WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 42 | 43 || 45 | 46 |   ...   | 49 |

Положим E = CP2 \ (C l0... ls) и B = m \ {a0,..., as}. Проекция из точки a на прямую m индуцирует отображение p : E B.

Л е м м а. Отображение p : E B является локально тривиальным расслоением со слоем F, гомеоморфным C без n точек.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что для любой точки x B найдётся такое открытое множество U x, что отображение p над U является тривиальным расслоением. Выберем на прямой m произвольную точку x = x и выбросим из CP2 прямую ax. На оставшемся множестве, го меоморфном C2, в качестве координатных осей выберем прямую m и одну из прямых в CP2, проходящих через точку a. В таких координатах проекa l0 l1 l2 lxm a0 a1 a2 al Рис. 129. Проекция кривой C на прямую m 310 Глава VI. Фундаментальная группа ция из точки a на прямую m имеет вид (z, w) (z, 0). Если окрестность U B достаточно мала, то над ней ветви кривой C достаточно хорошо приближаются прямыми w = iz + i, i = 1,..., n. Прямых z = const здесь нет, потому что мы исключили касательные к кривой C. Точек пересечения прямых wi = iz + i над достаточно малой областью U нет, потому что над ней нет особых точек кривой C. Поэтому ветви кривой C над малой областью U B достаточно хорошо приближаются прямыми w = ci, i = 1,..., n. Достаточно хорошо означает, в частности, что « » множество p-1 (U) гомеоморфно U (C \ {c1,..., cn}), причём гомеоморфизм согласован с отображением p.

Пространство B = m \ {a0,..., as} гомотопически эквивалентно букету s окружностей. Образующими группы 1 (B, x0) служат петли h1,..., hs, каждая из которых охватывает ровно одну из точек ai, i = 1,..., s; между этими образующими нет никаких соотношений, но если добавить петлю h0, охватывающую точку a0, то возникает соотношение h0h1... hs = 1.

В качестве образующих группы 1 (F, x0) выберем петли g1,..., gn, каждая из которых охватывает ровно одну из точек, выколотых из C.

Более того, для дальнейших целей нам потребуется, чтобы композиция этих петель в CP1 была гомотопна петле, охватывающей точку a (слой F представляет собой комплексную проективную прямую CP1, из которой выколоты точка a и n точек пересечения этой прямой с кривой C). Такой выбор образующих означает, что после добавления точки a возникает соотношение g1... gn = 1.

Чтобы вычислить группу 1(E, x0), воспользуемся точной последовательностью расслоения p i 2(B, x0) - 1 (F, x0) - 1 (E, x0) - 1 (B, x0) - 0 (F, x0).

Слой F связен, поэтому 0 (F, x0) = 1. Кроме того, пространство B гомотопически эквивалентно букету окружностей, а универсальное накрывающее пространство букета окружностей стягиваемо. Поэтому 2 (B, x0) = 1. В результате получаем i p 1 1 (F, x0) - 1 (E, x0) - 1 (B, x0) 1.

Группа 1 (F, x0), порождённая свободными образующими g1,..., gn, мономорфно отображается в 1 (E, x0). Поэтому можно отождествить группу 1 (F, x0) с подгруппой G =i1 (F, x0) 1 (E, x0). Группа 1 (B, x0) порождена свободными образующими h1,..., hs. В рассматриваемой ситуации пространство B содержится в E, поэтому в 1 (E, x0) можно выбрать элементы, представленные теми же самыми петлями, что и эле§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой менты h1,..., hs группы 1(B, x0); для этих элементов группы 1 (E, x0) мы будем использовать те же самые обозначения.

Вычисление группы 1 (E, x0) существенно облегчается тем, что группа 1 (B, x0) свободная. Действительно, для свободной группы любое отображение свободных образующих в некоторую группу (однозначно) продолжается до гомоморфизма групп. Поэтому существует единственный гомоморфизм : 1 (B, x0) 1 (E, x0), для которого (hi) = hi.

Подгруппа H = 1 (B, x0) 1 (E, x0) изоморфна 1 (B, x0), поскольку p = id (B,x0) и p|H = idH.

