WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 46 | 47 || 49 |

/ / Как и в задаче 18.3, во всех прообразах регулярного значения якобиан положителен, поэтому нужно лишь найти число прообразов. В общем положении число корней уравнения P(z) = cQ(z) равно max {m, n}.

§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой 18.5. Будем рассматривать Sn Sn+1 как гладкое многообразие. Рассмотрим в Sn+1 экваториальную сферу Sn = Sn {1 2} и выберем на ней регуляр/ ное значение x0 отображения f; оно является также и регулярным значением отображения f. Более того, если J – матрица Якоби отображения f в точке – J y0 f-1 (x0), то – матрица Якоби отображения f.

– 0 18.6. Покажем, что deg f = k1... kn. Если одно из чисел k1,..., kn равно нулю, то это очевидно. В дальнейшем будем считать, что k1... kn = 0. Прообраз точки (r1ei1,..., rnein) состоит из |k1... kn| точек r1ei(1+2l1)/k1,..., rnei(n+2ln)/kn, где 0 li |k1| - 1. Ясно также, что знак якобиана отображения f совпадает со знаком числа k1... kn.

18.7. Равенство f(-A) = f(A) показывает, что степень отображения f чётна.

Поэтому отображение f не гомотопно тождественному.

18.8. Можно считать, что C – единичная окружность. Вместо векторного по– ля v на C удобнее рассматривать векторное поле w, которое получается при повороте вектора v в точке (cos, sin ) на угол -. Например, если векторное поле v касается C, то векторное поле w имеет постоянное направление – под углом – ±90. Ясно, что ind v = ind w + 1, поэтому нужно доказать, что 2 ind w = i - e.

Точки касания окружности C с интегральными траекториями соответствуют векторам w, направленным под углом ±90. Легко проверить, что в точке внешнего касания вектор w вращается в противоположном направлении по отношению к направлению обхода окружности. Это означает, что в этой точке якобиан отрицателен. В точке внутреннего касания якобиан положителен. Точки внешнего и внутреннего касания являются прообразами двух точек, соответствующих направлениям ±90. Поэтому для одной точки количество прообразов (с учётом знака) равно (i - e) 2.

/ 18.11. Случай n = 1 очевиден, поэтому будем считать, что n 2. Рассмотрим на Mn векторное поле v с невырожденными особыми точками. Особые точки можно разбить на пары, состоящие из точек с индексами разного знака. Покажем, как можно уменьшить на 2 число особых точек (если они есть). Возьмём две особые точки x+ и x- с индексами 1 и -1. Соединим их путём, не проходящим через другие особые точки. Пусть – -окрестность пути. Если – достаточно мало, то Dn и не содержит особых точек, кроме x+ и x-.

Можно считать, что множество покрыто одной картой и все векторы v(x), x, имеют единичную длину. Рассмотрим отображение Sn-1, заданное формулой x v(x). Степень этого отображения равна сумме индексов особых точек x+ и x-, т. е. она равна нулю. Значит, отображение Sn-1 гомотопно постоянному отображению. Эту гомотопию можно рассматривать как векторное поле w на, которое состоит из векторов единичной длины и на совпадает с исходным векторным полем v. Поэтому можно рассмотреть векторное поле, которое совпадает с v вне и с w на. Это векторное поле имеет на 336 Глава VI. Фундаментальная группа особые точки меньше, чем v. Повторяя такую конструкцию, можно уничтожить все особые точки.

18.12. Ясно, что если на Mn есть векторное поле без особых точек, то на Mn есть и поле направлений. Предположим, что на Mn есть поле направлений. Введём на Mn риманову метрику и в каждом выделенном 1-мерном подпространстве возьмём оба вектора единичной длины. Множество всех таких векторов является замкнутым многообразием Mn, которое 2-листно накрывает Mn и на котором задано векторное поле без особых точек. (Многообразие Mn либо связно, либо состоит из двух связных компонент, диффеоморфных Mn.) Пусть – сумма ин– дексов особых точек векторного поля на Mn. Согласно тереме 18.7 на с. 251 сумма индексов особых точек векторного поля на Mn равна 2. Но на Mn есть векторное поле без особых точек, поэтому 2 = 0, а значит, = 0. Теперь задача 18.показывает, что на Mn есть векторное поле без особых точек.

