WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 41 | 42 || 44 | 45 |   ...   | 49 |

изменение направления стрелки соответствует замене элемента a на a-1). Каждому перекрёстку сопоставим соотношение вида x = yzy-1 (см. рис. 121). Тогда группа, заданная такими образующими и соотношениями, изоморфна группе узла K.

y x z Рис. 121. Соотношение для перекрёстка 302 Глава VI. Фундаментальная группа С л е д с т в и е. Факторгруппа группы узла по её коммутанту изоморфна Z.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если yz = zy, то x = yzy-1 = z. Остаётся заметить, что если для каждого перекрёстка соединить дуги x и z, то в результате получим связную кривую.

Одно из применений группы узла связано с тем, что она позволяет в некоторых случаях доказать, что пространства R3 \ K1 и R3 \ K2, где K1 и K2 – узлы, не гомеоморфны.

– П р и м е р. Если K – трилистник, то пространство R3 \ K не гомео– морфно R3 \ S1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G – группа трилистника. Как мы вы– яснили, она задаются образующими x и y, связанными соотношением xyx = yxy. Легко проверить, что в симметрической группе S3 элементы (12) и (23) удовлетворяют соотношению (12) (23) (12) = (13) = (23) (12) (23).

Следовательно, существует гомоморфизм h: G S3, для которого h(x) = = (12) и h(y) = (23). В образе этого гомоморфизма лежат транспозиции (12), (23) и (13), поэтому h – эпиморфизм. Но группа S3 неабелева, по– этому группа G тоже неабелева. В частности, G = Z.

З а д а ч а 21.2. Пусть p и q – взаимно простые числа, K – тори– – ческий узел типа (p, q), т. е. замкнутая кривая на стандартно вложенном торе, равномерно обвивающая его p раз в направлении меридиана и q раз в направлении параллели. Докажите, что группа узла K задана обp разующими x и y, связанными соотношением x = yq.

21.4. Рогатая сфера Александера Рогатая сфера Александера – это граница множества X R3, – которое гомеоморфно шару D3 и для которого пространство R3 \ X не гомеоморфно R3 \ D3. Множество X строится следующим образом.

Пусть B0 – стандартный шар D3. Приклеим к B0 ручку D2 I (рис. 122);

– в результате получим X0. Перерезав приклеенную ручку, получим диск B1.

К образовавшимся разрезам приклеим две ручки, зацепив их друг за друга (рис. 123). В результате получим X1. Перерезав обе приклеенные ручки, получим диск B2. С каждой перерезанной ручкой поступаем так же, как и раньше, т. е. приклеиваем к B2 две пары зацепленных ручек.

В результате получаем X2 и т. д. Мы предполагаем, что X0 X1 X2..., т. е. каждый раз вырезается цилиндр D2 I и приклеиваемые ручки располагаются в вырезанной области.

§ 21. Теорема Зейферта–ван Кампена – XXBBРис. 122. Построение Рис. 123. Построение пространства X0 пространства XЭти построения можно выполнять так, чтобы существовали гомеоморфизмы hn : Bn Bn+1, для которых x - hn (x) 1 2n. Тогда существует / предел lim hn hn-1... h0 = h, причём отображение h непрерывно.

n Ясно также, что отображение h: B0 h(B0) взаимно однозначно, поэтому h – гомеоморфизм (теорема 7.2 на с. 100). Следовательно, простран– ство X = Xn = h(B0) гомеоморфно шару D3.

n=Займёмся теперь вычислением фундаментальной группы 1 (R3 \ X).

Пусть Yn = R3 \ Xn. Тогда Y0 Y1... и R3 \ X = Yn. Ясно, что n=1 (Y0) = Z, поскольку X0 – стандартно вложенное в R3 полноторие.

– Покажем, что 1 (Y1) = F2 – свободная группа с двумя образующими – 1 и 2, причём включение Y0 Y1 индуцирует мономорфизм 1 (Y0) 1 (Y1), переводящий образующую группы 1(Y0) в коммутатор [1, 2].

