WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 44 | 45 || 47 | 48 |   ...   | 49 |

Таким образом, для почти всех (m + 1 - n)-мерных подпространств число точек пересечения с (Sn) не меньше, чем с Sn. Из этого следует, что n-мерный объём (Sn) не меньше, чем n-мерный объём Sn. Для доказательства этого утверждения нужно ввести на множестве Gm+1-n (Rm) всех (m + 1 - n)-мерных § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой линейных подпространств в Rm инвариантную меру µ и для каждого множества X Sm рассмотреть интеграл |X | dµ. Если для множества X опреGm+1-n(Rm) делён n-мерный объём, то этот интеграл конечен и пропорционален n-мерному объёму множества X.

8.6. a) Непосредственное применение теоремы Борсука – Улама не приводит – к желаемому результату, потому что противоположно направленные лучи, выходящие из внутренней точки многогранника P, могут пересекать P в точках, принадлежащих пересекающимся граням. Предварительно многогранник P нужно симметризовать. А именно, рассмотрим множество Q = {x = z - w | z, w P}.

Ясно, что Q – выпуклый многогранник, симметричный относительно начала ко– ординат.

Определим отображение h : Q P следующим образом. Пусть z = (z1,...

..., zn+1) и z = (z1,..., zn+1). Будем считать, что z > z, если z1 = z1,..., zk-1 = = zk-1 и zk > zk (возможно k = 1). Положим h(x) = max {z | x = z - w, где z, w P}.

Геометрически отображение h можно описать так. Если x = z - w, то z = x + w x + P, поэтому h(x) – максимальная точка множества P (x + P). При этом – максимальная точка находится следующим образом: сначала находим точки с максимальной координатой z1, затем среди них находим точки с максимальной координатой z2, и т. д.

Легко проверить, что x = h(x) - h(-x). Действительно, если x = h(x) - w0, то w0 = h(x) - x P (x + P) - x = (-x + P) P. При этом из того, что h(x) – – максимальная точка множества P (x + P), следует, что w0 – максимальная точ– ка множества (-x + P) P.

Докажем теперь, что отображение h непрерывно. Пусть xn Q и lim xn = n = x Q. Представим xn в виде xn = zn - wn, где zn = h(xn). Пусть zni – произ– вольная сходящаяся подпоследовательность. Тогда подпоследовательность wni тоже сходящаяся. Положим z = lim zni и w = lim wni. Тогда x = z - w, поэтоi i му z h(x). Предположим, что z < h(x). Рассмотрим точки z = zni + (h(x) - z) и w = wni + (h(-x) - w), где > 0. Из того, что h(x) - h(-x) = x = z - w, следует, что z - w = zni - wni = xni. Ясно также, что z > zni, так как h(x) - z > и > 0. Покажем, что числа > 0 и ni можно выбрать так, что z, w P. Для точки z P можно выбрать > 0 так, что если z - v и точка v лежит на луче, выходящем из точки z и идущем в точку t P, то v P. Пусть C – множество – всех таких точек v. Выберем > 0 так, что h(x) - z 2, а ni выберем так, / что zni - z 2. Тогда точки zni и z + (h(x) - z) принадлежат C/2. Из выпук/ лости множества C/2 следует, что середина отрезка с концами в этих точках тоже принадлежит C/2, поэтому z = zni + (h(x) - z) C P. Аналогично получаем w P. Но если z, w P и z - w = xni, то z h(xni) = zni, что противоречит 324 Глава VI. Фундаментальная группа неравенству z > zni. Полученное противоречие показывает, что z = h(x). Таким образом, любая сходящаяся подпоследовательность последовательности zn сходится к h(x). Из компактности множества P, содержащего точки zn, следует, что вне сколь угодно малой окрестности точки h(x) может лежать лишь конечное число точек zn. Поэтому lim zn = h(x), т. е. отображение h непрерывно.

n Пусть a = 0 – произвольный вектор и max(a, x) = (a, x0). Из равенства – xQ x0 = h(x0) - h(-x0) следует, что (a, h(x0)) + (-a, h(-x0)) = (a, x0) = max(a, x) = xQ = max (a, z - w) = max(a, z) - max(-a, w).

z,wP zP wP Поэтому (a, h(x0)) = max(a, z) и (-a, h(-x0)) = max(-a, w). Это означает, что zP wP точки h(x0) и h(-x0) принадлежат двум различным опорным гиперплоскостям многогранника P. В частности, точки h(x0) и h(-x0) принадлежат непересекающимся граням многогранника P.

