WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 40 | 41 || 43 | 44 |   ...   | 49 |

Теорема Зейферта (для CW -комплексов) очевидным образом следует из теоремы 20.1 на с. 283, но при одном дополнительном предположении: в качестве образующих фундаментальных групп выбраны 1-мерные клетки, а в качестве соотношений выбраны 2-мерные клетки. Поэтому, прежде чем двигаться дальше, дадим инвариантное определение группы G, не зависящее от выбора систем образующих и соотношений.

Пусть G0, G1, G2 – группы, заданные наборами образующих S, S1, S– и соотношений R, R1, R2. Для группы G задана коммутативная диаграмма гомоморфизмов G G G.

2 GПредположим, что для некоторой группы G задана коммутативная диаграмма гомоморфизмов G1 G0 G.

2 GПокажем, что в таком случае существует единственный гомоморфизм : G G, для которого i = i. Пусть F – свободная группа с об– разующими 1S1 и 2S2; N – минимальная нормальная подгруппа F, – содержащая слова 1R1, 2R2 и 11s(22s)-1, s S. Для элемента si Si положим isi = isi. Любое отображение образующих свободной группы F в произвольную группу однозначно продолжается до гомоморфизма, поэтому получаем гомоморфизм : F G. Если (N) = 1, то гомоморфизм индуцирует гомоморфизм : G G, для которого i = i. Поэтому нужно лишь проверить, что (N) = 1 (единственность гомоморфизма следует из того, что элементы 1S1 и 2S2 порождают группу G). Если ri Ri, то iri = iri = 1, поскольку слово ri пред ставляет единичный элемент группы Gi. Если s S, то iis = iis, поэтому из равенства 11 = = 22 следует, что 11s = 22s.

294 Глава VI. Фундаментальная группа Рассмотрим всевозможные коммутативные диаграммы гомоморфизмов G 1 G G 2 Gс фиксированными гомоморфизмами 1 и 2. Группу G, входящую в такую диаграмму, называют амальгамой групп G1 и G2 по отношению к группе G0 (и гомоморфизмам 1 и 2), если выполняется упомянутое выше универсальное свойство: для любой другой группы G, входящей в аналогичную коммутативную диаграмму, существует единственный гомомор физм : G G, для которого i = i. Чтобы получить инвариантное определение группы G, остаётся проверить, что амальгама определена однозначно с точностью до изоморфизма.

Пусть G и G – две амальгамы по отношению к одним и тем же груп– пам. Тогда существуют гомоморфизмы : G G и : G G, для ко торых i = i и i = i. Рассмотрим гомоморфизм : G G. Он обладает следующим свойством: i = i = i. По условию гомоморфизм G G, обладающий таким свойством, единствен. С другой стороны, тождественный гомоморфизм таким свойством обладает, поэтому = idG. Аналогично = idG, а значит, – изоморфизм групп.

– 21.2. Доказательство Т е о р е м а 21.1 (ван Кампен). Пусть U1 и U2 – открытые ли– нейно связные подмножества пространства X = U1 U2, причём множество U1 U2 тоже линейно связно. Рассмотрим коммутативную диаграмму 1 (U1) 1 1 (U1 U2) 1(X), 1 (U2) индуцированную вложениями (все фундаментальные группы берутся с одной и той же отмеченной точкой x0 U1 U2). Тогда группа 1 (X) является амальгамой групп 1 (U1) и 1 (U2) по отношению к группе 1 (U1 U2) и гомоморфизмам 1 и 2.

§ 21. Теорема Зейферта–ван Кампена – Теорему ван Кампена удобнее доказывать в терминах образующих и соотношений, а не в терминах амальгам; выше мы объяснили, что обе формулировки эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [50]). Рассмотрим коммутативную диаграмму 1 (U1) 1 (U1 U2 H.

) 1 (U2) Требуется доказать, что существует единственный гомоморфизм : 1 (X) H, для которого i = i. Единственность гомоморфизма легко выводится из следующего утверждения.

Ш а г 1 (образующие). Образы групп 1 (U1) и 2 (U2) при гомоморфизмах 1 и 2 порождают группу 1 (X).