Представим Y1 в виде объединения Y0 A, где пространство A изображено на рис. 124. Точнее говоря, чтобы применять теорему ван Кампена, вместо Y0 нужно было бы взять Y0 = Y0 Z, где Z – малая окрестность – цилиндра S1 I – боковой поверхности множества A. Но в рассматрива– емой ситуации с гомотопической точки зрения это несущественно. Легко видеть, что пространство A (шар, из которого вырезаны две зацепленные A Рис. 124. Шар с двумя вырезанными трубочками 304 Глава VI. Фундаментальная группа Рис. 125. Гомотопия петли ручки) гомеоморфно шару, из которого вырезаны две прямолинейные ручки. Поэтому фундаментальная группа 1 (A) является свободной группой с двумя образующими 1 и 2, представленными петлями, накинутыми на вырезанные ручки.

Образующая группы 1 (Y0) представлена петлёй, которая накинута на вырезанные ручки так, как это показано на рис. 125. Эта петля гомотопна композиции петель 12-1-1. Следовательно, группа 1 1 (Y1) порождена образующими, 1 и 2, которые связаны соотношением = [1, 2].

Аналогичным образом можно получить Yn+1 из Yn, приклеив 2n экземпляров множества A. В результате по индукции получим, что 1 (Yn+1) – свободная группа с 2n+1 образующими, причём гомоморфизм – 1 (Yn) 1 (Yn+1), индуцированный включением Yn Yn+1, является мономорфизмом.

Любая петля в R3 \ B компактна, поэтому она лежит в некотором множестве Yn. Образ гомотопии двух петель тоже является компактным мно жеством. Поэтому группа 1 (R3 \ B) изоморфна группе G = 1 (Yn).

n=Фундаментальная группа пространства R3 \ D3 тривиальна, а группа G содержит, например, свободную группу с двумя образующими. Поэтому пространство R3 \ X не гомеоморфно R3 \ D3.

Обратите внимание, что фактор группы G по её коммутанту тривиален, поскольку каждая образующая является коммутатором двух других образующих.

§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой Плоская алгебраическая кривая C – это подмножество в CP2, за– данное уравнением P(x, y, z) = 0, где P – однородный многочлен степе– ни n 1; число n называют степенью кривой C. Кривую C называют приводимой, если P = P1P2, где P1 и P2 – однородные многочлены по– § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой ложительной степени. Точку кривой C называют особой, если в этой точке grad P = 0.

Вычислению группы 1(CP2 \ C) посвящено много работ, первыми из которых были [147], [148], [149] и [132].

Мы начнём с разбора нескольких примеров, в которых C является объединением комплексных прямых в CP2. Это соответствует ситуации, когда многочлен P раскладывается на линейные множители.

22.1. Дополнение к набору комплексных прямых n Здесь мы займёмся вычислением группы 1 CP2 \ li, где l1,..., i=ln – комплексные прямые в CP2. Эта группа зависит не только от ко– личества прямых, но и от их расположения. Мы рассмотрим несколько примеров расположения прямых. Отметим, что после выбрасывания одной прямой CP2 превращается в C2, поэтому n n- CP2 \ li C2 \ l, i i=1 i=где C2 = CP2 \ ln и l = li C2. Таким образом, вычисление фундаменi тальной группы дополнения n прямых в CP2 сводится к вычислению фундаментальной группы дополнения n - 1 (комплексных) прямых в C2.

П р и м е р. Если все прямые l1,..., ln CP2 проходят через одну n точку, то 1 CP2 \ li = Fn-1 (свободная группа с n - 1 образующей).

i=Д о к а з а т е л ь с т в о. В пространстве C2 = CP2 \ ln прямые l,..., l не пересекаются, поэтому можно выбрать комплексные координаты n-z и w так, что l = {(z, w) | w = ci}, где ci – константа. Поэтому – i n-1 n- C2 \ l C \ {c1,..., cn-1} Si.

i i=1 i=П р и м е р. Если прямые l1, l2, l3 CP2 пересекаются в трёх раз личных точках, то 1 CP2 \ li = Z Z.

i=Д о к а з а т е л ь с т в о. В пространстве C2 = CP2 \ l3 прямые l и l 1 пересекаются в некоторой точке, поэтому можно выбрать комплексные координаты z и w так, что эти прямые задаются уравнениями z = 0 и w = 0. Начало координат не принадлежит C2 \ (l l ), по1 этому с помощью проекции на S3 = {(z, w) C2 | |z|2 + |w|2 = 1} вдоль 306 Глава VI. Фундаментальная группа вещественных лучей в C2 = R4, проходящих через начало координат, можно показать, что пространство C2 \ (l l ) гомотопически эквива1 лентно S3 (C2 \ (l l )). Последнее пространство представляет собой 1 сферу S3, из которой выброшены две окружности, заданные в S3 уравнениями z = 0 и w = 0.