Каждый элемент 1 (E, x0) однозначно представляется в виде = gh, где g G и h H. А именно, h = p () и g = -1h. Кроме того, (gh) (g h ) = (ghg h-1)hh, где hg h-1 G.

Поэтому группа 1 (E, x0) полностью определяется группами G и H и следующим действием группы H на G: h(g) = hgh-1 G. Следовательно, группа 1 (E, x0) задаётся образующими g1,..., gn, h1,..., hs и соотношениями hj gih-1 = ij (g1,..., gn), где ij (g1,..., gn) – выражение – j элемента hj gih-1 G через образующие g1,..., gn.

j Мы вычислили группу 1 (E, x0). Следующий шаг – вычисление груп– пы 1 (E, x0), где E = CP2 \ (C l0) = E E (l1... ls).

Множество E (l1... ls) является подмногообразием коразмерности 2 многообразия E, поэтому вложение E E индуцирует эпиморфизм 1 (E, x0) 1(E, x0). Действительно, li любая петля в E гомотопна петле, не пересекающей l1,..., ls. Следовательно, группа 1(E, x0) задаётся теми же самыми образующими g1,..., gn, hi h1,..., hs, но к прежним соотношениям xмогут добавиться новые соотношения.

Например, в E петля hi стягиваема (рис. 130), поэтому получаем новые соотношения hi = 1, i = 1,..., s. ПоРис. 130. Стягиваемая петля кажем, что никаких других новых соотношений не возникает. Рассмотрим в E произвольную гомотопию некоторой петли в постоянную петлю x0.

Можно считать, что петля гладкая и не пересекает прямых l1,..., ls.

Сначала заменим рассматриваемую гомотопию гладкой гомотопией, а затем слегка пошевелим гладкую гомотопию так, чтобы для полученной гомотопии точки a1,..., as не были бы критическими 312 Глава VI. Фундаментальная группа li a i k(s) ai Рис. 131. Стандартная петля Рис. 132. Путь из ai в a i точками отображения p, где p – проекция из точки a на прямую m.

– Отображение : I2 E обладает следующим свойством: прообраз множества l1... ls состоит из конечного числа внутренних точек квадрата I2 (граничные точки квадрата отображаются в точку x0 или в другие точки петли ; все эти точки не лежат на прямых l1,..., ls).

Основная трудность связана с тем, что произвольную петлю в U \ li, где U – достаточно малая окрестность точки a li \ C, нужно посред– i ством гомотопии в пространстве E заменить на стандартную петлю, лежащую на окружности с центром ai, расположенной на комплексной прямой m \ {a0} (рис. 131); здесь пока подразумевается гомотопия петель в классе всех отображений S1 E, т. е. образ отмеченной точки при гомотопии может сдвигаться. Для построения такой гомотопии рассмотрим путь k(s) на комплексной прямой li \ {a}, соединяющий точки a и ai и не проходящий через точки li C (рис. 132). Требуемая i гомотопия строится следующим образом. В пространстве C2 = CP2 \ lпроекция из точки a на комплексную прямую m \ {a0} в некоторых координатах имеет вид (z, w) (z, 0). При этом ai = (z0, 0) и a = (z0, w0).

i Петля в U \ li, заданная формулой (t) = (z(t), w(t)), гомотопна петле (t) = (z(t), w0). Предположим, что петля достаточно мала, а минимальное расстояние от пути k(s) то точек li C достаточно велико, а именно, > max |z(t) - z0|. Тогда формула s (t) = (z(t), k(s)) задаёт гомотопию в пространстве E петли 0 = в петлю 1, целиком лежащую на комплексной прямой m \ {a0}. При этом петля 1 расположена в малой окрестности точки ai и не проходит через эту точку. Такая петля гомотопна петле, расположенной на окружности с центром ai.

От гомотопности в классе всех петель можно следующим образом перейти к гомотопности в классе петель с фиксированной начальной точкой x0. Пусть s (t) – гомотопия петли 0 (t) в петлю 1(t), µ() – путь – – § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой xРис. 134. Построение гомотопии Рис. 133. Гомотопные петли из точки x0 в точку 0 (0), (s) = s (0) – путь из точки 0 (0) в точку 1 (0).