18.13. В примере 14.3 на с. 187 показано, что расслоение Хопфа p : S3 S является образующей группы 3 (S2) Z. Чтобы описать соответствующее = оснащённо многообразие в 1 (3), рассмотрим на сфере S2 две близкие точки.

fr Их прообразы – две окружности, образующие зацепление Хопфа. Поэтому – соответствующее оснащённое многообразие представляет собой окружность Sсо следующим оснащением. Рассмотрим в R3 зацепление Хопфа, одной из компонент которого является наша окружность S1 (мы предполагаем, что окружность S1 стандартно вложена в R3, а вторая компонента зацепления Хопфа лежит на границе -окрестности S1, причём каждый ортогональный к S1 круг радиуса пересекает вторую компоненту ровно в одной точке). Конец вектора eоснащения перемещается по второй компоненте зацепления Хопфа ( e1 = );

вектор e2 оснащения лежит в нормальной к S1 плоскости и ортогонален вектору e1.

19.1. а) Из стягиваемости конуса CY следует, что X Y = (X CY) CY X CY / / для любого подкомплекса Y X. Несложно убедиться, что в доказательстве леммы 19.2 можно заменить Si-1 на Y, а Di на CY. Поэтому если отображения f, g : Y X гомотопны, то X f CY X g CY. По условию вложение f : Y X гомотопно постоянному отображению g : Y x0 X. Но X f CY = X CY, а X g CY = X Y.

б) Экваториальная сфера Sk стягиваема в Sk+1. Поэтому при n > m сфера Sm, канонически вложенная в Sn, стягиваема в Sn. Остаётся воспользоваться задачей а).

20.2. Легко видеть, что отображение i : 1 (A) 1 (X) задаётся формулой a 2a, где a – образующая групп 1 (A) и 1 (X). Поэтому отображение ri – не может быть тождественным.

20.3. а) Из стандартного представления тора T посредством склейки сторон квадрата видно, что отображение i : 1 (A) 1 (X) задаётся формулой a -1-1, где a – образующая группы 1 (A), и – образующие – – свободной группы 1 (X). Таким образом, для коммутантов фундаментальных групп получаем нулевое отображение. Поэтому отображение ri не может быть тождественным.

§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой б) В этом случае отображение i : 1 (A) 1 (X) задаётся формулой a - 1 g g 1-11... g g-1-1. Отображение коммутантов тоже нулевое.

20.4. Отображение коммутантов, индуцированное отображением i : 1 (A) 1 (X), имеет вид a + +... + 2g. Поэтому отображение ri не может быть тождественным.

20.5. Касательный вектор в точке x Sn-1 Rn ортогонален вектору x. Поэтому точка многообразия M3 представляет собой упорядоченную пару ортогональных векторов e1, e2 R3 единичной длины. Эта пара однозначно дополняется до положительно ориентированного ортонормированного базиса e1, e2, e3. Поэтому M3 SO(3).

Гомеоморфизм SO(3) RP3 устанавливается следующим образом. Любое преобразование из SO(3) имеет собственный вектор, поэтому он является поворотом на угол вокруг оси l, проходящей через начало координат. Каждому вектору e3 R3 длины, где 0 <, можно сопоставить поворот на угол вокруг оси e3; направление вращения при этом выбирается так, чтобы базис e1, e2, e3, где e1 – вектор, ортогональный e3, а e2 – образ вектора e1 при данном повороте, – – был положительно ориентирован. Нулевому вектору сопоставим тождественное преобразование. Так устанавливается соответствие между точками шара Dрадиуса и преобразованиями из SO(3). Но при этом каждые две диаметрально противоположные точки шара соответствуют одному и тому же преобразованию.

21.1. Пространство R3 \ S1 гомотопически эквивалентно S2 I, где I – диа– метр сферы S2. Пусть I1 – дуга на сфере, соединяющая концы диаметра I. Тогда – S2 I (S2 I) I1 S2 S1.