Выкалывание одной точки из многообразия размерности 3 не изменяет его фундаментальную группу (см. с. 298). Поэтому из S3 можно выколоть одну точку и перейти к пространству R3 \ (K1 K2), где K1 и K2 – окруж– ности. (Если K1,..., Kn – попарно не пересекающиеся образы окружно– сти при гомеоморфизмах S1 R3, то множество K1... Kn R3 называют n-компонентным зацеплением.) Фундаментальная группа пространства R3 \ (K1 K2) вычисляется точно так же, как вычисляется фундаментальная группа узла (см. пример на с. 300). Чтобы выяснить, как устроена диаграмма зацепления K1 K2, рассмотрим стереографическую проекцию сферы S3 на подпространство Re w = 0 из точки (0, 1). Проекция окружности K1 представляет собой окружность в плоскости Im w = с центром в начале координат, а проекция окружности K2 представляет собой прямую z = 0. Поэтому диаграмма зацепления K1 K2 устроена так, как показано на рис. 126. Группа 1 (R3 \ (K1 K2)) порождена образующими a и b, связанными соотношением b = aba-1, т. е. ab = ba (второй перекрёсток даёт то же самое соотношение).

Поясним теперь геометрически, как возникает соотношение ab = ba при обходе вокруг точки пересечения двух комплексных прямых. Элемент a задаётся единичной окружностью в плоскости w = w0, а элемент b задаётся единичной окружностью в плоскости z = z0. Будем обходить окружность b, перенося при этом окружность a параллельно (рис. 127).

Формально это можно описать так. Будем считать, что z0 = w0 = 1. Пусть точка x(t) = (1, eit) равномерно движется по окружности b. В момент b w a z b a Рис. 126. Диаграмма зацепле- Рис. 127. Обход вокруг точки перения K1 K2 сечения двух комплексных прямых § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой времени t рассмотрим петлю, которая сначала идёт от точки x0 = (1, 1) до точки x(t), затем проходит по окружности (eis, eit), t = const, а после этого возвращается из x(t) в x0. После полного обхода окружности b (т. е.

при t = 2) получим петлю bab-1; эта петля гомотопна исходной петле a.

З а д а ч а 22.1. Пусть L = K1... Kn – зацепление, диаграмма – которого состоит из n непересекающихся окружностей (тривиальное n-компонентное зацепление). Докажите, что пространство R3 \ L гомотопически эквивалентно букету n экземпляров пространства S2 S1.

З а д а ч а 22.2. Пусть L = K1 K2 – зацепление, диаграмма которо– го изображена на рис. 126. Докажите, что R3 \ L T S2.

П р и м е р. Пусть l,..., l – попарно различные прямые в C2, про1 n – n ходящие через начало координат. Тогда группа 1 CP2 \ l порождеi i=на образующими 1,..., n, связанными соотношениями 123... n = 23... n1 = 3... n12 =... n12... n-1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай n = 2 разобран в примере 22.1. Мы ограничимся разбором случаев n = 3 и 4. Так же, как и в примере 22.1, вычисление требуемой фундаментальной группы сводится к вычислению групп зацеплений, изображённых на рис. 128 (все окружности попарно зацеплены).

При n = 3 внутренние перекрёстки дают соотношения bi = ai+2aia-1, i+а внешние перекрёстки дают соотношения ai = ai+1bia-1. С помощью i+первых соотношений выражаем образующие b1, b2, b3 через a1, a2, a3, а затем подставляем полученные выражения во вторые соотношения.

В результате получаем, что искомая группа порождена образующими a1, a2 и a3, связанными соотношениями a1a2a3 = a2a3a1 = a3a1a2.