Рассмотрим произвольную петлю : [0, 1] X с началом и концом в точке x0. Отрезок [0, 1] покрыт двумя открытыми множествами -1 (U1) и -1 (U2). Пусть – число Лебега этого покрытия. Выберем на отрез– ке [0, 1] точки 0 = t1 < t2 <... < tn+1 = 1 так, что tk+1 - tk <. Тогда образ каждого отрезка [tk, tk+1] целиком лежит в одном из множеств U1 или U2. Петля представляет собой композицию путей (не обязательно замкнутых) 12... n, где k – ограничение отображения – на отрезок [tk, tk+1]. Чтобы представить в виде композиции петель, соединим каждую точку (tk) Ui с точкой x0 путём k, целиком лежащим в Ui; при этом если (tk) U1 U2, то путь k должен целиком лежать в U1 U2. В таком случае, если путь k целиком лежит в Ui, то петля -1 -k kk+1 тоже целиком лежит в Ui, поэтому класс петли k kk+лежит в образе группы 1 (Ui) при гомоморфизме i. При этом петля -1 -представляет собой композицию петель 12, 2 33,..., n-1n-1n, -n n.

Единственность гомоморфизма теперь легко доказывается. Дейn ствительно, представим элемент 1 (X) в виде = i(k)k, где k= k 1 (Ui(k)). Из равенства i = i следует, что i(k)k = i(k)k.

Поэтому n = i(k)k. (1) k=296 Глава VI. Фундаментальная группа Формула (1) полностью определяет гомоморфизм. Остаётся лишь n проверить, что это определение корректно, т. е. = i(k)k зависит k=лишь от и не зависит от представлеn ния = i(k)k. Для этого достаточно k=f доказать следующее утверждение.

X Ш а г 2 (соотношения). Если n x0 k 1 (Ui(k)) и i(k)k = 1, то n k= i(k)k = 1.

k=1 n Равенство i(k)k = 1 ознаk=Рис. 111. Отображение квад- чает, что существует отображение рата f : I2 X, обладающее следующими свойствами:

– ограничение отображения f на нижнюю сторону квадрата I2 пред– n ставляет класс петли i(k)k;

k=– отображение f переводит остальные стороны квадрата I2 в отме– ченную точку x0 (рис. 111).

Пусть – число Лебега покрытия квадрата I2 открытыми множества– ми f-1 (U1) и f-1 (U2). Разобьём I2 на прямоугольники вертикальными и горизонтальными отрезками так, чтобы длина диагонали каждого прямоугольника была меньше. При этом в набор таких отрезков мы включим все вертикальные отрезки, делящие нижнюю сторону квадрата на n равных отрезков (предполагается, что каждый из этих равных отрезков соответствует одному из путей i; в частности, концы этих отрезков отображаются в отмеченную точку x0).

По построению каждый прямоугольник целиком отображается в Uили в U2. Пусть a – вершина одного из прямоугольников. Соединим точку – f(a) с отмеченной точкой x0 путём a. При этом будем предполагать, что если a Ui, то a Ui (в частности, если a U1 U2, то a U1 U2), а если a = x0, то a = x0 (постоянный путь).

Рассмотрим один из прямоугольников разбиения. Пусть 12, 23, 34, 41 – его стороны (рис. 112). Легко проверить, что в пространстве X – петля 12233441, где pq = -1 f(pq)q, стягиваема. Для этого нужp но убедиться, что соответствующее отображение S1 X можно продолжить до отображения D2 X. Требуемое отображение D2 X можно построить следующим образом. Сначала отобразим D2 на прямоугольник с отрезками, выходящими из его вершин (рис. 113). На пря § 21. Теорема Зейферта–ван Кампена – f(34) 34 w4 w41 23 f(41) xf(23) w1 w12 f(12) Рис. 112. Прямоугольник разбиения и его образ моугольнике задано отображение f, а отрезки отображаются в X посредством p.

Элемент группы 1 (X), представленный петлёй pq, обозначим тоже pq. По построению петля pq целиком лежит в U1 или в U2, поэтому pq = ii, где i 1 (Ui). Положим = ii H. Нужpq но проверить корректность такого определения. Действительно, петля pq может лежать в U1 U2. Тогда pq = 11 = 22, где 1 = и 2 = 2 для некоторого 1 (U1 U2). Требуется доказать, что в таком случае 11 = 22. Но по условию 11 = 22; следовательно, 11 = 11 = 22 = 22.