– Тогда петли µ0µ-1 и µ1-1µ-1 гомотопны (рис. 133).

Вернёмся к гомотопии, построенной на с. 311. В пространстве E петля, стягиваемая в пространстве E, гомотопна петле µkkµ-1, k где k – петля в малой окрестности точки прямой li(k); построение этой – гомотопии ясно из рис. 134. На языке заданий групп образующими и соотношениями это означает, что слово, представляющее единичный эле мент группы 1 (E, x0), можно привести к виду µkkµ-1, пользуясь k только соотношениями между элементами группы 1 (E, x0); здесь мы предполагаем, что обе группы заданы одними и теми же образующими (указанными ранее). Выше было показано, что петля µkkµ-1 гомотопk на в E петле µ hr (µ )-1, где hi(k) – петля, входящая в набор обра– k i(k) k зующих h1,..., hs, r – некоторое целое число. Это означает, что слово – µkkµ-1 можно привести к виду µ hr (µ )-1, пользуясь только соотноk k i(k) k шениями между образующими группы 1 (E, x0). Наконец, из соотношения hi(k) = 1 следует, что µ hr (µ )-1 = 1. Это означает, что если слово k i(k) k представляет единичный элемент группы 1 (E, x0), то равенство = следует из соотношений между элементами группы 1 (E, x0) и соотношений h1 = 1,..., hs = 1.

Последний шаг – вычисление группы 1 (CP2 \ C), где CP2 \ C = – = E (l0 \ C). Как мы уже упоминали (см. с. 310), после добавления точки a l0 \ C возникает соотношение g1... gn = 1. Те же самые рассуждения, что и на предыдущем шаге, показывают, что никаких других соотношений не возникает.

Сформулируем теперь окончательный результат. Напомним, что определение ij (g1,..., gn) дано на с. 311.

Т е о р е м а 22.1 (ван Кампен [132]). Пусть C – кривая степе– ни n в CP2, a CP2 \ C – некоторая точка, l0, l1,..., ls – прямые, – – каждая из которых проходит через точку a и либо касается кривой C в одной точке, либо проходит через одну особую точку кривой C. Тогда группа 1 (CP2 \ C, x0) задаётся образующими 314 Глава VI. Фундаментальная группа g1,..., gn и ns + 1 соотношениями g1... gn = 1, gi = ij (g1,..., gn), i = 1,..., n, j = 1,..., s.

22.3. Применения теоремы ван Кампена Теорема ван Кампена даёт алгоритм вычисления группы 1 (CP2 \ C, x0). Наибольшую сложность при пользовании этим алгоритмом представляет вычисление выражений ij (g1,..., gn). Поэтому мы начнём с того, что более подробно обсудим геометрический смысл выражения ij (g1,..., gn).

Напомним определение элемента ij (g1,..., gn) 1 (F, x0), где F – – слой над точкой x0. Слой F представляет собой C без n точек. Пусть g1,..., gn – петли, каждая из которых обходит вокруг одной из этих – точек (в одном и том же направлении). База B представляет собой C без s точек; петли h1,..., hs получаются аналогично. Петля hj gih-j гомотопна петле, расположенной в слое F. Запись элемента hj gih-j в алфавите g1,..., gn – это и есть ij (g1,..., gn). Гомотопию петли – hj gih-1 можно представит следующим образом (см. рис. 135). Мы берём j петлю gi и проносим её вдоль петли hj (так, чтобы для каждой точки петли hj получалась петля в слое над этой точкой). После обхода вокруг точки aj мы возвращаемся в слой над точкой x0 и получаем петлю в этом слое. Эта новая петля и есть ij (g1,..., gn).