Рис. 128. Диаграммы двух зацеплений 308 Глава VI. Фундаментальная группа При n = 4 получаем соотношения bi = ai+1aia-1, ci = ai+2bia-i+1 i+и ai = ai-1cia-1. Сначала выразим образующие {bi} через {ai}; затем i-с помощью этих формул выразим {ci} через {ai}. Наконец, подставим полученные выражения в соотношения ai = ai-1cia-1. В результаi-те получим соотношения a1a4a3a2 = a4a3a2a1 = a3a2a1a4 = a2a1a4a3.

Остаётся положить 1 = a1, 2 = a4, 3 = a3 и 4 = a2.

22.2. Теорема ван Кампена В 1929 г. Зариский опубликовал статью [147], в которой предложил способ вычисления группы 1 (CP2 \ C). Вскоре он обнаружил, что это доказательство использует одно предположение, которое он не умеет доказывать (если бесконечная группа задана конечным набором образующих и соотношений, то пересечение всех её подгрупп конечного индекса состоит только из единичного элемента). В 1951 г. выяснилось, что это предположение неверно.

Другой способ вычисления группы 1 (CP2 \ C) предложил ван Кампен [132]. Доказанная им теорема о строении группы 1 (CP2 \ C) тесно связана с другой его теоремой, которую мы уже обсуждали (теорема 21.на с. 294). Обе эти теоремы ван Кампена были опубликованы в двух соседних статьях в одном и том же номере журнала.

Наше изложение теоремы ван Кампена о группе 1 (CP2 \ C) во многом следует работе [46].

Пусть кривая C задана уравнением P = 0, где P = P1P2. Пусть, далее, C1 и C2 – кривые, заданные уравнениями P1 = 0 и P2 = 0. Из равенства – grad P = P1 grad P2 + P2 grad P1 следует, что особыми точками кривой C являются точки пересечения кривых C1 и C2 и особые точки кривых C1 и C2.

Мы будем предполагать, что кривая C степени n задана уравнением P = 0, где P = P1... Pk и все многочлены Pi неприводимы и попарно различны. Пусть Ci – кривая, заданная уравнением Pi = 0. Особыми – точками кривой C служат особые точки кривых Ci и точки попарного пересечения этих кривых.

Пусть x0 CP2 \ C – отмеченная точка. Покажем, что почти все пря– мые, проходящие через точку x0, пересекают кривую C ровно в n различных точках (выражение почти все здесь означает все, кроме конечного « » « числа ). Точек попарного пересечения кривых C1,..., Ck конечное число, » поэтому достаточно рассмотреть прямые, не проходящие через эти точки. Прямая, не проходящая через точки пересечения кривых C1,..., Ck, пересекает кривую C в n точках тогда и только тогда, когда она пересекает каждую кривую Ci в ni точках, где ni – степень кривой Ci.

– § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой Поэтому требуемое утверждение достаточно доказать для неприводимой кривой Ci. Прямая пересекает кривую Ci менее чем в ni точках, если она касается кривой Ci или проходит через её особую точку. Из данной точки к неприводимой кривой Ci можно провести конечное число касательных (их количество не превосходит степени двойственной кривой Ci ). Количество особых точек неприводимой кривой тоже конечно.

Выберем прямую l, проходящую через точку x0 и пересекающую кривую C ровно в n различных точках. Затем выберем на прямой l точку a, которая отлична от x0 и не лежит на кривой C. Через точку a проведём все прямые l0, l1,..., ls, которые пересекают кривую C менее чем в n различных точках. Точку a мы выберем так, чтобы на каждой из прямых l0, l1,..., ls лежала ровно одна особая точка или точка касания.

Наконец, через точку x0 проведём прямую m, отличную от прямой l, и рассмотрим точки a0, a1,..., as, в которых прямые l0,..., ls пересекают прямую m (рис. 129). Прямую m мы выберем так, чтобы она не проходила через точки пересечения кривой C с прямыми li, т. е. так, чтобы точки ai не лежали на кривой C.

Pages:     | 1 |   ...   | 41 | 42 || 44 | 45 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.