/ 22.1. Пространство R3 \ L гомотопически эквивалентно букету n экземпляров пространства D3 \ S1, где S1 D3 – стандартно вложенная окружность (триви– альный узел). Согласно задаче 21.1 D3 \ S1 S2 S1.

22.2. При обсуждении свойств расслоения Хопфа мы получили представление 2 сферы S3 в виде объединения двух полноторий T1 = D1 S1 и T2 = D2 S1. При этом окружности {0} S1, лежащие в этих полноториях, образуют рассматриваемое зацепление. Учитывая, что R3 = S3 \, получаем, что пространство R3 \ L получается выбрасыванием из полнотория T1 окружности {0} S1 и ещё одной точки. Такое пространство гомотопически эквивалентно T S2.

Литература 1. A l e x a n d r o f f P. S. ber stetige Abbildungen kompakter Rume. Math.

// Ann. 96 (1927), 555–571.

2. А р н о л ь д В. И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:

Фазис, 1997.

3. Б о т т Р., Т у Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М.: Наука, 1989.

4. Б у р б а к и Н. Общая топология. Вып. 3. М.: Наука, 1975.

5. в а н д е р В а р д е н Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

6. В а с и л ь е в В. А. Введение в топологию. М.: Фазис, 1997.

7. В е с е л о в А. П., Д ы н н и к о в И. А. Интегрируемые градиентные потоки и теория Морса. Алгебра и анализ. Т. 8, Вып. 3. (1996), 78–103.

// 8. Г у р е в и ч У., В о л м э н Г. Теория размерности. М.: ИЛ, 1948.

9. Л ю с т е р н и к Л. А., Ш н и р е л ь м а н Л. Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Госиздат, 1930.

10. М и л н о р Д ж. О многообразиях, гомеоморфных семимерной сфере // Математика. Сб. перев. 1959 Т. 1, Вып. 3. с. 35–42.

11. М и л н о р Д ж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.

12. М и л н о р Д ж., У о л л е с А. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972.

13. П о с т н и к о в М. М. Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточных пространств. М.: Наука, 1985.

14. П р а с о л о в В. В. Наглядная топология. М.: МЦНМО, 1995.

15. П р а с о л о в В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1996.

16. П р а с о л о в В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2000.

17. П р а с о л о в В. В., С о с и н с к и й А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: МЦНМО, 1997.

18. П р а с о л о в В. В., Т и х о м и р о в В. М. Геометрия. М.: МЦНМО, 1997.

19. Р о х л и н В. А., Ф у к с Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977.

20. U r y s o h n P. S. ber die Machtigkeit der zusammenkngenden Mengen // Math. Ann. 1925. Bd. 94. S. 262–295.

21. Ф о м е н к о А. Т., Ф у к с Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.

22. Х а у с д о р ф Ф. Теория множеств. М.–Л.: ОНТИ, 1937.

23. Х и р ш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.

Литература 24. A d a c h i M. Embeddings and immersions. Providence: AMS. 1993.

25. A l b e r t A. A. Non–associative algebras Ann. Math. 1942. V. 43.

// P. 685–707.

26. A l e x a n d e r J. C. Morse functions on Grassmanians Illinois J. Math.

// 1971. V. 15. P. 672–681.

27. A p p e l K., H a k e n W. Every planar map is four colorable. Part I: Discharging Illinois J. Math. 1977. V. 21. P. 429–490.

// 28. A p p e l K., H a k e n W. Every planar map is four colorable Providence:

// AMS. (Contemp. Math. 1989. V. 98.) 29. A p p e l K., H a k e n W., K o c h J. Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility Illinois J. Math. 1977. V. 21. P. 491–567.

// 30. A r c h d e a c o n D., i r J. Characterizing planarity using theta graphs J. Graph Theory 1998. V. 27. P. 17–20.

// 31. B a l i n s k i M. L. On the graph structure of convex polyhedra in n-space // Pacific J. Math. 1961. V. 11. P. 431–434.