По построению в одном из множеств U1 или U2 целиком лежит не только петля pq, но и все четыре петли 12, 23, 34, 41, поэтому pq = ipq, где pq 1 (Ui), причём i одно и то же для всех четырёх петель. Стягиваемость петли 12233441 доказывается точно так же, как и стягиваемость петли 12233441; нужно лишь заменить X на Ui.

Следовательно, 12233441 = (i12) (i23) (i34) (i41) = i (12233441) = i (1) = 1.

Подведём итоги. Каждой из (ориентированных) сторон прямоугольников, на которые разбит квадрат I2, мы сопоставили элемент группы H, причём для элементов, соответствующих сторонам одного пря моугольника, выполняется соотношение 12233441 = 1. Требуется доРис. 113. Отображение диска 298 Глава VI. Фундаментальная группа казать, что произведение элементов группы H, соответствующих нижней стороне квадрата, равно 1. Обозначим это произведение 0 (рис. 114).

Рассмотрим произведение всех соотношений виn да 12233441 = 1 для прямоугольников, непосредственно примыкающих к нижней стороне квадрата.

n 1 Это произведение нужно записывать так, чтобы об щие стороны прямоугольников входили в него с про тивоположными ориентациями. При таком условии в результате получим 0 = 1, где 1 – произведение – элементов группы H, соответствующих второму снизу горизонтальному отрезку. (Элементы, соответствующие двум крайним вертикальным сторонам, не униРис. 114. Произчтожаются, но эти стороны целиком отображаются ведения i в отмеченную точку x0, поэтому им соответствует единичный элемент группы.) Затем аналогично получаем 1 = 2,..., n-1 = n. Но весь верхний горизонтальный отрезок отображается в отмеченную точку x0, поэтому n = 1.

С л е д с т в и е. Если n 3, то 1 (Mn) 1 (Mn \ {x}), где x – про= – извольная точка многообразия Mn.

З а м е ч а н и е. Это утверждение можно доказать и без использования теоремы ван Кампена. Действительно, рассмотрим триангуляцию K многообразия Mn. Можно считать, что точка x лежит внутри симплекса n триангуляции K. Тогда пространство Mn \ {x} гомотопически эквивалентно симплициальному комплексу, который получается из K удалением симплекса n. Если n 3, то 2-мерный остов не изменяется при удалении n-мерного симплекса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в качестве U1 окрестность точки x, гомеоморфную Rn; в качестве отмеченной точки пространств Mn и Mn \ {x} выберем произвольную точку множества U1 \ {x}. Множество {x} замкнуто, поэтому множество U2 = Mn \ {x} открыто. Ясно, что U1 U2 = Rn \ {x} Sn-1. По условию n 3, поэтому 1 (U1 U2) = 1.

Кроме того, 1 (U1) = 1. Следовательно, группы 1 (Mn) и 1 (Mn \ {x}) задаются одним и тем же набором образующих и соотношений.

21.3. Группа узла Узлом называют образ окружности при непрерывном отображении f : S1 R3, а группой узла K называют группу 1 (R3 \ K, x0), где x0 R3 \ K – произвольная точка. Узел K называют полигональным, – если отображение f кусочно линейно зависит от параметра на окруж§ 21. Теорема Зейферта–ван Кампена – Рис. 115. Множества U1 и Uности S1 = {ei}. Узел K называют гладким, если отображение f гладкое x y z и grad f =,, нигде не обращается в нуль.

Здесь мы займёмся вычислением группы полигонального (или гладкого) узла K с помощью теоремы ван Кампена. Чтобы освоиться с использованием теоремы ван Кампена, рассмотрим сначала простейший пример – вычислим группу тривиального узла S1 R3; здесь подразу– мевается, что S1 R2 R3 – обычная окружность.