Теперь уже можно применить теорему Борсука–Улама к отображению – g(x) = f(h(x)). В результате получим, что существует точка x0 Q, для которой g(x0) = g(-x0). Точка x0 принадлежит некоторой опорной плоскости многогранника Q, поэтому существует вектор a = 0, для которого max(a, x) = (a, x0).

xQ В таком случае точки z = h(x0) и w = h(-x0) принадлежат непересекающимся граням многогранника P и f(z) = f(h(x0)) = g(x0) = g(-x0) = f(h(-x0)) = f(w), что и требовалось.

б) Пусть B и C – непересекающиеся грани симплекса n+1, для которых – f(B) f(C) =. Грани n не принадлежит лишь одна вершина симплекса n+1.

i Эта вершина не может одновременно принадлежать граням B и C, поэтому B n или C n (или B, C n), а значит, f(n) f(B) f(C).

i i i i З а м е ч а н и е 1. Если отображение f : n+1 Rn линейно, то утверждение задачи б) – это частный случай теоремы Хелли. Но это как раз тот частный – случай, который является шагом индукции при доказательстве теоремы Хелли по индукции. Поэтому он, по сути дела, эквивалентен теореме Хелли.

З а м е ч а н и е 2. Другое решение задачи 8.6 и её обобщение приведено в [87].

9.1. Рассмотрим характеристическое отображение f : D2n CPn, определённое на с. 136. Его ограничение на int D2n является гомеоморфизмом int D2n на CPn \ CPn-1. Ясно также, что при указанном отождествлении точек сферы S2n-1 из неё получается CPn-1.

9.2. Можно считать, что S состоит из точек x = (x1, x2,.. R, у кото.) рых лишь конечное число ненулевых координат и xi2 = 1. Пусть (x) = (0, x1, x2,...) и ht (x) = (1 - t)x + t(x). Легко проверить, что ht (x) = при x = 0. Поэтому формула x ht (x) ht (x) задаёт гомотопию, связываю / § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой M2 M1 Рис. 144. Поверхности M2 и M1 щую тождественное отображение idS с отображением |S. Пусть, далее, gt (x) = (1 - t)(x) + (t, 0, 0,...). Тогда снова gt (x) = 0 при x = 0. Поэтому формула x gt (x) gt (x) задаёт гомотопию, связывающую отображение |S / с постоянным отображением в точку (1, 0, 0,...).

9.3. Если данное компактное множество K пересекает открытую клетку n n n int e, то выберем одну точку x K int e. Требуется доказать, что множество n T = {x} конечно.

Из свойства (c) следует, что любая замкнутая клетка пересекается лишь с конечным числом открытых клеток, поэтому пересечение любого подмножества T T с любой замкнутой клеткой состоит из конечного числа точек, а значит, оно замкнуто. Теперь из свойства (w) следует, что любое подмножество T T замкнуто, а значит, T дискретно. С другой стороны, множество T компактно как замкнутое подмножество компактного пространства. Остаётся заметить, что дискретное компактное множество конечно.

10.1. Сферу Sn можно представить как CW -комплекс с одной 0-мерp ной клеткой и одной n-мерной клеткой. Поэтому S Sq можно представить как CW -комплекс с клетками размерностей 0, p, q и p + q. Клетки размерностей p 0, p и q образуют подкомплекс S Sq. После стягивания этого подкомплекса в точку получается CW -комплекс с клетками размерностей 0 и p + q, т. е.

(p + q)-мерная сфера.

n - 11.1. а) Если n чётно, то nP2 T # 2P2, а если n нечётно, то nPn - T # P2. Поэтому достаточно рассмотреть поверхности 2P2 и P2, для которых требуемые кривые строятся очевидным образом.