32. B a n c h o f f T. F. Global geometry of polygons. I: The theorem of FabriciusBjerre Proc. AMS. 1974. V. 45. P. 237–241.

// 33. B a j m c z y E. G., B r n y I. On a common generalization of Borsuk’s theorem and Radon’s theorem Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1979. V. 34.

// P. 347–350.

34. B r n y I., L o v s z L. Borsuk’s theorem and the number of facets of centrally symmetric polytopes Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1982. V. 40.

// P. 323–329.

35. B a r n e t t e D. W., G r n b a u m B. On Steinitz’s theorem concerning convex 3-polytopes and on some properties of planar graphs. In: Lecture // Notes in Math. V. 110. Springer, 1969. P. 27–40.

36. B o h l P. ber die Bewegung eines mechanisches Systems in die Nhe einer Gleihgewichtslage J. Reine Angew. Math. 1904. V. 127. P. 279–286.

// 37. B o n d y J. A., M u r t y U. S. R. Graph theory with applications. London, Macmillan: 1976.

38. B o r s u k K. Drei Stze ber die n-dimensionale euklidische Sphre Fund.

// Math. 1933. V. 20. P. 177–190.

39. B o t t R. Two new combinatorial invariants for polyhedra Portugualiae Math.

// 1952. V. 11. P. 35–40.

40. B r e d o n G. E., W o o d J. W. Non-orientable surfaces in orientable 3-manifolds Invent. Math. 1969. V. 7. P. 83–110.

// 41. B r e i t e n b a c h J. R. A criterion for the planarity of a graph J. Graph // Theory 1986. V. 10. P. 529–532.

42. B r o u w e r L. E. J. ber Abbildung von Mannigfaltigkeiten Math. Ann.

// 1912. Bd. 71. S. 97–115.

43. B r o u w e r L. E. J. ber den natrlichen Dimensionsbegrif J. Reine Angew.

// Math. 1913. Bd. 142. S. 146–152.

44. B r o w n A. B., C a i r n s S. S. Strengthening of Sperner’s lemma applied to homology theory Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1961. V. 47. P. 113–114.

// 340 Литература 45. C a i r n s S. S. A simple triangulation method for smooth manifolds Bull.

// AMS. 1961. V. 67. P. 389–390.

46. C h e n i o t D. Le theoreme de van Kampen sur le groupe fondamental du complementaire d’une courbe algebrique projective plane. In: Lecture Notes in Math. 1974. V. 409. P. 394–417.

47. C o h e n D. I. A. On the Sperner lemma J. Combinatorial Theory 1967. V. 2.

// P. 585–587.

48. C o n w a y J. H., G o r d o n C. M c A. Knots and links in spatial graphs // J. Graph Theory 1983. V. 7. P. 445–453.

49. C r e i g h t o n J. H. C. An elementary proof of the classification of surfaces in the projective 3-space Proc. AMS. 1978. V. 72. P. 191–192.

// 50. C r o w e l l R. H. On the van Kampen theorem Pacific J. Math. 1959. V. 9.

// P. 43–50.

51. D i e u d o n n J. Une gnralization des espace compact J. Math. Pures // Appl. 1944. V. 23. P. 65–76.

52. E n g e l k i n g R. Dimension theory. Norh–Holland Pub. Company, 1978.

– 53. F a b r i c i u s - B j e r r e F r. On the double tangents of plane closed curves // Math. Scand. 1962. V. 11. P. 113–116.

54. F a b r i c i u s - B j e r r e F r. A proof of a relation between the numbers of singularities of a closed polygon J. Geom. 1979. V. 13. P. 126–132.

// 55. F r y I. On stright line representation of planar graph Acta Sci. Math.

// (Szeged). 1948. V. 11. P. 229–233.

56. F a t h i A. Partitions of unity for countable covers Amer. Math. Monthly.

// 1997. V. 104. P. 720–723.

57. F l o r e s A. ber die Existenz n-dimensionaler Komplexe, die nicht in den R2n topologisch einbettbar sind Ergeb. Math. Kolloq. 1932 33. Bd. 5. S. 17–24.

Pages:     | 1 |   ...   | 46 | 47 || 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.