– П р и м е р. 1 (R3 \ S1) = Z.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в качестве U1 и U2 открытые подмножества R3 \ S1, схематично изображённые на рис. 115. Ясно, что U1 U2 S1 S1 и Ui S1. Выберем в группе 1 (U1 U2) образующие a и b, а в группах 1 (U1) и 1 (U2) выберем образующие 1 и 2, как показано на рис. 116; на образующие 1 и 2 не наложено никаких соотношений. При гомоморфизме i : 1 (U1 U2) 1 (Ui) оба элемента a и b переходят в один и тот же элемент i. Поэтому группа 1 (R3 \ S1) порождена образующими 11 и 22, связанными соотношением 11 = 22. В итоге получаем группу с одной образующей, на которую не наложено никаких соотношений.

З а д а ч а 21.1. Докажите, что R3 \ S1 S2 S1.

Для любого гладкого узла можно выбрать плоскость так, что для проекции узла на эту плоскость выполняются следующие условия:

– проекция любой касательной к узлу не вырождается в точку;

– Рис. 116. Выбор образующих 300 Глава VI. Фундаментальная группа Рис. 117. Диаграмма узла Рис. 118. Окрестность перекрёстка – ни в какую точку не проецируется более двух различных точек узла;

– – множество перекрёстков (точек плоскости, в которые проециру– ются две различные точки узла) конечно и проекции касательных к узлу в двух точках, соответствующих перекрёстку, не совпадают.

Для полигонального узла тоже можно выбрать плоскость проекции, обладающую аналогичными свойствами. При этом аналогом касательных к гладкому узлу являются прямые, содержащие звенья полигонального узла.

Диаграммой узла называют его проекцию на плоскость, для которой выполняются указанные выше условия. При этом на перекрёстках должно быть показано, какая ветвь узла проходит сверху, а какая снизу (рис. 117).

Рассмотрим вместо узла K узел K, который совпадает с диаграммой узла K всюду, кроме малых окрестностей перекрёстков, а на перекрёстках одна из ветвей проходит сверху, а другая остаётся в плоскости диаграммы (рис. 118). Ясно, что группы узлов K и K изоморфны, поскольку пространства R3 \ K и R3 \ K гомотопически эквивалентны. При вычислении группы узла мы будем предполагать, что он расположен в пространстве именно так, как узел K. Мы ограничимся одним простым приме ром – вычислим группу трилист– ника, изображённого на рис. 117.

Но группу любого узла можно вычислить тем же самым спосо бом.

П р и м е р. Группа трилистника порождена образующими x и y, связанными соотношением Рис. 119. Множества U1 и Uxyx = yxy.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В качестве U1 и U2 выберем открытые подмножества R3 \ K, схематично изображённые на рис. 119. Множество Ui получается из полупространства выбрасыванием n дуг, где n – количество – § 21. Теорема Зейферта–ван Кампена – Рис. 120. Образующие фундаментальных групп перекрёстков диаграммы узла. Легко проверить, что проекции этих дуг на плоскость диаграммы узла попарно не пересекаются, поэтому Ui гомотопически эквивалентно букету n окружностей. Ясно также, что U1 Uгомотопически эквивалентно букету 2n окружностей.

Выберем образующие фундаментальных групп 1(U1), 1 (U1 U2) и 1 (U2) так, как это показано на рис. 120 (на этом рисунке для группы 1 (U1) помимо образующих изображена петля 1x2 и гомотопная ей петля). Ясно, что 1x1 = x. Обратившись к рис. 120, можно убедиться, что 1x2 = yzy-1. С пространством U2 ситуация проще: 1x1 = 1x2 = x.

Поэтому 1x = 1x и 1 (yzy-1) = 1x. В итоге получаем, что группа трилистника порождена образующими x, y и z, связанными соотношениями x = yzy-1, y = zxz-1 и z = xyx-1. Последнее соотношение позволяет выразить z через x и y. Подстановка этого выражения в любое из первых двух соотношений даёт одно и то же выражение, а именно, yxy = xyx.

Аналогичные рассуждения позволяют доказать следующее утверждение.

Т е о р е м а 21.2. Рассмотрим диаграмму узла K и каждой дуге диаграммы сопоставим одну образующую (эти образующие будем обозначать стрелками, расположенными под диаграммой;

Pages:     | 1 |   ...   | 40 | 41 || 43 | 44 |   ...   | 49 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.