б) Нужно доказать, что если после разрезания по замкнутой кривой поверхность nP2 становится ориентируемой, то в случае чётного n край полученной поверхности состоит из двух компонент, а в случае нечётного n – из одной. При – таком разрезании эйлерова характеристика поверхности не изменяется. Если край состоит из двух компонент, то можно приклеить ручку S1 I, а если край состоит из одной компоненты, то можно приклеить диск D2. В обоих случаях в результате получится замкнутая ориентируемая поверхность (имеющая чётную эйлерову характеристику). В первом случае эйлерова характеристика не изменяется, а во втором она увеличивается на 1.

326 Глава VI. Фундаментальная группа 11.2. Да, могут. Поверхности M2 и M2, изображённые на рис. 144, не гомео1 морфны, поскольку край поверхности M2 состоит из трёх связных компонент, а край поверхности M2 связен. Пространства M2 I и M2 I гомеоморфны, 2 2 потому что ручку можно перетащить по пунктирной линии.

« » 11.3. Поверхность nP2 можно представить как сферу S2, из которой вырезано n дисков и вместо них вклеено n листов Мёбиуса; эти листы Мёбиуса попарно не пересекаются.

Предположим, что на поверхности nP2 размещено p непересекающихся листов Мёбиуса. Проведём разрезы по краям этих листов Мёбиуса, а затем к этим разрезам приклеим диски. В результате получим замкнутую поверхность M2, эйлерова характеристика которой равна (nP2) + p = 2 - n + p. Но (M2) 2, поэтому k n.

12.1. а) Универсальное накрытие плоскости с двумя выколотыми точками устроено так, как показано на рис. 145. Ясно, что универсальное накрывающее пространство гомеоморфно плоскости.

Для плоскости с произвольным (конечным) числом выколотых точек доказательство аналогично.

б) Пусть fa1...an : C C \ {a1,..., an} – универсальное накрытие. Рассмот– рим отображение (w1,..., wn) (z1,..., zn), где z1 = w1, z2 = fz1w2, z3 = fz1z2w3, z4 = fz1z2z3w4,...

Это отображение является накрытием Cn.

12.2. Если накрытие p можно представить в требуемом виде p = p2 p1, -1 -1 -то множества I1 = p1 (y1),..., In = p1 (yn), где {y1,..., yn} = p2 (x), искомые.

В самом деле, если – замкнутый путь в X, то его поднятие в Y соединяет – некоторые точки yi и yj. Поэтому поднятие пути в X соединяет точки множеств Ii и Ij.

Предположим теперь, что I1 = {t11,..., t1m},..., In = {tn1,..., tnm} – разби– ение множества p-1 (x), обладающее указанными свойствами. Пусть x1 X – – произвольная точка, – путь из x в x1, Jk – множество концов поднятий пути – – с началом в Ik. Нумерация множеств Jk зависит от выбора пути, но сам набор Рис. 145. Универсальное накрытие плоскости без двух точек § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой этих множеств не зависит от выбора пути. В самом деле, предположим, что одно поднятие пути с началом в Ik заканчивается в Jk, а другое заканчивается в Jl, где l = k. Тогда одно поднятие замкнутого пути -1 с началом Ik заканчивается в Ik, а другое заканчивается в Il, где l = k. Этого не может быть.

Отобразим все точки каждого множества Jk в одну точку. В результате полу чим накрытие p1 : X Y. Накрытие p2 строится теперь очевидным образом.

13.1. Эйлерова характеристика взрезанных квадратов графов K3,3 и K5 легко вычисляется. Все грани четырёхугольные, причём каждое ребро принадлежит ровно двум граням. Поэтому 2e = 4f. Количество вершин v равно n2 - n, где n – количество вершин графа. Поэтому v = – для взрезанного квадрата графа K3,3 и v = 20 для Dn+взрезанного квадрата графа K5. Количество граней f равно количеству упорядоченных пар непересекающихся рёбер. Поэтому f = 36 для взрезанного квадрата графа K3,3 и f = 30 для взрезанного квадрата Sn графа K5.

Dn+Остаётся проверить, что взрезанные квадраты графов K3,3 и K5 ориентируемы. Это можно непосредственно проверить, но такая проверка довольно утомиРис. 146. Вложение тельна, потому что одна поверхность склеивается из взрезанного квадчетырёхугольных граней, а вторая из 30. Этой проверрата во взрезанный ки можно избежать, воспользовавшись следующими джойн соображениями. Взрезанный квадрат графа естественным образом вкладывается в его взрезанный джойн.

