фундаментальная группа связного 1-мерного комплекса изоморфна фундаментальной группе некоторого букета окружностей (см. с. 46). Поэтому остаётся вычислить фундаментальную группу букета окружностей. Напомним, что свободной группой ранга n называют группу Fn с образующими a1,..., an, между которыми нет никаких со1 k отношений, т. е. в группе Fn любое несократимое слово вида a... a, где i1 ik l = ±1, представляет элемент, отличный от единичного элемента (несократимость означает, что слово не содержит участков вида aa-).

i i Т е о р е м а 2.8. Фундаментальная группа букета n окружностей изоморфна свободной группе с n образующими.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1,..., n – элементы группы G = – n = 1 ( Si ), соответствующие однократным обходам вдоль окружностей i=1 S1,..., Sn. Ясно, что элементы 1,..., n порождают группу G. Нужно лишь проверить, что между ними нет никаких соотношений. Для этого достаточно доказать, что поднятие любой несократимой петли 1 k... для некоторого накрытия является незамкнутым путём. Для i1 ik n букета окружностей существует накрытие Tn Si со стягиваемым i=накрывающим пространством Tn; при n = 2 строение накрывающего 52 Глава I. Графы Рис. 32. Универсальное накрытие букета двух окружностей пространства Tn ясно из рис. 32. Граф Tn не содержит петель, поэтому 1 k поднятие несократимой петли... не может быть замкнутым i1 ik путём.

1 k У п р а ж н е н и е 4. Для несократимой петли... постройте i1 ik такое k-листное накрытие букета окружностей, что некоторое поднятие этой петли незамкнуто.

Если p : X X – накрытие, то отображение p : 1 (X, x ) 1 (X, x0) – мономорфно (см. с. 48). Это означает, что фундаментальная группа на крывающего пространства X изоморфна некоторой подгруппе фундаментальной группы базы X. Покажем, что каждой подгруппе фундаментальной группы базы соответствует некоторое накрытие.

Т е о р е м а 2.9. Пусть X – 1-мерный комплекс и G = 1 (X, x0).

– Тогда для любой подгруппы H G существует накрытие p : X X, для которого p1 (X, x ) = H.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать петли 1 и 2 с началом -в точке x0 эквивалентными, если гомотопический класс петли принадлежит подгруппе H. Пусть U – множество всех петель, гомото– пические классы которых лежат в H, и U1 = U,..., Ui,... – классы – эквивалентности петель. Для каждого класса эквивалентности рассмотрим экземпляр Xi комплекса X. Выберем в X максимальное дерево T ;

в Xi ему соответствует дерево Ti. Рёбра деревьев Ti оставим без изменений, а остальные рёбра комплексов Xi перестроим по следующему § 2. Гомотопические свойства графов Рис. 33. Перестройка графа правилу. Пусть s – ориентированное ребро комплекса X, не входящее – в максимальное дерево T ; ему соответствует элемент s 1(X, x0). Если Ui = Uj, то заменим ребро si с концами Ai и Bi и ребро sj с концами Aj и Bj на рёбра AiBj и AjBi (рис. 33). После всех таких перестроек из комплексов Xi получим комплекс X, для которого имеется естественное накрытие p : X X. Покажем, что комплекс X связен и p1 (X, x ) = H.

Связность комплекса X следует из того, что для любых двух классов Ui и Uj найдётся такая петля ij, что Uiij = Uj. Докажем теперь, что p1(X, x ) = H. Пусть для определённости точка x принадлежит ком0 плексу X1. Петля e1... en, где e1,..., en – рёбра комплекса X, соответ– ствует классу гомотопных петель из подгруппы p1 (X, x ) тогда и только тогда, когда её поднятие с началом x замкнуто. С другой стороны, конец поднятия (с началом x ) петли e1... en лежит в комплексе, соответствующем классу Ue1... en. Это поднятие замкнуто тогда и только тогда, когда Ue1... en = U, т. е. гомотопический класс петли e1... en лежит в H.

Подгруппы фундаментальной группы G = 1 (X, x0) частично упорядочены: некоторые подгруппы содержатся в других подгруппах. Пространства, накрывающие пространство X, тоже частично упорядочены:

некоторые из них накрывают другие накрывающие пространства. Эти два частичных порядка связаны друг с другом.

Т е о р е м а 2.10. Пусть X – 1-мерный комплекс, G = 1 (X, x0).

– Пусть, далее, pi : Xi X (i = 1, 2) – накрытия, соответствующие – подгруппам Hi G (здесь Hi = (pi)1 (Xi, x ) и pi (x ) = x0). В таком i i случае накрытие p : X1 X2, для которого p(x ) = x и p2 p = p1, 1 существует тогда и только тогда, когда H1 H2.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.