П р и м е р. Пусть C2 – невырожденная коника в CP2 (например, её – 2 2 можно задать уравнением z1 + z2 + z3 = 0). Тогда 1 (CP2 \ C2) = Z2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из любой точки a C2 к конике C2 можно провести ровно две касательные (рис. 136). Группа 1 (CP2 \ C2) порождена образующими g1 и g2, связанными соотношениями g1 g2 = и gi = i1 (g1, g2), i = 1, 2.

gj aj hj xh j Рис. 135. Гомотопия петли hj gih-j § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой Рис. 136. Касательные к конике Рис. 137. Обход вокруг начала координат Вместо того чтобы рассматривать обход вокруг касательной к конике можно рассмотреть более простую ситуацию: обход вокруг комплексной прямой z = 0, касающейся кривой z = w2 в C2. Если z = ei, то w = ±ei/2, поэтому при обходе вокруг начала координат в вещественной плоскости w = 0 ветви функции w(z) переставляются, но ориентации петель в вещественной плоскости z = const при этом сохраняются (рис. 137). Это означает, что 11 (g1, g2) = g2 и 21 (g1, g2) = g1, т. е.

g1 = g2.

n П р и м е р. Пусть Cn – кривая в CP2, заданная уравнением z1 + – n n + z2 + z3 = 0. Тогда 1 (CP2 \ Cn) = Zn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В CP2 проекция на вещественную плоскость z3 = 0 из точки a = (0 : 0 : 1) задаётся формулой (z1 : z2 : z3) (z1 : z2 : 0).

Количество прообразов точки (z1 : z2 : 0), лежащих на кривой Cn, равно n n n тогда и только тогда, когда z1 + z2 = 0. Точки, для которых z1 : z2 = -k, где n = 1, соответствуют касательным, но не простым, а n-кратным k (в точке касания сливаются n ветвей). Обход вокруг n-кратной касательной устроен так же, как обход вокруг начала координат в плоскости w = для алгебраической функции w(z), где z = wn. Такой обход приводит к повороту вещественной плоскости z = 0 на угол 2 n. При этом ветви / циклически переставляются и в результате получается соотношения g1 = g2, g2 = g3,..., gn-1 = gn, gn = g1. Кроме того, есть соотношение g1 g2... gn = 1. Таким образом, получаем группу с образующей g и соотношением gn = 1.

З а д а ч а 22.3.* [102] Пусть p и q – взаимно простые числа, при– чём p 2 и q 2. Рассмотрим в CP2 кривую Cp,q, заданную уравнением p p q q p (z1 + z2 )q + (z1 + z2) = 0.

Докажите, что группа 1 (CP2 \ Cp,q) задаётся двумя образующими a и b и соотношениями ap = 1 и bq = 1.

Решения и указания 0.1. Множество Sn+m-1 \ Sn-1 состоит из точек (x1,..., xn+m) Rn+m, для 2 2 2 которых x1 +... + xn < 1 и x1 +... + xn+m = 1. Сопоставим точке (x1,..., xn+m) Sn+m-1 \ Sn-1 точку (y1,.., yn+m), где y1 = x1,..., yn = xn, yn+1 = xn+1 a, /.

2..., yn+m = xn+m a и a = 1 - x1 -... - xn. Ясно, что / 2 xn+1 +... + xn+m 2 yn+1 +... + yn+m = = 1, 2 1 - x1 -... - xn поэтому мы получаем гомеоморфизм Sn+m-1 \ Sn-1 Dn Sm-1, где Dn – от– крытый единичный шар; он гомеоморфен Rn.

0.2. Рассмотрим функцию F : K R, заданную формулой F(x) = x, f(x).

Эта функция на компакте достигает минимума в некоторой точке x0. Если F(x0) = то x0 – неподвижная Предположим, что F(x0) = d > 0. Тогда – 0, точка.

F f(x0) = f(x0), f(f(x0)) < x0, f(x0) = d. Приходим к противоречию.

1.1. Да, можно. Требуемые вложения изображены на рис. 138.

1.2. Выберем прямую, не параллельную ни одной из прямых, соединяющих вершину одного цикла с вершиной другого цикла. Один из циклов будем сдвигать параллельно этой прямой. Индекс пересечения при этом не изменяется. Действительно, из каждой вершины цикла выходят ровно два ребра, поэтому при прохождении вершины через ребро число точек пересечения изменяется на ±2, а значит, остаток от деления на 2 не изменяется.

Если цикл сдвинуть достаточно далеко, то циклы не будут пересекаться. В таком случае индекс пересечения равен 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 42 | 43 || 45 | 46 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.