Действительно, паре несмежных рёбер во взрезанном джойне соответствует тетраэдр, в во взрезанном квадрате – параллелограмм; этот параллелограмм можно – рассматривать как сечение тетраэдра (рис. 146). Взрезанные джойны графов K3,3 и K5 гомеоморфны S3. Для графа K5 это – частный случай (при n = 1) – теоремы 10.2 на с. 149. Для графа K3,3 это легко выводится из того, что врезанный джойн джойна – это то же самое, что джойн взрезанных джойнов (см.

– доказательство теоремы 10.3 на с. 150). Действительно, граф K3,3 – это джойн – 2 2 2 sk0 2 sk0 2, поэтому J2 (K3,3) = J2 (sk0 2 sk0 2) = J2 (sk0 2) J2 (sk0 2) S1 S1 S3, поскольку J2 (sk0 2) S1.

Итак, взрезанные квадраты графов K3,3 и K5 вкладываются в S3. А замкнутые неориентируемые поверхности в S3 не вкладываются (следствие теоремы 17.на с. 239).

13.2. На взрезанном квадрате есть инволюция без неподвижных точек, соj j ответствующая отображению i i. Неподвижных точек у этой j инволюции нет, потому что симплексы i и не пересекаются.

Если на двумерной поверхности есть инволюция без неподвижных точек, то её эйлерова характеристика чётна.

14.1. Отображение idY гомотопно отображению Y y0. Зададим на X отображение f0 = idX, а на Y зададим гомотопию, связывающую отображения idY 328 Глава VI. Фундаментальная группа и Y y0. Построим гомотопию ft данного отображения, продолжающую данную гомотопию. В результате получим отображение f1 : X X, которое гомотопно отображению idX, причём f1 (Y) = y0. Это отображение индуцирует отображение q : X Y X, для которого qp = f1, где p : X X Y – каноническая проекция.

/ / – Итак, qp = f1 idX. Поэтому остаётся проверить, что pq idY. По построению ft (Y) Y. Значит, отображение ft определяет отображение gt : X Y X Y. При / / этом g0 = idY и g1 = pq.

14.2. По индукции можно считать, что у n-связного CW -комплекса X есть ровно одна вершина и нет k-мерных клеток, где 1 k n - 1 (при n = 0 никаких предварительных предположений мы не делаем). Нужно уничтожить n-мерные « » клетки X. Пусть : Sn X – характеристическое отображение некоторой n-мер– ной клетки комплекса X. Из n-связности X следует, что отображение можно продолжить до отображения : Dn+1 X. (При n = 0 мы предполагаем, что : S0 X отображает одну точку S0 в фиксированную вершину x0, а другую точку – в данную вершину xi комплекса X; тогда – путь из вершины x– – в данную вершину xi.) Будем считать, что Sn – экватор сферы Sn+1 = Dn+2, – а Dn+1 – половина сферы Sn+1 (рис. 147). Тогда можно приклеить Dn+1 к X – по отображению. В результате получим CW -комплекс X Y, гомотопически эквивалентный X (для n = 0 на рис. 148 комплекс Y заштрихован). В Y есть стягиваемый подкомплекс Y, соответствующий верхним полусферам « » Dn+1 (на рис. 148 этот подкомплекс выделен жирными линиями). Согласно задаче 14.1 (X Y) Y X Y X. Ясно также, что CW -комплекс (X Y) Y / / не имеет n-мерных клеток (и клеток меньших положительных размерностей).

При n = 0 эта конструкция приводит к тому, что мы получаем CW -комплекс с одной вершиной.

14.3. Согласно теореме о клеточной аппроксимации любое отображение Sn X гомотопно отображению Sn Xn X, а в данном случае n-мерный остов Xn состоит из одной точки.

14.4. Пространство (A B) получается из A B стягиванием в одну точку двух конусов CA и CB с общей образующей {a0} {b0} I (рис. 149). Ясно, что пространство CA CB стягиваемо (сначала можно стянуть в точку один конус, а потом другой). Поэтому согласно задаче 14.1 AB AB (CACB) (AB).

Pages:     | 1 |   ...   | 44 | 45 || 47 | 48 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.